习题课2 电磁感应中的电路及图象问题
[学习目标] 1.进一步理解公式E＝n与E＝Blv的区别和联系，能够应用两个公式求解感应电动势． 2.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路． 3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题．
电磁感应中的电路问题
1．对电源的理解
(1)在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能．
(2)判断感应电流和感应电动势的方向，都是利用相当于电源的部分根据右手定则或楞次定律判定的．实际问题中应注意外电路电流由高电势处流向低电势处，而内电路则相反．
2．对电路的理解
(1)内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．
(2)在闭合电路中，相当于“电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样，等于路端电压，而不等于感应电动势．
3．解决电磁感应中的电路问题的基本思路
(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路．
(2)用法拉第电磁感应定律或切割公式确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向．
(3)分清内外电路，画出等效电路图．
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．
【例1】 如图所示，MN、PQ为平行光滑金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且可以在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v＝5 m/s的速度做匀速运动．求：
(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；
(2)导体棒AB两端的电压UAB.
[解析] (1)导体棒AB产生的感应电动势
E＝BLv＝2.5 V
由右手定则知，AB棒上的感应电流方向向上，即沿B→A方向．
(2)R并＝＝2 Ω
I＝＝ A
UAB＝IR并＝ V≈1.7 V.
[答案] (1)2.5 V B→A方向 (2)1.7 V
导体棒在匀强磁场运动过程中的变与不变
(1)外电阻的变与不变
若外电路由无阻导线和定值电阻构成，导体棒运动过程中外电阻不变；若外电路由考虑电阻的导线组成，导体棒运动过程中外电阻改变．
(2)内电阻与电动势的变与不变
切割磁感线的有效长度不变，则内电阻与电动势均不变．反之，发生变化．处理电磁感应过程中的电路问题时，需特别关注电动势及内、外电阻是否变化．
1．(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为L＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值为R＝10 Ω的电阻．一阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( )
A．导体棒ab中电流的流向为由b到a
B．cd两端的电压为1 V
C．de两端的电压为1 V
D．fe两端的电压为1 V
BD [由右手定则可判断导体棒ab中电流方向由a到b，A错误；由ab切割磁感线得E＝BLv，I＝，Uba＝IR＝1 V，又ba、cd、fe两端的电压相等，B、D正确；de两端的电压为零，C错误．]
电磁感应中的图象问题
1.明确图象的种类，即是B-t图象还是Φ-t图象，或者是E-t图象、I-t图象、F-t图象等．
2．分析电磁感应的具体过程．
3．确定感应电动势(或感应电流)的大小和方向，有下列两种情况：
(1)若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E＝n确定感应电动势大小的变化．
(2)若磁场不变，导体切割磁感线，用右手定则判断感应电流的方向，用E＝Blv确定感应电动势大小的变化．
4．画图象或判断图象，特别注意分析斜率的变化、截距等．
5．涉及受力问题，可由安培力公式F＝BIL和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式．
【例2】 (2019·全国卷Ⅱ)如图所示，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( )
[答案] AD
【例3】 如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L.现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，图中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图象是( )
D [由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，安培力总是阻碍物体的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，故选项D正确，选项C错误；当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时是最大的，故选项A、B错误．]
解决线框进出磁场问题需要注意的事项
(1)由线框的形状判断切割磁感线的有效长度是否变化，如何变化．
(2)若只有一个磁场且足够宽，关注两个过程即可：进入磁场的过程；离开磁场的过程．
(3)若有两个不同的磁场，还需注意线框的边分别在不同磁场时产生感应电流方向的关系．
2．如图所示，一底边为L、底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L、宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线可能是( )
A B
C D
A [根据E＝Blv，I＝＝，三角形导体线框进、出磁场时，有效长度l都变小．再根据右手定则可知，进磁场时感应电流方向为正，出磁场时感应电流方向为负，故选A.]
1．如图所示，ab、cd为两根相距为l的平行直导轨，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可以忽略不计．MN为放在ab和cd上的一导体杆，与导轨垂直，其电阻也为R，整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面(指向图中纸面内)．现对MN施力使它沿导轨方向以速度v向右做匀速运动，令U表示MN两端的电压的大小，则( )
A．U＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由b到d
B．U＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由d到b
C．U＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由b到d
D．U＝Blv，流过固定电阻R的感应电流由d到b
A [根据右手定则可得，流过R的感应电流由b到d，MN的感应电动势为E＝Blv，I＝，MN两端电压为路端电压，U＝IR＝Blv，A正确．]
2．如图甲所示，闭合的圆线圈放在匀强磁场(图中未画出)中，t＝0时磁感线垂直线圈平面向里穿过线圈，磁感应强度随时间变化的关系图线如图乙所示，则在0～2 s内线圈中感应电流的大小和方向为( )
A．逐渐增大，逆时针
B．逐渐减小，顺时针
C．大小不变，顺时针
D．大小不变，先顺时针后逆时针
C [因为B-t图线的斜率不变，所以感应电流恒定．根据楞次定律判断电流方向为顺时针．故C正确．]
3．如图所示，在x≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里．具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合．令线框从t＝0时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t的变化图线正确的是( )
A B C D
D [因为线框做匀加速直线运动，所以感应电动势为E＝Blv＝Blat，因此感应电流大小与时间成正比，由楞次定律可知方向为顺时针，故D正确．]
4．如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面．环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为( )
A. B. C. D．Bav
A [摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·v＝Bav.由闭合电路欧姆定律有UAB＝·＝Bav，故选A.]
