(教师用书独具)
[体系构建]
[核心速填]
一、基本概念
1．匀速圆周运动：在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动．
2．线速度(v)：做匀速圆周运动的物体通过的弧长s与所用时间t的比值，公式v＝.
3．角速度(ω)：做匀速圆周运动的物体，半径转过的圆心角φ与所用时间t的比值，公式ω＝.
4．周期(T)：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间．
5．频率(f)：单位时间内完成圆周运动的次数．
6．向心力：做圆周运动的物体受到的始终指向圆心的作用力．
7．离心运动：做圆周运动的物体，在受到合外力突然消失或者小于提供圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动．
二、基本规律
1．ω、v、T的关系
2．向心力公式F＝ma＝
3．向心加速度a＝ω2r＝＝r
描述圆周运动的物理量及其关系
1．线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由ω＝＝2πn知，ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已知量．
2．对公式v＝rω及a＝＝rω2的理解
(1)由v＝rω知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．
(2)由a＝＝rω2知，v一定时，a与r成反比；ω一定时，a与r成正比．
【例1】 如图所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，求滑轮边缘上的点的角速度ω和向心加速度an.
[解析] 重物下落1 m时，瞬时速度为
v＝＝ m/s＝2 m/s.
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点转动的角速度为ω＝＝rad/s＝100 rad/s.
向心加速度为
an＝ω2r＝1002×0.02 m/s2＝200 m/s2.
[答案] 100 rad/s 200 m/s2
[一语通关] v、ω、T之间的关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用、在变速圆周运动中也适用，此时关系中各物理量是瞬时对应的.
1．如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是( )
A．va＝2vb
B．ωb＝2ωa
C．vc＝va
D．ωb＝ωc
B [由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮边缘的线速度大小相同，故va＝vb，故A错误．根据v＝ωR可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，又由于a与c在同一个圆面上，故ωa＝ωc，则ωb＝2ωc，由v＝ωR得vα∶vc＝2∶1，即va＝2vc，故B正确，C、D错误．]
圆周运动的临界问题
1.水平面内的临界问题
在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解．常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题．
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题．
(3)受弹簧等约束的匀速圆周运动临界问题．
2．竖直平面内圆周运动的临界问题
(1)没有物体支撑的小球(轻绳或单侧轨道类)．
小球在最高点的临界速度(最小速度)是v0＝.小球恰能通过圆周最高点时，绳对小球的拉力为零，环对小球的弹力为零(临界条件：T＝0或N＝0)，此时重力提供向心力．所以v≥时，能通过最高点；v＜时，不能达到最高点．
(2)有物体支撑的小球(轻杆或双侧轨道类)．
因轻杆和管壁能对小球产生支撑作用，所以小球达到最高点的速度可以为零，即临界速度v0＝0，此时支持力N＝mg.
【例2】 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
[解析] (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg ②
由①②式得＝5. ③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m ⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥
由机械能守恒定律得mg＝mv⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
[答案] (1)5 (2)能沿轨道运动到C点
[一语通关] 竖直平面内圆周运动的分析方法
?1?竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动速度的大小和方向在不断发生变化，通常只研究物体在最高点和最低点的情况，而往往存在临界状态.
?2?竖直平面内的圆周运动往往和机械能守恒定律，动能定理及平抛运动结合，此类问题利用机械能守恒定律、动能定理将最高点和最低点的物理量联系起来.
2．如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
BD [由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝m，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力，也可提供向下的压力，当v＝时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确．故选BD.]
课件22张PPT。第4章 匀速圆周运动章末复习课描述圆周运动的物理量及其关系圆周运动的临界问题Thank you for watching !章末综合测评(四)
(时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．在物理学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是( )
A．开普勒进行了“月—地检验”，得出天上和地下的物体都遵从万有引力定律的结论
B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律
C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律
D．牛顿发现了万有引力定律
D [牛顿发现万有引力定律，A错误，D正确；开普勒发现行星运动三定律，B、C错误．]
2．有两颗行星环绕某恒星转动，它们的运动周期之比为27∶1，则它们的轨道半径之比为( )
A．1∶27 B．9∶1
C．27∶1 D．1∶9
B [由＝得＝＝＝9.]
