习题课4 圆周运动及综合应用
(教师用书独具)
[学习目标] 1.深刻理解向心力公式并能应用；2.掌握处理圆周运动综合问题的步骤和方法．
圆周运动中的动力学分析
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式
Fn＝man＝m＝mω2r＝mr＝mr4π2f2.
【例1】 (多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是( )
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
BC [根据小球做圆周运动的特点，设细线与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对金属块受力分析，由平衡条件，Ff＝FTsin θ＝mgtan θ，FN＝FTcos θ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，A选项错误，B选项正确；设细线的长度为L，由mgtan θ＝mω2Lsin θ，得ω＝，故角速度变大，周期变小，故C选项正确，D选项错误．]
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
1．如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( )
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．转动半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
B [转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体m的重力，所以向心力不变，故A错误；转速增到原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的.根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误．]
水平面内的常见圆周运动模型
1.模型特点：(1)运动平面是水平面．
(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心．
2．常见装置
运动模型
飞机在水平面内做圆周运动
火车转弯
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台
向心力的来源图示
【例2】 如图所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为 L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)问：(结果均保留三位有效数字)
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？
(2)此时绳子的张力多大？
[解析] 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋Lsin 45°.对小球受力分析，设绳对小球拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r ①
r＝L′＋Lsin 45° ②
联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/s
T＝≈4.24 N.
[答案] (1)6.44 rad/s (2)4.24 N
2．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R
B．m
C．m
D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力提供向心力，方向指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N＝＝m，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力N′＝N，C正确．]
1．A、B两小球都在水平地面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
D [由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωRA∶ωRB＝8∶1，D正确．]
2．有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
BC [摩托车受力分析如图所示．
由于N＝，所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无
关，保持不变，摩托车对侧壁的压力N′也不变，A错误；由F＝mgtan θ＝m＝mω2r知，h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误．]
3．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0＝，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
D [当v0＝时，所需向心力F＝m＝mg，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．]
4．一辆质量m＝2×103 kg的汽车在水平公路上行驶，经过半径r＝50 m的弯路时，如果车速v＝72 km/h，这辆汽车会不会发生侧滑？已知轮胎与路面间的最大静摩擦力fmax＝1.4×104 N.
[解析] 汽车的速度：
v＝72 km/h＝20 m/s
汽车过弯路时所需的向心力大小为
F＝m＝2×103×N＝1.6×104 N
由于F＞fmax，所以汽车做离心运动，即发生侧滑．
[答案] 会
重难强化训练(四)
(时间：40分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，第1～6题为单选题，第7～10题为多选题．)
1．如图所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能( )
A．沿F1的方向 B．沿F2的方向
C．沿F3的方向 D．沿F4的方向
C [小球做匀速圆周运动，根据小球受到的合力提供向心力，则小球受的合力方向必指向圆心，小球受到竖直向下的重力，还有轻杆的作用力，由题图可知，轻杆的作用力如果是F1、F2、F4，则与重力的合力不可能指向圆心，只有轻杆的作用力为F3方向，与重力的合力才可能指向圆心，故A、B、D错误，C正确．]
2．如图所示，两个水平摩擦轮A和B传动时不打滑，半径RA＝2RB，A为主动轮．当A匀速转动时，在A轮边缘处放置的小木块恰能与A轮相对静止．若将小木块放在B轮上，为让其与轮保持相对静止，则木块离B轮转轴的最大距离为(已知同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等)( )
A.
B.
C．RB
D．B轮上无木块相对静止的位置
B [摩擦传动不打滑时，两轮边缘上线速度大小相等．
根据题意有：
RAωA＝RBωB 所以ωB＝ωA
因为同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等，设在B轮上的转动半径最大为r，则根据最大静摩擦力等于向心力有：mRAω＝mrω
得：r＝＝＝.]
