第1节 万有引力定律及引力常量的测定
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.了解开普勒三定律的内容．
2．知道万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题．(重点)
3．知道万有引力常量的测定方法及该常量在物理学上的重要意义．
4．会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路．(重点、难点)
一、行星运动的规律
开普勒三定律
定律
内容
图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比，公式：＝k
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝
(1)r是两质点间的距离(若为匀质球体，则是两球心的距离)．
(2)G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、引力常量的测定及意义
1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量．G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2．意义：使用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．
3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动． (√)
(2)太阳系中所有行星的运动速率是不变的． (×)
(3)太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长． (√)
(4)一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略． (×)
(5)任何两物体间都存在万有引力． (√)
(6)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力． (×)
(7)引力常量是牛顿首先测出的． (×)
(8)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性． (√)
(9)卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值． (√)
2．关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
A [由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误．]
3．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
D [根据F＝G可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变，选项D错误．]
4．对于引力常量G的理解，下列说法中错误的是( )
A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小
B．G的数值是为了方便而人为规定的
C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义
D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性
B [根据万有引力定律公式F＝G可知，G＝，当r＝1 m，m1＝m2＝1 kg时，G＝F，故A正确；G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kg·s2)．G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确．]
行星运动的规律
1.从空间分布上认识：行星的运行轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上．因此开普勒第一定律又叫焦点定律．
2．对速度大小的认识
(1)如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
3．对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短．
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．例如，绕某一行星运动的不同卫星．
(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关．研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关．
1．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
A [根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F2.]
2．某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的，则此卫星运行周期大约是( )
A．3～5天 B．5～7天
C．7～9天 D．大于9天
B [月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律＝k，得＝，则T＝×27×(天)≈5.2(天)．]
应用开普勒定律注意的问题
1．适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时＝k，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关．
2．定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律．它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的．
3．对速度的认识：当行星在近日点时，速度最大．由近日点向远日点运动的过程中，速度逐渐减小，在远日点时速度最小．
万有引力定律
1.万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式F＝G只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：
(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r是两个球体球心间的距离．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离．
2．万有引力的“四性”
四 性
内 容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【例1】 已知地球的赤道半径rE＝6.37×103 km，地球的质量mE＝5.977×1024 kg.设地球为均匀球体．
(1)若两个质量都为1 kg的均匀球体相距1 m，求它们之间的万有引力；
(2)质量为1 kg的物体在地面上受到地球的万有引力为多大？
思路点拨：解此题的关键是理解公式F＝G中各符号的意义．
[解析] (1)由万有引力定律的公式可得两个球体之间的引力为F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－11 N.
(2)将地球近似为一均匀球体，便可将地球看作一质量集中于地心的质点；而地面上的物体的大小与它到地心的距离(地球半径rE)相比甚小，也可视为质点．因此，可利用万有引力定律的公式求得地面上的物体受到地球的引力为
F′＝G＝6.67×10－11× N＝9.8 N.
[答案] (1)6.67×10－11 N (2)9.8 N
万有引力定律的应用方法
1．首先分析能否满足用F＝G公式求解万有引力的条件．
2．明确公式中各物理量的大小．
3．利用万有引力公式求解引力的大小及方向．
3．已知太阳的质量M＝2.0×1030 kg，地球的质量m＝6.0×1024 kg，太阳与地球相距r＝1.5×1011 m，(比例系数G＝6.67×10－11N·m2/kg2)求：
(1)太阳对地球的引力大小；
(2)地球对太阳的引力大小．
[解析] (1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则
F＝G
＝N
＝3.56×1022 N.
(2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F′＝F＝3.56×1022 N.
[答案] (1)3.56×1022 N (2)3.56×1022 N
引力常量的测定及意义
1.天体质量的计算：下面以计算地球的质量为例，介绍两种方法．
方法1：已知月球(地球的卫星)绕地球运动的周期T和轨道半径r，可计算出地球的质量M.由G＝mr得M＝.
方法2：已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的质量．
不考虑地球自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，M＝g.
2．计算天体的密度
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
(2)已知天体表面上的重力加速度为g，则
ρ＝＝＝.
【例2】 已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，日地球心的距离r＝1.49×1011 m.
(1)试估算太阳的质量；
(2)若万有引力常量未知，而已知地球质量m＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝9.8 m/s2，试求出太阳质量．
思路点拨：(1)试分析地球绕太阳的运动满足的规律：
①地球绕太阳做匀速圆周运动．
②地球绕太阳的公转周期为1年．
(2)若不考虑地球自转，地面上的物体所受重力等于物体和地球间的万有引力．
[解析] (1)由牛顿第二定律和万有引力定律，有
G＝mr，可得M＝，
其中M是太阳的质量，r是地球绕太阳公转半径，T是地球公转周期，m是地球质量，
则M＝ kg≈1.97×1030 kg.
(2)已知G＝mr①
对地球表面的物体有m′g＝G，即Gm＝gR2②
由①②得
M＝＝ kg≈1.96×1030 kg.
