课题：第四章 图形的相似
4.4探索三角形相似的条件（一）
一．备课标：
（一）内容标准：了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识。
（二）核心概念： 在学生思考判断两个三角形相似，是否一定需要相似三角形定义中的全部条件，类比全等三角形的条件探索过程由少及多的分类探索两个三角形相似的条件。因此，在十大核心概念中突出培养学生的类比思想、分类思想、推理能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：教科书基于学生对相似三角形认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解相似三角形的判定条件1，并能根据具体问题进行适当的判定。但这仅仅是这堂课外显的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《相似三角形的条件1》内容从属于“相似图形”这一数学学习领域，因而务必服务于相似图形教学的远期目标：“让学生经历探索相似以及作出推断的全过程，发展学生的逻辑推理意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
（二）重点、难点分析：
重点：了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件：两角分别相等的两个三角形相似。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识和推理能力。
难点：探索三角形相似的条件的过程，感受数学的思想和方法。
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：理解相似三角形的定义，会求线段的比，会判断成比例线段。
（2）支持性条件：学生应具备探索问题的经验，能动手操作作图的能力，分析问题的能力和小组合作的能力。
2.起点能力分析：学生已经经历了三角形全等的探索过程。具备了一定的探索经验，同时学生在以往的学习中体会过数学中的分类思想和类比的思想，具备了推理能力及合作交流能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生能理解相似三角形定义，能分类的方法探索三角形相似的条件，画图，动手操作度量计算比较猜测，进而验证，再配以多媒体演示从而是学生理解判定定理，在此过程中，学生的操作能力有差别，分析能力有差别，可能有部分学生在探索过程中产生困惑，针对这一问题，采取策略是：类比全等三角形的探索过程和方法，在已有知识和技能的基础上进行升华和迁移。同时配以小组合作减少学困生的学习差距。
四．备教学目标：
经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法。
了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。
3、 在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值。
五．备教学过程：
（一）构建动场：
（1）相似多边形的定义？举例说出各种相似图形？
（2）什么是相似三角形呢？
建模：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（二）自主学习
（1）你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？
（2）如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？
（三）合作交流
1.做一做：
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试.
2. 想一想：
由上得知，大家能得出什么？（归纳相似三角形的判定条件）
建模二：
三角形相似的判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似.
4. 例题：
如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.
图4－27
（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段.
5. 想一想：
在上面例题的条件下，吗？
（四）（综合建模）
本节课我们学到了什么？
三角形相似的判定方法1：
（五）当堂检测
（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.
图4—6—1 图4—6—2
（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.
（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.
图4—6—3 图4—6—4
（4）如图4—6—4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.
（六）、作业：
A组
B组
课题：第四章 图形的相似
4.4探索三角形相似的条件（一）
一．备课标：
（一）内容标准：了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识。
（二）核心概念： 在学生思考判断两个三角形相似，是否一定需要相似三角形定义中的全部条件，类比全等三角形的条件探索过程由少及多的分类探索两个三角形相似的条件。因此，在十大核心概念中突出培养学生的类比的思想、分类的意识以及推理的能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：教科书基于学生对相似三角形认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解相似三角形的判定条件1，并能根据具体问题进行适当的判定。但这仅仅是这堂课外显的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《相似三角形的条件1》内容从属于“相似图形”这一数学学习领域，因而务必服务于相似图形教学的远期目标：“让学生经历探索相似以及作出推断的全过程，发展学生的逻辑推理意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
（二）重点、难点分析：
重点：了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件：两角分别相等的两个三角形相似。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识和推理能力。
难点：探索三角形相似的条件的过程，感受数学的思想和方法。
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：理解相似三角形的定义，会求线段的比，会判断成比例线段。
（2）支持性条件：学生应具备探索问题的经验，能动手操作作图的能力，分析问题的能力和小组合作的能力。
2.起点能力分析：学生已经经历了三角形全等的探索过程。具备了一定的探索经验，同时学生在以往的学习中体会过数学中的分类思想和类比的思想，具备了推理能力及合作交流能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生能理解相似三角形定义，能分类的方法探索三角形相似的条件，画图，动手操作度量计算比较猜测，进而验证，再配以多媒体演示从而是学生理解判定定理，在此过程中，学生的操作能力有差别，分析能力有差别，可能有部分学生在探索过程中产生困惑，针对这一问题，采取策略是：类比全等三角形的探索过程和方法，在已有知识和技能的基础上进行升华和迁移。同时配以小组合作减少学困生的学习差距。
四．备教学目标：
经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法。
了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。
3、 在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值。
五．备教学过程：
（一）构建动场：
（1）相似多边形的定义？举例说出各种相似图形？
（2）什么是相似三角形呢？
建模：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（二）自主学习
（1）你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？
（2）如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？
（三）合作交流
1.做一做：
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试.