3．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
C [由题意知在最高点：F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．]
4. “快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可看为质点)，下列说法正确的是( )
A．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
B [由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有T－mg＝F向，T＝mg＋F向>mg，B正确，A错误；选手摆到最低点时所受绳子的拉力和选手对绳子的拉力是作用力和反作用力的关系，根据牛顿第三定律，它们大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，故C错误；选手摆到最低点的运动过程中机械能守恒，是变速圆周运动，拉力是变力，故D错误．]
5．如图所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点A时，线速度大小为，此时( )
A．杆受到mg的拉力 B．杆受到mg的压力
C．杆受到mg的拉力 D．杆受到mg的压力
B [以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则N＋mg＝，将v＝代入上式得N＝－mg，即小球在A点受杆的弹力方向竖直向上，大小为mg，由牛顿第三定律知杆受到mg的压力．]
6．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )
A. B.
C. D.
C [小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m.小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒．设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝.故选项C正确．]
7．如图所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中正确的是( )
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
BCD [同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误．]
8．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合外力始终指向圆心
C．在c、d两个位置，支持力N有最大值，摩擦力f为零
D．在a、b两个位置摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
BD [物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确．设物块做匀速圆周运动的线速度为v，物块在c、d两位置摩擦力f为零，在c点有Nc＝mg－，在d点有Nd＝mg＋，故在d位置N有最大值，C错误．在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有N＝mg，f＝.同理a位置也如此，故D正确．]
9．如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动．若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，则下列关于A、B两球的说法中正确的是( )
A．A、B两球受到的向心力之比为2∶1
B．A、B两球角速度之比为1∶1
C．A、B两球运动半径之比为1∶2
D．A、B两球向心加速度之比为1∶2
BCD [两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错，B对．设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确．由牛顿第二定律F＝ma可知aA∶aB＝1∶2，D正确．]
10．两个质量不同的小球，由长度不等的细绳拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则它们的( )
A．周期相同
B．线速度相同
C．角速度相同
D．向心加速度相同
AC [设绳与竖直方向夹角为θ，水平面距悬点高为h，由牛顿第二定律得：mgtan θ＝mω2htan θ＝mhtan θ＝m＝ma，则T＝2π，ω＝，v＝，a＝gtan θ.所以A、C正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)如图所示，一质量为0.5 kg的小球，用0.4 m长的细线栓住，在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，求：
(1)当小球在圆周最高点速度为4 m/s时，细线的拉力是多少？
(2)当小球在圆周最低点速度为6 m/s时，细线的拉力是多少？
(3)若绳子能承受的最大拉力为130 N，则小球运动到最低点时速度最大是多少？
[解析] (1)设小球在最高点时细线的拉力为T1，则T1＋mg＝m
得：T1＝m－mg＝15 N.
(2)设小球在最低点时细线的拉力为T2，
则有：T2－mg＝m
得：T2＝mg＋m＝50 N.
(3)由T3－mg＝m，T3＝130 N
可得v3＝10 m/s.
[答案] (1)15 N (2)50 N (3)10 m/s
12．(16分)如图所示为某游乐场的过山车的轨道，竖直圆形轨道的半径为R.现有一节车厢(可视为质点)从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力．
(1)要使过山车通过圆形轨道的最高点，过山车开始下滑时的高度至少应多高？
(2)若车厢的质量为m，重力加速度为g，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是多少？
[解析] (1)设过山车的质量为m，开始下滑时的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v.要使过山车通过圆形轨道的最高点，应有
mg＝m
过山车在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒．选取轨道最低点所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得
mv2＋mg·2R＝mgh
联立解得h＝R.
(2)设过山车到达轨道最低点的速度为v′，受到的支持力大小为F，则由机械能守恒定律得
mv′2＝mgh
再由牛顿第二定律得F－mg＝
联立解得F＝6mg
由牛顿第三定律知，过山车对轨道的压力大小为
F′＝F＝6mg.
[答案] R (2)6mg
