第2节 向心力与向心加速度
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道向心力及其方向，理解向心力的作用及向心力的来源．(重点)
2．通过实验探究向心力与哪些因素有关，掌握向心力的公式．(重点)
3．知道向心加速度，掌握向心加速度的公式．(重点、难点)
4．会用牛顿第二定律知识分析匀速圆周运动的向心力和向心加速度．(难点)
一、向心力及其方向
1．定义
做圆周运动的物体，受到的始终指向圆心的等效力．
2．方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直．
3．作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功．
4．来源
可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力．做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体向心力不是物体所受到的合外力．
5．向心力的大小
(1)实验探究
控制变量
探究内容
m、r相同，改变ω
探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r
探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m
探究向心力F与质量m的关系
(2)公式
F＝mrω2或F＝m.
二、向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由向心力产生的加速度．这个加速度叫作向心加速度．
2．大小
a＝ω2r＝.
3．方向
向心加速度的方向时刻与速度方向垂直，且始终指向圆心．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力． (×)
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力． (×)
(3)向心力是效果力，匀速圆周运动的向心力是合力，非匀速圆周运动的向心力是合力沿半径方向的分力． (√)
(4)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小． (√)
(5)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变．
(×)
(6)由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比． (×)
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD [匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对，B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错，D对．]
3．如下列选项所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向可能正确的是( )
B [做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．]
向心力及其方向
1.向心力大小的计算
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力．
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人受力的说法中正确的是( )
A．人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的静摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的静摩擦力不变
思路点拨：本题可按以下思路进行分析：
(1)对人进行受力分析；
(2)分析向心力由什么力提供；
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系．
C [由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定有指向圆心的向心力，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的静摩擦力变小，选项D错误．]
向心力与合外力判断方法
1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和提供向心力．
1．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ
D．以上说法都正确
BC [小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.]
向心加速度
1.向心加速度的几种表达式
2．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示．
(2)若v为常数，根据a＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示．
甲 乙
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比．
【例2】 如图所示，长为l的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ角，求小球运动的向心加速度．
[解析] 方法一：小球在水平面内做匀速圆周运动，受力分析如图所示，
小球重力和细线拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，
根据牛顿第二定律，有mgtan θ＝ma
解得a＝gtan θ.
方法二：小球在水平面内做匀速圆周运动，根据向心加速度的公式，有a＝ω2r
根据几何关系，有r＝lsin θ
联立上式，解得a＝ω2lsin θ.
[答案] gtan θ(或ω2lsin θ)
分析向心加速度时两点注意
(1)向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先判断各点是线速度相等，还是角速度相同．在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．
2．(多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD [如图所示．地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cos φ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大，cos φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误．]
1．(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
BC [做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．]
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的选项是( )
C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑的水平面上，细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F＝mrω2知，在角速度ω不变时，F与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；在质量m不变时，F与l、ω2成正比，C正确，D错误．]
4．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
D [在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据F＝mω2r判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确．]
课件43张PPT。第4章 匀速圆周运动第2节 向心力与向心加速度垂直圆心圆心方向大小弹力重力摩擦力合力合外力质量m角速度ω半径rmrω2 圆心向心力ω2r速度方向垂直√××√××向心力及其方向向心加速度点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一定角度后释放，让小球以O点为圆心做圆周运动，则运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳子拉力的合力
C．重力和绳子拉力的合力沿绳方向的分力
D．重力沿绳方向分力
C [如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C正确，A、B、D错误．]
2．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力增大，摩擦力不变
D．物体所受弹力和摩擦力都减小了
C [物体受力如图所示，由牛顿第二定律得，水平方向N＝mω2r，竖直方向f－mg＝0，故当角速度增大时，物体所受弹力增大，摩擦力不变，选项C正确．]
3．(多选)如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
AB [因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误．]
4．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( )
A．aC＝aD＝2aE B．aC＝2aD＝2aE
C．aC＝＝2aE D．aC＝＝aE
C [同轴转动，C、E两点的角速度相等，由a＝ω2r，有＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点的线速度大小相等，由a＝，有＝，即aC＝aD，故选C.]
5．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
6．如图所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰作用力的大小等于 ( )
A．m B．m
C．m D．mg
A [对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝＝＝m，A正确．]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
(1)链球旋转的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力的大小．
[解析] (1)v＝rω＝＝ m/s≈9.42 m/s.
(2)根据向心力公式F＝
可得F＝N＝236.6 N.
[答案] (1)9.42 m/s (2)236.6 N
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A．rA∶rB B．rB∶rA
C．r∶r D．r∶r
A [木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FA∶FB＝rA∶rB.]
2．如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中轮上有A、B、C三点，这三点所在处的半径rA＞rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是( )
A．aA＝aB＝aC B．aC＞aA＞aB
C．aC＜aA＜aB D．aC＝aB＞aA
C [在题图中，A、B两点在同一条皮带上，线速度大小相等，即vA＝vB，因为rA＞rB，a＝，所以可得到：aA＜aB；因为A、C在同一个轮子上，具有相同的角速度，因为rA＞rC，ωA＝ωC，所以aC＜aA，综上所述，A、B、C三点的向心加速度的大小关系为：aC＜aA＜aB.]
3．(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 ( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
AB [两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示．由图可知，筒壁对球的弹力为，对于A、B两球，因质量相等，θ角也相等，所以A、B两球受到筒壁的弹力大小也相等，由牛顿第三定律知，A、B两球对筒壁的压力大小也相等，D错误．对球运用牛顿第二定律得＝m＝mrω2＝mr，可解得球的线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝2π.由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，A正确．球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，B正确，C错误．]
4．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子．如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)飞机起飞时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至晕厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力，如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力．离心实验器转动时，被测试者做匀速圆周运动，若被测试者所受重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角．求：
(1)被测试者做匀速圆周运动时所需向心力多大？
(2)被测试者对座位的压力多大？
[解析] 被测试者做匀速圆周运动所需的向心力由他受的重力和座位对他的支持力的合力提供，对其受力分析如图所示．
(1)做匀速圆周运动需要的向心力为：F向＝Gcot 30°＝G.
(2)座位对他的支持力为：F＝＝2G，
由牛顿第三定律可知他对座位的压力大小也为2G.
[答案] (1)G (2)2G
6．(14分)如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)．试求：
(1)当圆盘转动的角速度ω1＝2 rad/s时，物块A与圆盘间的静摩擦力为多大？方向如何？
(2)欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？(取g＝10 m/s2)
[解析] (1)根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mωr＝1.6 N，方向沿半径指向圆心．
(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑块，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg
解得ω≤＝5 rad/s
即圆盘转动的最大角速度为5 rad/s.
[答案] (1)1.6 N，方向沿半径指向圆心 (2)5 rad/s