3．一名宇航员来到某星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受到的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的( )
A．0.25倍 B．0.5倍
C．2.0倍 D．4.0倍
C [根据万有引力定律，F＝GM星＝M地，r星＝r地，故F星＝2F地，C正确．]
4．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
A [对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确．]
5．在中国航天骄人的业绩中有这些记载：“天宫一号”在离地面343 km的圆形轨道上飞行；“嫦娥一号”在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上飞行；“北斗”卫星导航系统由“同步卫星”(地球静止轨道卫星，在赤道平面，距赤道的高度约为36 000千米)和“倾斜同步卫星”(周期与地球自转周期相等，但不定点于某地上空)等组成．则以下分析正确的是( )
A．设“天宫一号”绕地球运动的周期为T，用G表示引力常量，则用表达式求得的地球平均密度比真实值要大
B．“天宫一号”的飞行速度比“同步卫星”的飞行速度要小
C．“同步卫星”和“倾斜同步卫星”同周期、同轨道半径，但两者的轨道平面不在同一平面内
D．“嫦娥一号”与地球的距离比“同步卫星”与地球的距离小
C [设地球轨道半径为R，“天宫一号”的轨道半径为r，运行周期为T，地球密度为ρ，则有＝m2r，M＝ρ×，解得ρ＝，A错误；轨道半径小，运行速度大，B错误；“同步卫星”和“倾斜同步卫星”周期相同，轨道半径相同，轨道平面不同，C正确；“嫦娥一号”绕月球运动，与地球距离大于同步卫星与地球距离，D错误．]
6.如图所示，一根10 m长的梭镖以相对论速度穿过一根10 m长的管子，它们的长度都是在静止状态下测量的．以下哪种叙述最好地描述了梭镖穿过管子的情况( )
A．梭镖收缩变短，因此在某些位置上，管子能完全遮住它
B．管子收缩变短，因此在某些位置上，梭镖从管子的两端伸出来
C．两者都收缩，且收缩量相等，因此在某个位置，管子恰好遮住梭镖
D．所有这些都与观察者的运动情况有关
D [如果你是在相对于管子静止的参考系中观察运动着的梭镖，那么梭镖看起来就比管子短，在某些位置梭镖会完全处在管子内部．然而当你和梭镖一起运动时，你看到的管子就缩短了，所以在某些位置，你可以看到梭镖两端都伸出管子．假如你在梭镖和管子之间运动，运动的速度是在梭镖运动的方向上，而大小是其一半，那么梭镖和管子都相对于你运动，且速度的大小一样；你看到这两样东西都缩短了，且缩短的量相同．所以你看到的一切都是相对的，依赖于你的参考系．]
7．“嫦娥”一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是( )
A．T1>T2>T3 B．T1
C．a1>a2>a3 D．a1A [卫星沿椭圆轨道运动时，周期的平方与半长轴的立方成正比，故T1>T2>T3，A项正确，B项错误；不管沿哪一轨道运动到P点，卫星所受月球的引力都相等，由牛顿第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D项均错误．]
8．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC [根据万有引力定律，地球对一颗卫星的引力大小F万＝G，A项错误，由牛顿第三定律知B项正确．三颗卫星等间距分布，任意两星间距为r，故两星间引力大小F万′＝G，C项正确．任意两星对地球引力的夹角为120°，故任意两星对地球引力的合力与第三星对地球的引力大小相等，方向相反，三星对地球引力的合力大小为零，D项错误．]
9．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所需的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星所需的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所需的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3.假设这三个物体的质量相等，则 ( )
A．F1>F2>F3 B．a2>a3>a1
C．v1＝v2>v3 D．ω1＝ω3<ω2
BD [地球同步卫星绕行的角速度与地球自转的角速度相同，即ω1＝ω3；由G＝mω2r得ω＝，因r2ω3.故在地球表面附近做圆周运动的人造卫星的角速度ω2与ω1和ω3的关系为ω1＝ω3<ω2，故D正确．
地球赤道上的物体与地球同步卫星的角速度相同，但r3>r1，由向心力公式F＝mω2r得F3>F1；地球表面附近的人造卫星与地球同步卫星的向心力等于其万有引力，则有F2>F3.则三者向心力的关系为F2>F3>F1，故A错误．
地球表面附近人造卫星的向心加速度近似等于地球表面的重力加速度，即a2＝g；地球同步卫星的向心加速度a3a1.则三者向心加速度的关系为a2>a3>a1，故B正确．
地球表面附近的人造卫星的绕行速度等于第一宇宙速度，由v＝，得v2>v3；由v＝ωr得v3>v1.则三者的关系为v2>v3>v1，故C错误．]
10．设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为大小g，则( )
A．卫星的线速度为
B．卫星的角速度为
C．卫星做圆周运动所需的向心力为mg
D．卫星的周期为2π
AC [由G＝mg和G＝m＝mω2·3R＝m·3R可求得卫星的线速度为v＝，角速度ω＝，周期T＝6π ，卫星做圆周运动所需的向心力等于万有引力，即F＝G＝mg，故选项A、C正确．]