2. 想一想：
由上得知，大家能得出什么？（归纳相似三角形的判定条件）
建模二：
三角形相似的判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似.
4. 例题：
如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.
图4－27
（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段.
5. 想一想：
在上面例题的条件下，吗？
（四）（综合建模）
本节课我们学到了什么？
三角形相似的判定方法1：
（五）当堂检测
（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.
图4—6—1 图4—6—2
（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.
（3）如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.
图4—6—3 图4—6—4
（4）如图4—6—4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.
（六）、作业：
A组
B组
课题：第四章 图形的相似
4.4探索三角形相似的条件（二）
一．备课标：
（一）内容标准：了解相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识。
（二）核心概念：前一课时讨论了角的情况，本课时进一步考虑边的情况，条件从最少开始依次分类增加探究从而得到三角形相似的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。因此，在十大核心概念中突出培养学生的类比的思想、分类的意识以及推理的能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：教科书通过问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，达到进一步探索三角形相似条件的目的，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，以及数学术语表达的精练、简洁。本节课学生经历发生、观察、操作、思考、交流、归纳的过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。同时，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象，增强解决问题的能力。
（二）重点、难点分析：
重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识和推理能力。
难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用。
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：理解相似三角形的定义判定方法一两角对应相等的两个三角形相似，会求线段的比，会判断成比例线段。
（2）支持性条件：学生应具备探索问题的经验，能动手操作作图的能力，分析问题的能力和小组合作的能力。
2.起点能力分析：学生已经经历了三角形全等的探索过程及三角形相似的判定一的探索过程。具备了一定的探索经验，同时学生在以往的学习中体会过数学中的分类思想和类比的思想，具备了推理能力及合作交流能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课是要在上节课探索三角形相似的条件第一课时的学习基础上，作为本章节第二节课，进一步加深相似三角形部分的知识，继续探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理。学生在上节课学习的基础上，已经具有一定的探索经验、分析问题能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力，但是在此过程中，学生的操作能力有差别，分析能力有差别，可能有部分学生在探索过程中产生困惑，针对这一问题，采取策略是：因此在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论总结的方式。
四．备教学目标：
理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2、在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。
3、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
4、养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。
五．备教学过程：
（一）构建动场：
活动一：复习提问
1.相似三角形的相关概念
(1)三个角对应_______ 、三条边对应_______的两个三角形叫做相似三角形
(2)相似三角形的对应角 _____，各对应边________ .
(3)相似比等于______的两个三角形全等.
2.我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？
3.（1）两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？
（2）如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
（3）如果增加一角相等，你能说出有哪几种可能的情况吗？
（4）全等三角形有哪些判定方法? 类比三角形全等的判定,你认为可能还有哪些方法能判定两个三角形相似?(请大胆猜想)
活动目的：通过课前预习发现学生易出现的错误，巩固知识，为新课的学习做好铺垫，有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化。
预期效果：课前布置，要求全班同学完成。教师课前批阅，以利于课堂上有针对性的讲解。当堂展示学生好的方法，研讨、改错。
（二）自主学习
活动二：
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是为什么吗？
活动目的： 通过生活中的的实际问题入手，激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
预期效果：学生对生活中的实际问题很感兴趣，尝试解决时能说出由于相似，但具体的说理时遇到困难。教师借此给出本节课课题。
（三）合作交流
活动三：
以四人为一组，合作探究、交流展示：
1.画△ABC与△A’B’C’，使∠A=∠A’，都等于给定的值k。设法比较∠B与∠B’的大小（或∠C与∠C’）。△ABC和△A’B’C’相似吗？
2.改变k值的大小，再试一试。
由学生归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
由学生归纳总结：两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。
活动目的：给学生一个自主探究、获得新知的平台，增强学生的自信心；将学习空间还给学生，让学生在相互合作交流的过程中发现知识，掌握知识。
活动四：小试牛刀
例2：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点。
AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长。
解：（略）
活动目的：此题是“共角型”相似三角形的典型例题，旨在让学生观察认识图形，并充分体会从直观发现到自觉说理的过渡过程，渗透了简单逻辑推理的思想，为第五节的学习做好铺垫，从而达到承前启后的目的。
活动五巩固提升：
1. 如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE＝=BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是为什么吗？
2. 课本78页 随堂练习
活动目的：通过对以上问题的解决，使学生经历由具体到抽象再到具体的探究过程。此外，解决本节课引入时提出的问题有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心，获得成功的体验，并增加论证的趣味性。
（四）综合建模：
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2.你还有哪些困惑？
活动目的：学生畅所欲言自己的实际收获，达到了本节课的教学目标。
预期效果：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。
（五）当堂检测
1.如图，（1）若________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝________，则△ABC∽△AEF。
2.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF中,∠E=52°,DE=7,EF=3,△ABC与△EDF是否相似?为什么?
