3 理想气体的状态方程
[学习目标] 1.知道理想气体的模型，并知道实验气体在什么情况下可以看成理想气体．(重点)2.学会用气体实验定律推导出理想气体的状态方程．(重点)3.掌握理想气体状态方程的内容、表达式及物理意义．(重点、难点)4.学会应用理想气体状态方程解决实际问题．(重点、难点)
一、理想气体
1．理想气体
在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体．
2．理想气体与实际气体
在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍的条件下，把实际气体当做理想气体来处理．
二、理想气体的状态方程
1．内容
一定质量的某种理想气体，在从状态1变化到状态2时，尽管p、V、T都可能改变，但是压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变．
2．表达式
(1)＝；(2)＝C.
3．成立条件
一定质量的理想气体．
4．理想气体状态方程与实验定律的关系
(1)当一定质量理想气体温度不变时，由理想气体状态方程得pV＝C，即玻意耳定律．
(2)当一定质量理想气体体积不变时，由理想气体状态方程得＝C，即查理定律．
(3)当一定质量理想气体压强不变时，由理想气体状态方程得＝C，即盖—吕萨克定律．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实际气体在常温常压下可看作理想气体． (√)
(2)能严格遵守气体实验定律的气体是理想气体． (√)
(3)理想气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律． (√)
(4)一定质量的理想气体从状态1变化到状态2，经历的过程不同，状态参量的变化不同． (×)
(5)一定质量的气体，体积、压强、温度都可以变化． (√)
2．(多选)关于理想气体，下列说法正确的是( )
A．理想气体能严格遵守气体实验定律
B．实际气体在温度不太高、压强不太大的情况下，可看成理想气体
C．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可看成理想气体
D．所有的实际气体在任何情况下，都可以看成理想气体
E．一定质量的理想气体内能的变化只与温度有关
ACE [理想气体是在任何温度、任何压强下都能遵守气体实验定律的气体，A选项正确．它是实际气体在温度不太低、压强不太大情况下的抽象，故C正确；理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力，故无分子势能的变化，故E正确．]
3.一定质量的理想气体，封闭在有活塞的汽缸中，气体从状态a出发，经历ab、bc、cd、da四个过程回到状态a，各过程的压强p与温度T的关系如图所示，其中是等容过程的是__________．
[解析] 从图象中看，一定质量的气体，在由状态a到状态b的过程中满足关系式＝，所以a→b过程是等容过程；对于c→d的过程，由题图可见，有＝，所以c→d过程也是等容过程．
[答案] ab、cd
理想气体状态方程
1．理想气体状态方程与气体实验定律
＝?
由此可见，三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例．
2．理想气体状态方程的应用要点
(1)选对象：根据题意，选出所研究的某一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定．
(2)找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p、V、T数值或表达式，压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识(如力的平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式．
(3)认过程：过程表示两个状态之间的一种变化式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析中才能确定，认清变化过程是正确选用物理规律的前提．
(4)列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用理想气体状态方程或某一实验定律，代入具体数值，T必须用热力学温度，p、V的单位要统一，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义．
【例1】 如图，绝热汽缸A与导热汽缸B横截面积相同，均固定于地面，由刚性杆连接的绝热活塞与两汽缸间均无摩擦．两汽缸内都装有处于平衡状态的理想气体，开始时体积均为V0、温度均为T0，缓慢加热A中气体，停止加热达到稳定后，A中气体压强变为原来的1.2倍，设环境温度始终保持不变，求汽缸A中气体的体积VA和温度TA.
思路点拨：(1)汽缸B导热，B中气体初、末状态温度相等，发生的量等温变化．
(2)刚性杆连接绝热活塞，且A、B两个汽缸面积相等，因此A、B体积之和不变，而VA＋VB＝2V0.
[解析] 设初态压强为p0，膨胀后A、B压强相等，均为1.2p0.
B中气体始末状态温度相等，则有p0V0＝1.2p0(2V0－VA)
VA＝V0.
A部分气体满足＝
解得TA＝1.4T0.
[答案] V0 1.4T0
对于一定质量的理想气体，由状态方程＝C可知，当其中一个状态参量发生变化时，一定会引起另外一个状态参量发生变化或另外两个状态参量都发生变化．分析时抓住三个状态参量之间的物理关系是解决此类问题的关键．
1．一个半径为0.1 cm的气泡，从18 m深的湖底上升．如果湖底水的温度是8 ℃，湖面的温度是24 ℃，湖面的大气压强相当于76 cm高水银柱产生的压强，即101 kPa，那么气泡升至湖面时体积是多少？(ρ水＝1.0 g/cm3，g取9.8 m/s2.)