[答案] (1)1.97×1030 kg (2)1.96×1030 kg
求解天体质量时应明确的问题
万有引力定律和圆周运动知识的结合，应用牛顿运动定律解决天体问题是非常典型的一种题型．解答此类问题应明确以下三点：
1．利用天体运动求解天体质量时，只能将被求天体作为中心天体，所研究的环绕天体的运动近似为匀速圆周运动进行求解．
2．由于向心力表达式较多，要根据已知条件选择合适的公式求解．
3．正确理解向心力表达式中的r的含义，它不是环绕天体到中心天体表面的距离，而是环绕天体球心到中心天体球心的距离．
4．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
D [设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力提供向心力G＝m2(R＋h)，将h＝200 000 m，T＝127×60 s，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，R＝1.74×106 m，代入上式解得M＝7.4×1022 kg，可知D选项正确．]
1．(多选)如图所示，对开普勒第一定律的理解．下列说法中正确的是( )
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是不变的
B．太阳系中的所有行星有一个共同的轨道焦点
C．一个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
BC [根据开普勒第一定律(轨道定律)的内容可以判定：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，行星有时远离太阳，有时靠近太阳，其轨道在某一确定平面内，运动方向并不总是与它和太阳的连线垂直．故A、D错误，B、C正确．]
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
A B C D
D [在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.]
3．未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事．某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量( )
A．飞船绕行星运行的周期
B．飞船运行的轨道半径
C．飞船运行时的速度大小
D．该行星的质量
A [设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力：
G＝m2R得M＝，行星的密度ρ＝＝，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选A.]
4．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
[解析] 设地球绕太阳的运行周期为T1，水星绕太阳的运行周期为T2，根据开普勒第三定律有＝①
因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有
T1＝ ②
T2＝ ③
由①②③式联立求解得
＝＝＝＝＝.
[答案]
课件59张PPT。第5章 万有引力定律及其应用第1节 万有引力定律及引力常量的测定234面积椭圆焦点时间5平方半长轴r66.67×10－11吸引两物体的连线乘积m1m2距离r的平方两质点间两球心7能称出地球质量的人卡文迪许万有引力定律8×√×√9√√××√1011121314151617行星运动的规律181920212223242526万有引力定律 2728293031323334353637引力常量的测定及意义383940414243444546474849505152535455565758点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六)
[基础达标练]
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B错误；由开普勒第三定律可知，＝＝k，即＝，选项C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积不相等，选项D错误．]
2．关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星有关的量
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期越长
C．行星轨道的半长轴越长，公转周期越长
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则＝
C [＝k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；＝k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误．]
3．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为 ( )
A．0 B.
C. D.
B [根据G＝mg′，得g′＝，B正确．]
4．如图所示，两个质量分布均匀的实心球，半径分别为r1＝0.40 m、r2＝0.60 m，质量分别为m1＝4.0 kg、m2＝1.0 kg，两球间距离为r＝2.0 m，则两球间相互引力的大小为( )
A．6.67×10－11 N B．大于6.67×10－11 N
C．小于6.67×10－11 N D．不能确定
C [计算两均匀实心球间的相互作用，距离R可看成两球心的距离，即R＝r1＋r2＋r＝3.0 m，
由公式F＝G知F＝6.67×10－11× N＜6.67×10－11 N，选项C正确．]
5．某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)( )
A．R B．2R
C．4R D．8R
A [万有引力公式F＝G，其中r表示该物体到地球球心之间的距离，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为R处，使物体到地球球心的距离变成原来的2倍，故选A.]
6．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
A [由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3联立解得月球的密度ρ＝，A正确．]
二、非选择题(14分)
7．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球的半径R＝6.4×106 m，地球的质量m＝6×1024 kg，日地球心的距离r＝1.5×1011m，地球表面的重力加速度g取10 m/s2,1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M.(保留一位有效数字，引力常数未知)
[解析] 设T为地球绕太阳运行的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：
G＝m2r ①
对地球表面的物体m′，有m′g＝G②
联立①②两式得M＝，代入数据得
M＝2.0×1030 kg.
[答案] 2.0×1030 kg
[能力提升练]
(时间：25分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球球心和地球球心的距离之比为( )
A．1∶27 B．1∶9
C．1∶3 D．9∶1
B [根据F＝G ，由于引力相等即G＝G，所以＝＝＝，故选项B正确．]
2．两个质量均为m的星体，其连线的中垂线为MN，O为连线的中点，一质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受的万有引力将( )
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小再增大 D．先增大再减小
D [本题可以采用特殊点分析法，在O点受到的引力合力为0，在无穷远处受到的引力也为0，所以从O沿OM方向运动，引力先增大后减小，故D正确，A、B、C错误．]
3．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9
C．1/4 D．1/16
D [地球表面处的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
地面上：G＝mg0 ①
离地心4R处：G＝mg ②
由①②两式得＝.故选D.]
4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B.
C. D.
B [物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由并给出推导过程．
[解析] 使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，其轨道半径r近似等于行星自身的半径R，即r＝R
设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，若测出飞船运行的周期为T，则有＝mr2
联立解得M＝
又行星的体积V＝πR3
所以ρ＝＝
即宇航员只需测出T就能求出行星的密度．
[答案] 见解析
6．(14分)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比.
[解析] (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可有t＝.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
根据以上两式，解得g′＝g＝2 m/s2.
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
mg＝，所以M＝
由此可得＝·＝×＝.
[答案] (1)2 m/s2 (2)1∶80