布置作业：
1.（必做题）课本习题1、2、3
2.（选做题）
（1）课本习题4
（2）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝BC，那么图中与△ADE相似的三角形有___________.
50°
)
4
A
B
C
3.2
2
50°
)
E
D
F
1.6
课题：4.4探索三角形相似的条件（3）
一．备课标：
（一）内容标准： 了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似。?
（二）核心概念：十大核心概念本节课突出培养的是几何直观、推理能力。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件和性质来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。
（二）重点、难点分析：本节课利用画三边成比例的两个三角形，然后再利用前面所学的三角形相似的判定方法去证明两三角形相似，因此，本节课的重难点为：
重点：掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似” 。
难点：判定方法的推导及运用
三．备学情：
（一） 学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生在七年级已学习过三角形的基础知识，掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了成比例线段，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念。
（2）支持性条件：学生通过前两节课的学习，已经有一定的探索经验，学生能够类比前面的学习过程来进一步探索相似三角形的条件（三边成比例的两个三角形相似）。
2.起点能力分析
学生已经掌握了证明三角形相似的两个定理，能够运用前两个定理来证明两三角形相似。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生能够画出三角形，关键是教师要引导学生利用前面的两个相似的判定定理来证明 它的 正确性。学生对于对应这一概念可能会不清楚，需要强调好三边比的顺序。针对这一问题，采取策略是建议采用学生自主探索、分组讨论、总结，教师参与讨论并最后点评总结的方法。
四．教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握三角形相似的判定方法3。
（2）会用相似三角形的判定方法3来判断、证明及计算。
2、过程与方法：
以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景 ，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。
3、情感与价值观要求：
（1）通过探索相似三角形的判定方法3,体现数学活动充满着探索性和创造性.
（2）通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力。
五、教学过程
（一）构建动场
1、三角形相似的判定方法： .简称 .
2、Rt△ABC中，∠ACB=60°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则与△ABC相似的三角形有 个。
3、已知：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则BD= = ，△ABC∽ .
4、△ABC中，D为AC上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为 （ ）
A、1 B、 C、2 D、
(二)自主学习，合作交流
活动一、观察分析，探究新知
师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似。
画△ABC与△A′B′C′，使、和都等于给定的值k.
（1）设法比较∠A与∠A′的大小。
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.
改变k值的大小，再试一试。
活动二：学以致用·牛刀小试
在全等三角形的判定中SSA不成立.那么在相似三角形的判定中SSA是否成立？设法验证你的猜想.由此你能得到什么结论？
活动三.例题教学，运用新知
1、课本94页例3：学生独立完成后，教师板书过程
2、课本94页随堂练习：学生独立完成，学生展示。
3、 如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
(三)综合建模：
同学们，今天这节课你学会了什么？
在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
全等判定：
相似判定：
（四）当堂检测
1、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
2、如图1，已知∠DAB=∠EAC，若再增加一个条件，就能使△ADE与△ABC成立，这个条件根据 可以是 ；或根据 可以是 .
图1 图2
3、如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使△ADE与△ABC相似，只须添加一个条件，这个条件根据 可以是 ；或根据 可以是 ；根据 还可以是 .
4、下列几组图形必相似的是（ ）
A、各有一角为40°的两个等腰三角形 B、两边之比都是2：3的 两个直角三角形
C、有两边成比例且有2个角相等的两个三角形 D、各有一个角是91°的两个等腰三角形
5、能判定△ABC∽△DEF的条件是（ ）
A、 B、且∠A=∠F
C、且∠B=∠D D、且∠A=∠D
6、如图3已知△ABC中，P是边BC上一点，连接AP，以下条件不能判定△ABP∽△CBA的是（ ）
A、∠BAP=∠C B、∠APB=∠CAB C、AB：BP=BC：AB D、AC：AB=BC：BP
图3 图4
7、如图4，∠A0D=90°，OA=OB=BC=CD，则下列结论正确的是（ ）
A、△OAB∽△OCA B、△OAB∽△ODA C、△BAC∽△BDA D、以上结论均不对
8、如右图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AE=3，
AD=2，DB=4，AC=9，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
9、已知△ABC的三边分别为，4，5，△DEF的三边分别为2，，1，试判断△ABC与△DEF能否相似？并说明理由。
六、布置作业：
必做：课本95页习题4.7。
选作：
1、矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点．EF⊥EC交AB于点F．连接FC.
求证：△AEF∽△DCE
(对应)边角都相等
角边角
角角边
边边边
边角边
1. 两角分别相等
三角相等,
三边成比例
2. 三边成比例
3. 两边成比例且夹角相等