[解析] 由题意可知18 m深处气泡体积V1＝πr3≈4.19×10－3 cm3
p1＝p0＋ρ水 gh水＝277.4 kPa
T1＝(273＋8) K＝281 K
p2＝101 kPa
T2＝(273＋24) K＝297 K
根据理想气体的状态方程＝，得V2＝＝ cm3≈0.012 cm3.
[答案] 0.012 cm3
理想气体状态变化的图象
一定质量的理想气体的状态参量p、V、T可以用图象上的点表示出来，用点到点之间的连线表示气体从一个平衡态(与点对应)到另一个平衡态的变化过程．利用图象对气体状态、状态变化及规律进行分析，是常用的方法．
1．利用垂直于坐标轴的线作辅助线去分析同质量、不同温度的两条等温线，不同体积的两条等容线，不同压强的两条等压线的关系．
例如：如图甲所示，V1对应的虚线为等容线，A、B是与T1、T2两线的交点，可以认为从B状态通过等容升压到A状态，温度必然升高，所以T2>T1.
甲
又如图乙所示：
乙
T1对应的虚线AB为等温线，从B状态到A状态压强增大，体积一定减小，所以V22．一定质量理想气体的图象
(1)等温变化
①T一定时，在p -V图象中，等温线是一簇双曲线，图象离坐标轴越远，温度越高，如图甲所示，T2>T1.
甲 乙
②T一定时，在p -图象中，等温线是延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越大，温度越高，如图乙所示．
(2)等容变化
①V一定时，在p -T图象中，等容线为一簇延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越小，体积越大，如图甲所示．
甲 乙
②V一定时，在p -t图象中，等容线与t轴的交点是－273.15 ℃，是一条倾斜的直线，纵截距表示气体在0 ℃时的压强，如图乙所示．
(3)等压变化
①p一定时，在V-T图象中，等压线是一簇延长线过坐标原点的直线，直线的斜率越大， 压强越小，如图甲所示．
甲 乙
②p一定时，在V-t图象中，等压线与t轴的交点总是－273.15 ℃，是一条倾斜的直线，纵截距表示0 ℃时气体的体积，如图乙所示．
【例2】 内壁光滑的导热汽缸竖直浸放在盛有冰水混合物的水槽中，用不计质量的活塞封闭压强为1.0×105 Pa、体积为2.0×10－3 m3的理想气体．现在活塞上方缓缓倒上沙子，使封闭气体的体积变为原来的一半，然后将汽缸移出水槽，缓慢加热，使气体温度变为127 ℃.(大气压强为1.0×105 Pa)
(1)求汽缸内气体的最终体积(保留三位有效数字)；
(2)在如图所示的p-V图上画出整个过程中汽缸内气体的状态变化．
思路点拨：(1)在活塞上方缓缓倒沙子的过程是一个等温变化过程，缓慢加热的过程是一个等压变化过程．
(2)等压过程的图线为平行于V轴的直线，等容过程的图线为平行于p轴的直线，等温过程的图线为双曲线的一支．
[解析] (1)在活塞上方倒沙的全过程中温度保持不变，即p0V0＝p1V1，解得p1＝2.0×105 Pa.
在缓慢加热到127 ℃的过程中压强保持不变，则＝，所以V2≈1.5×10－3 m3.
(2)如图所示
[答案] (1)1.5×10－3 m3
(2)见解析
理想气体状态变化时注意转折点的确定
转折点是两个状态变化过程的分界点，挖掘隐含条件，找出转折点是应用理想气体状态方程解决气体状态变化问题的关键．
2．一定质量的气体，在状态变化过程中的p-T图象如图所示，在A状态时的体积为V0，试画出对应的V-T图象和p-V图象(标注字母和箭头)．
[解析] 根据理想气体状态方程，有＝＝，解得VB＝V0，VC＝V0
A到B是等温变化，B到C是等压变化，C到A是等容变化，作出对应的V-T图象和p-V图象如图所示．
甲 乙
[答案] 见解析
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.理想气体及可视为理想气体的条件.
2.理想气体状态方程的内容和表达式.
3.理想气体状态方程的适用条件和应用.
