第3节 向心力的实例分析
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.通过向心力的实例分析，会分析向心力来源，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用．(重点)
2．能应用向心力和向心加速度公式求解竖直面内变速圆周运动的最高点和最低点的向心力及向心加速度．(重点、难点)
3．熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法．(重点、难点)
一、转弯时的向心力实例分析
1．汽车在水平路面转弯
2．汽车、火车在内低外高的路面上的转弯
二、竖直平面内的圆周运动实例分析
1．汽车过拱形桥
项目
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
向心力
支持力与重力合力提供向心力
支持力与重力合力提供向心力
方程
mg－N＝m
N－mg＝m
支持力
N＝mg－m
支持力<重力，
当v＝时N＝0
N＝mg＋m
支持力>重力
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图，重力和支持力的合力提供向心力．
(2)向心力方程
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车、火车转弯时需要的向心力都是由重力提供的． (×)
(2)汽车在水平道路上行驶时，最大车速受地面最大静摩擦力的制约． (√)
(3)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小． (×)
(4)过山车在运动时，做的是匀速圆周运动． (×)
(5)汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于车重，速度较大时，对桥面的压力小于车重． (×)
(6)汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于车重． (√)
2．在水平面上转弯的汽车，向心力是( )
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力和牵引力的合力
B [水平面上转弯的汽车，重力和地面对汽车的支持力相平衡，向心力由指向圆心的静摩擦力提供，故B正确，A、C、D错误．]
3．(多选)如图所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是( )
A．汽车的向心力就是它所受的重力
B．汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C．汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D．汽车受到的支持力比重力小
BD [汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确．]
转弯时的向心力实例分析
1.轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
2．向心力的来源分析(如图所示)
火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mgtan θ＝m，可得v0＝.(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．
4．轨道压力分析
【例1】 质量为m的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图所示，已知路面有一定的倾角．当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为零．如果火车以实际速率v(v＞v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的压力F，试求侧压力F的大小．
思路点拨：第一步：抓关键点
关键点
获取信息
车轮对轨道的侧压力恰好为零
重力和支持力的合力提供向心力
实际速率v＞v0
平行于枕木向下的弹力、重力、支持力的合力提供向心力
第二步：找突破口
以火车为研究对象，火车做圆周运动的平面是水平的，故合力(向心力)沿水平方向，对火车以速率v0和v在此弯道转弯时受力分析，结合牛顿第二定律列方程，可求侧压力F的大小．
[解析] 用α表示路面与水平面的夹角，当火车以速率v0转弯时有mgtan α＝ ①
当火车以实际速率v转弯时，车轮对外轨的侧压力与外轨对车轮的侧压力是一对相互作用力，此时有
Nsin α＋Fcos α＝ ②
Ncos α－Fsin α＝mg ③
联立①②③式，解得F＝.
[答案]
火车转弯问题的解题策略
1．对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．
2．弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供．
1．某游乐场里的赛车场为圆形，半径为100 m，一赛车和乘客的总质量为100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600 N．(g取10 m/s2)
(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？
[解析] (1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，如图甲所示．赛车做圆周运动所需的向心力为F＝＝400 N＜600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧移．
甲 乙
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力的合力来提供，如图乙所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力．由牛顿第二定律得
水平方向：Nsin θ＋fmaxcos θ＝m
竖直方向：Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0
代入数据解得vmax＝≈35.6 m/s.
[答案] (1)不会 (2)35.6 m/s
竖直平面内的圆周运动实例分析
1．汽车过桥问题的分析：
(1)汽车过凸形桥．
汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．
由牛顿第二定律得：G－N＝m，则N＝G－m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即N′＝N＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
①当0≤v＜时，0＜N≤G.
②当v＝时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
③当v＞时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
(2)汽车过凹形桥．
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则N－G＝m，故N＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力N′＝G＋m，大于汽车的重力，而且车速越大，车对桥面的压力越大．
2．过山车问题分析：如图所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的．由牛顿第二定律得mg＋N＝m.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.
当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝m，临界速度为v临界＝，过山车能通过最高点的条件是v≥.
3．轻绳模型：如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v＞时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v＜时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
4．轻杆模型：如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆或管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0＜v＜时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．
(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
即杆类模型中，小球在最高点的临界速度为v临＝0.
【例2】 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动．如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳子总长l＝120 cm.求：
(1)在最高点，水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
思路点拨：解答本题应把握以下两点：
(1)水在最高点不流出的受力条件．
(2)水和杯子做圆周运动的向心力来源．
[解析] (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝m，即N＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯子的作用力N′＝N＝2.6 N，方向竖直向上．
[答案] (1)2.42 m/s (2)2.6 N
“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题
2．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度通过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度通过最低点A.求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
[解析] 由题意可知，在B点，有FB＋mg＝m
解得FB＝mg
在A点，有FA－mg＝m
解得FA＝7mg
所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差ΔF＝FA－FB＝6mg.
[答案] 6mg
1．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是 ( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
A [火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力．若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车将做近心运动，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确．]
2．赛车在倾斜的轨道上转弯如图所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )
A.
B.
C.