11．“神舟十一号”发射成功，如图所示．已知“神舟十一号”在大约距离地面200 km的轨道上运行，则( )
A．“神舟十一号”的运行速度一定大于第一宇宙速度
B．“神舟十一号”的运行速度一定小于第一宇宙速度
C．“神舟十一号”的运行周期一定大于同步卫星的周期
D．“神舟十一号”的运行周期一定小于同步卫星的周期
BD [根据万有引力提供向心力得G＝＝mr，由此可得v＝，T＝，“神舟十一号”轨道半径大于地球半径，故A错误，B正确．“神舟十一号”轨道半径小于同步卫星轨道半径，故C错误，D正确．]
12．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是( )
A．天体A、B的质量一定不相等
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比
D．天体A、B的平均密度一定相等
CD [假设某行星有卫星绕其表面旋转，万有引力提供向心力，可得G＝mR，那么该行星的平均密度为ρ＝＝＝，卫星的环绕速度v＝，表面的重力加速度g＝G＝G·，所以正确答案是C、D.]
二、计算题(共6小题，共52分)
13．(8分)有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的多少倍？
[解析] 由＝mg得M＝.
ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4
结合题意，该星球半径是地球半径的4倍．
根据M＝，＝·＝64.
[答案] 64
14．(8分)如图所示，一火箭以a＝的加速度竖直升空．为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化．如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m＝1.6 kg，当检测仪器显示小狗的视重为F＝9 N时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？(g取10 m/s2)
[解析] 设地球的半径为R，火箭距离地面的高度为h，该处的重力加速度为g′.根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma，g′＝－＝ m/s2.根据万有引力定律，有g′＝G∝，所以＝，即＝，所以，火箭距离地面的高度为h＝3R.
[答案] 3倍
15．(8分)两行星A和B是两个均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期为Ta；行星B的卫星b沿圆轨道运行的周期为Tb，设两卫星均为各自中心星体的近地卫星，而且Ta∶Tb＝1∶4，行星A和行星B的半径之比RA∶RB＝1∶2，求：
(1)行星A和行星B的密度之比ρA∶ρB.
(2)行星表面的重力加速度之比gA∶gB.
[解析] (1)由G＝mR得M＝
又由ρ＝＝，所以ρ＝
所以＝2＝.
(2)由mg＝G，得GM＝gR2
得g＝＝＝GπρR
所以＝＝.
[答案] (1)16∶1 (2)8∶1
16．(8分)我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月球成功运行之后，为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学实验卫星．假设该卫星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知卫星绕月球运动的周期T0，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R0，月心与地心间的距离为r，万有引力常量为G，试求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球绕地球运动的周期T.
[解析] (1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力有
＝m′Rm，解得m＝
又根据ρ＝，解得ρ＝.
(2)设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表有＝m表g，即GM＝Rg
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力
即＝mr，解得T＝.
[答案] (1) (2)
17．(10分)如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、A、B在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
[解析] (1)由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m(R＋h) ①
G＝mg ②
联立①②解得TB＝2π.③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π ④
由③得ωB＝ ⑤
联立④⑤解得t＝.
[答案] (1)2π (2)
18．(10分)在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”．如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．
(1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
(2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．
[解析] (1)根据万有引力定律得F＝G
得G＝.
(2)设地球质量为M，质量为m的任一物体在地球表面附近满足G＝mg
得GM＝R2g
解得地球的质量M＝
地球的体积V＝πR3
解得地球的平均密度＝.
[答案] (1) (2)M＝ ＝