1．(多选)下列对理想气体的理解，正确的有( )
A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想模型
B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关
D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵循气体实验定律
E．理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可以忽略不计，分子视为质点
ADE [理想气体是一种理想化模型，温度不太低，压强不太大的实际气体可视为理想气体；只有理想气体才遵循气体的实验定律，选项A、D正确，选项B错误．一定质量的理想气体的内能完全由温度决定，与体积无关，选项C错误．]
2．(多选)对一定质量的气体，下列说法正确的是( )
A．温度发生变化时，体积和压强可以不变
B．温度发生变化时，体积和压强至少有一个发生变化
C．如果温度、体积和压强三个量都不变化，我们就说气体状态不变
D．只有温度、体积和压强三个量都发生变化，我们就说气体状态变化了
BC [p、V、T三个量中，可以两个量发生变化，一个量恒定，也可以三个量同时发生变化，而一个量变化，另外两个量不变的情况是不存在的，气体状态的变化就是p、V、T的变化．故B、C说法正确．]
3．如图所示，a，b，c三点表示一定质量理想气体的三个状态，则气体在a，b，c三个状态的热力学温度之比是( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶1 C．3∶4∶3 D．1∶2∶3
C [根据理想气体状态方程＝C可知，T∝pV，所以Ta∶Tb∶Tc＝(paVa)∶(pbVb)∶(pcVc)＝3∶4∶3，选项C正确．]
4．房间的容积为20 m3，在温度为7 ℃、大气压强为9.8×104 Pa时，室内空气质量是25 kg.当温度升高到27 ℃，大气压强变为1.0×105 Pa时，室内空气的质量是多少？
[解析] 气体初态：
p1＝9.8×104 Pa，V1＝20 m3，T1＝280 K
末态：p2＝1.0×105 Pa，V2＝？，T2＝300 K
由状态方程：＝
所以V2＝V1＝ m3＝21.0 m3
因V2>V1，故有气体从房间内流出
房间内气体质量m2＝m1＝×25 kg≈23.8 kg.
[答案] 23.8 kg
课件53张PPT。第八章 气体3 理想气体的状态方程气体实验定律 温度 压强 压强跟体积 热力学温度 理想气体 温度 玻意耳定律 体积 查理定律 压强 盖—吕萨克定律 √√√×√理想气体状态方程理想气体状态变化的图象 甲甲 乙点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．(多选)一定质量的理想气体，初始状态为p、V、T，经过一系列状态变化后，压强仍为p，则下列过程中不可实现的是( )
A．先等温膨胀，再等容降温
B．先等温压缩，再等容降温
C．先等容升温，再等温压缩
D．先等容降温，再等温压缩
E．先等容降温，再等温膨胀
ACE [根据理想气体的状态方程＝C，若经过等温膨胀，则T不变，V增加，p减小，再等容降温，则V不变，T降低，p减小，最后压强p肯定不是原来值，A不可实现；同理可以确定C、E也不可实现．]
2．(多选)如图为一定质量的理想气体两次不同体积下的等容变化图线，有关说法正确的是( )
A．a点对应的气体分子密集程度大于b点对应的气体分子密集程度
B．a点对应的气体状态其体积等于b点对应的气体体积
C．由状态a沿直线ab到状态b，气体经历的是等容过程
D．由状态a沿直线ab到状态b，气体经历的是等温过程
E．气体在状态a时的值等于气体在状态b时的值
ADE [由＝C，a点对应的气体状态其体积小于b点对应的气体体积，故a点对应的气体分子密集程度大于b点对应的气体分子密集程度，故A正确，B错误；由状态a沿直线ab到状态b，气体经历的是等温过程，故C错误，D正确；气体质量未变，在状态a时＝C，气体在状态b时＝C，故E正确．]
3．(多选)关于理想气体的状态变化，下列说法中正确的是( )
A．一定质量的理想气体，当压强不变而温度由100 ℃上升到200 ℃时，其体积增大为原来的2倍
B．一定质量的气体由状态1变化到状态2时，一定满足方程＝
C．一定质量的理想气体体积增大到原来的4倍，可能是压强减半，热力学温度加倍
D．一定质量的理想气体压强增大到原来的4倍，可能是体积加倍，热力学温度减半
E．一定质量的理想气体热力学温度增大为原来的4倍，可能是压强加倍，体积加倍
BCE [一定质量的理想气体压强不变，体积与热力学温度成正比．温度由100 ℃上升到200 ℃时，体积增大为原来的1.27倍，故A错误；理想气体状态方程成立的条件为质量不变，B正确．由理想气体状态方程＝恒量可知，C、E正确，D错误．]
4．(多选)如图所示是理想气体经历的两个状态的p-T图象，对应的p-V图象和V-T图象不正确的是( )