D.
C [设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F合＝mgtan θ，而F合＝m，故v＝.]
3．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是( )
A．球过最高点时，速度为零
B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为m
D．球过最高点时，速度大小为
D [开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F＝m＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝m，v＝，A、B不正确．故选D.]
4．游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．
[解析] 小球恰好通过圆轨道的最高点时，轨道对小球的作用力为零．小球从A点到达圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律得：mgh＝mg·2R＋mv2，
在圆轨道最高处：mg＝m，解得h＝R.
[答案] R
课件58张PPT。第4章 匀速圆周运动第3节 向心力的实例分析mg－N N－mg N－mgN＋mg××√×√×转弯时的向心力实例分析竖直平面内的圆周运动实例分析点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．火车在拐弯时，关于向心力的分析，正确的是( )
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．主要是由于内外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
D [火车正常拐弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错误；当拐弯速率大于规定速率时，外轨对火车有侧压力作用；当拐弯速率小于规定速率时，内轨对火车有侧压力作用，此时，火车拐弯所需的向心力是重力、支持力和侧压力的合力来提供，故C错误，D正确．]
2．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≥ D．v≤
B [当处于临界状态时，有kmg＝m，得临界速度v＝.故安全速度v≤.]
3．一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图所示，由于轮胎过热，容易爆胎．爆胎可能性最大的地段是( )
A．A处 B．B处
C．C处 D．D处
D [在A、B、C、D各点均由重力与支持力的合力提供向心力，爆胎可能性最大的地段为轮胎为地面的挤压力最大处．在A、C两点有mg－F＝m，则F＝mg－m＜mg；在B、D两点有F－mg＝m，则F＝mg＋m＞mg，且R越小，F越大，故FD最大，即D处最容易爆胎．]
4．某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R.当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为( )
A．v＝ B．v＝
C．v＝ D．安全速度与汽车的质量有关
A [当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan α＝m，则汽车的转弯速度为v＝，选项A正确．]
5．如图所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动．若绳子不够牢，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到( )
A．最高点
B．最低点
C．两侧与圆心等高处
D．无法确定
B [在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋m，此处绳子受到的拉力最大，故最易断．选项B正确．]
6．长为L的细线一端拴一质量为m的小球，小球绕细线另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和v2，细线所受拉力分别为F1、F2，则( )
A．v1＝ B．v2＝0
C．F1＝5mg D．F2＝mg
A [小球恰能通过最高点，细线拉力F2＝0，由mg＝m，得v2＝；由机械能守恒定律得：mv＝mg·2L＋mv，解得：v1＝；通过最低点时，由F1－mg＝m，解得F1＝6mg.故选A.]
二、非选择题(14分)
7．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过该处的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内、外轨均不受轮缘的挤压，内、外轨的高度差应为多大？
[解析] 火车受到的支持力和重力的合力指向轨道圆心做向心力，如图所示．
图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝m，tan α＝，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为tan α＝sin α＝.因此，＝，又v＝72 km/h＝20 m/s，则h＝＝ m＝0.195 m.
[答案] 0.195 m
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
C [小车突然停止，B球将做圆周运动，所以TB＝m＋mg＝30m；A球将静止，TA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为TA∶TB＝1∶3，C选项正确．]
2．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为( )
A．v≥ B．v≥
C．v≥2 D．v≥
C [小球到最高点时速度v1≥0，由机械能守恒定律得：mv2＝mg·2L＋mv，解得：v≥2.故选C.]
3．(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 ( )
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
BC [小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A错误，B正确；小球通过最低点时N－mg＝m，得N＝mg＋m，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．]
4．如图所示，是从一辆在水平公路上行驶着的汽车后方拍摄的汽车后轮照片．从照片来看，汽车此时正在( )
A．直线前进 B．向右转弯
C．向左转弯 D．不能判断
C [从汽车后方拍摄的后轮照片可以看到汽车的后轮发生变形，汽车不是正在直线前进，而是正在转弯，根据惯性、圆周运动和摩擦力知识，可判断出地面给车轮的静摩擦力水平向左，所以汽车此时正在向左转弯，应选答案C.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：
(1)小球在最高点时的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．
[解析] (1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg
根据牛顿第二定律得
mg±F＝m ①
F＝mg ②
解①②两式，可得v＝或v＝0.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F′，设向上为正方向
根据牛顿第二定律，F′－mg＝m
解得F′＝mg＋m＝7mg
故球的向心加速度a＝＝6g.
[答案] (1)或0 (2)7mg 6g
6．(13分)AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，下端B与水平直轨道相切，如图所示．一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆弧轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．求：
(1)小球运动到B点时的动能．
(2)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
[解析] (1)小球自A点由静止开始沿轨道运动到最低点B的过程中，只有重力做功，机械能守恒．取BC水平面为零重力势能面，则mgR＝mv
B点的动能为Ek＝mv＝mgR.
(2)小球运动到B点时，由牛顿第二定律得，
NB－mg＝m
则NB＝3mg.
到达C点时，竖直方向由平衡条件得：
NC＝mg.
[答案] (1)mgR (2)3mg mg