ABE [由p-T图象可知，气体先经历等容变化，后经历等温压缩，所以对应的p-V图象是C，所以C正确，对应的V-T图象是D，所以D正确．]
5．(多选)在下列图中，能反映一定质量的理想气体经历了等温变化→等容变化→等压变化后，又回到初始状态的图是( )
ACD [根据p-V、p-T、V-T图象的物理意义可以判断，其中B、E反映的是理想气体经历了等温变化→等压变化→等容变化，与题意不符，故A、C、D项符合要求．]
6．(多选)如图所示，用活塞把一定质量的理想气体封闭在导热汽缸中，用水平外力F作用于活塞杆，使活塞缓慢向右移动，由状态①变化到状态②.如果环境温度保持不变，分别用p、V、T表示该理想气体的压强、体积、温度．气体从状态①变化到状态②，此过程可用下列哪几个图象表示( )
ADE [由题意知，由状态①到状态②过程中，温度不变，体积增大，根据＝C可知压强将减小．对A图象进行分析，p-V图象是双曲线即等温线，且由状态①到状态②体积增大，压强减小，故A项正确；对B图象进行分析，p-V图象是直线，温度会发生变化，故B项错误；对C图象进行分析，可知温度不变，但体积减小，故C项错误；对D、E图象进行分析，可知温度不变，压强减小，故体积增大，D、E项正确．]
二、非选择题(14分)
7．已知湖水深度为20 m，湖底水温为4 ℃，水面温度为17 ℃，大气压强为1.0×105 Pa.当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的多少倍．(取g＝10 m/s2，ρ水＝1.0×103 kg/m3)
[解析] 湖底压强大约为p0＋ρ水gh，即3个大气压，由气体状态方程，＝，≈3.1当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的3.1倍．
[答案] 3.1
[能力提升练]
1．(8分)用打气筒将压强为1 atm的空气打进自行车胎内，如果打气筒容积ΔV＝500 cm3，轮胎容积V＝3 L，原来压强p＝1.5 atm.现要使轮胎内压强变为p′＝4 atm，问用这个打气筒要打气(设打气过程中空气的温度不变)多少次．
[解析] 因为温度不变，可应用玻意耳定律的分态气态方程求解．pV＋np1ΔV＝p′V，代入数据得
1．5 atm×3 L＋n×1 atm×0.5 L＝4 atm×3 L
解得n＝15.
[答案] 15
2．(8分)一定质量的理想气体，经历了如图所示的变化，A→B→C，这三个状态下的温度之比TA∶TB∶TC为__________．
[解析] 由＝C可知TA∶TB∶TC＝3∶6∶5.
[答案] 3∶6∶5
3．(10分)如图所示，玻璃管内封闭了一段气体，气柱长度为l，管内外水银面高度差为h.若温度保持不变，把玻璃管稍向上提起一段距离，则h______________，l__________.(均选填“变大”或“变小”)
[解析] 开始时，玻璃管中的封闭气体的压强p1＝p0－ρgh，上提玻璃管，假设h不变，l变长，由玻意耳定律得，p1l·S＝p2(l＋Δl)·S，所以内部气体压强小了，大气压p0必然推着液柱上升，假设不成立，h必然升高一些．最后稳定时，封闭气体的压强p2＝p0－ρg(h＋Δh)减小，再根据玻意耳定律，p1l1·S＝p2l2·S，l2＞l1，l变大．
[答案] 变大 变大
4．(12分)一定质量的理想气体由状态A变为状态D，其有关数据如图甲所示，若状态D的压强是2×104 Pa.
甲 乙
(1)求状态A的压强；
(2)请在乙图中画出该状态变化过程的p-T图象，并分别标出A、B、C、D各个状态，不要求写出计算过程．
[解析] (1)据理想气体状态方程：＝，则pA＝＝ Pa＝4×104 Pa.
(2)A→B等容变化、B→C等温变化、C→D等容变化，根据理想气体状态方程可求得各状态的参量．p-T图象及A、B、C、D各个状态如图所示．
[答案] (1)4×104 Pa (2)见解析图
5．(12分)如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻璃管，当t1＝31 ℃、大气压强p0＝76 cmHg时，两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8 cm，求：
(1)当温度t2是多少时，左管气柱L2为9 cm；
(2)当温度达到上问中的温度t2时，为使左管气柱长L为8 cm，应在右管中加入多长的水银柱．
[解析] (1)初状态：p1＝p0＝76 cmHg
V1＝L1S，T1＝304 K
末状态：p2＝p0＋2 cmHg＝78 cmHg
V2＝L2S，T2＝？
根据理想气体状态方程＝
代入数据得T2＝351 K，t2＝78 ℃.
(2)设应在右管中加入h cm水银柱，p3＝p0＋h＝
(76＋h)cmHg，V3＝V1＝L1S，T3＝T2＝351 K
根据理想气体状态方程＝
代入数据得h＝11.75 cm.
[答案] (1)78 ℃ (2)11.75 cm