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(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．如图所示，水平导轨的电阻忽略不计，金属棒ab和cd的电阻分别为Rab和Rcd，且Rab>Rcd，它们处于匀强磁场中．金属棒cd在力F的作用下向右匀速运动，ab在外力作用下处于静止状态．下列说法正确的是( )
A．Uab>Ucd B．Uab＝Ucd
C．UabB [金属棒cd在力F的作用下向右做切割磁感线运动，应将其视为电源，而c、d分别等效为这个电源的正、负极，Ucd是电源两极间的电压，是路端电压，不是内电压，又导轨的电阻忽略不计，则金属棒ab两端的电压Uab也等于路端电压，即Uab＝Ucd，故选项B正确．]
2．如图所示，用相同导线制成的边长为L或2L的4个单匝闭合线框以相同的速度先后沿垂直于磁场边界的方向穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，区域宽度大于2L，则进入磁场过程中，电流最大的回路是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
C [线框进入磁场过程中，做切割磁感线运动，设切割磁感线的有效长度为d，产生的感应电动势E＝Bdv，根据电阻定律可知，线框的电阻R＝ρ，由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流I＝，联立以上各式有I＝·，所以线框切割磁感线的有效长度d越长，总长度l越短，其感应电流越大，对照四种图形可知，C正确．]
3．如图所示，两个互连的金属圆环中，小金属圆环的电阻是大金属圆环电阻的，磁场垂直穿过大金属圆环所在区域．当磁感应强度随时间均匀变化时，在大金属圆环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为( )
A.E B.E C.E D．E
B [a、b间的电势差相当于路端电压，而小金属圆环电阻占电路总电阻的，故Uab＝E，B正确．]
4．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面向里，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是( )
A B C D
B [磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路由三个相同电阻串联，选项A、C、D中a、b两点间电势差为外电路中一个电阻两端的电压，即U＝E＝，选项B中a、b两点间电势差为路端电压，即U′＝E＝，B正确．]
5．如图中A是一底边宽为L的闭合线框，其电阻为R.现使线框以恒定的速度v沿x轴向右运动，并穿过图中所示的宽度为d的匀强磁场区域，已知L＜d，且在运动过程中线框平面始终与磁场方向垂直．若以x轴正方向作为力的正方向，线框从如图所示位置开始运动的时刻作为时间的零点，则下列选项的图象中，可能正确反映上述过程中磁场对线框的作用力F随时间t变化情况的是( )
A B
C D
D [当线框进入磁场后，根据楞次定律可以判断感应电流的方向为逆时针，根据左手定则，安培力的方向沿x轴负方向；出磁场时，同理可判断安培力的方向沿x轴负方向，故D选项正确．]
6．(多选)一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，规定垂直纸面向里为正方向，在磁场中有一金属圆环，圆环平面位于纸面内，如图甲所示．现令磁感应强度B随时间t变化，先按如图乙所示的Oa图线变化，后来又按照图线bc、cd变化，令E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中的感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则( )
甲 乙
A．E1>E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向
B．E1C．E1D．E3＝E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向
BC [bc段与cd段磁感应强度的变化率相等，大于Oa段磁感应强度变化率，E1二、非选择题(14分)
7．法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究．实验装置的示意图如图所示，两块面积均为S的矩形金属板，平行、正对、竖直地全部浸在河水中，间距为d.水流速度处处相同，大小为v，方向水平．金属板与水流方向平行．地磁场磁感应强度的竖直分量为B，水的电阻率为ρ，水面上方有一阻值为R的电阻通过绝缘导线和开关S连接到两金属板上，忽略边缘效应，求：
(1)该发电装置的电动势；
(2)通过电阻R的电流的大小；
(3)电阻R消耗的电功率．
[解析] (1)由法拉第电磁感应定律，有E＝Bdv.
(2)两金属板间河水的电阻r＝ρ
由闭合电路欧姆定律，有
I＝＝.
(3)由电功率公式P＝I2R，
得P＝2R.
[答案] (1)Bdv (2) (3)2R
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．如图所示，竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的变化的磁场，螺线管下方水平桌面上有一导体环，导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度按下列选项中的哪一图线所示的方式随时间变化时，导体环将受到向上的磁场作用力( )
A B C D
A [根据法拉第电磁感应定律得E＝＝S，又根据楞次定律可得，当导体环受到向上的磁场力时，说明穿过线圈的磁通量正在减小，所以导线abcd中的电流正在减小，由I＝＝可知，正在减小，即B-t图象上各点切线的斜率随时间减小，故选A.]
2．(多选)如图所示，三个相同的金属圆环内存在着不同的有界匀强磁场，虚线表示环的某条直径，已知所有磁场的磁感应强度随时间变化关系都满足B＝kt，磁场方向如图所示．测得A环内感应电流为I，则B环和C环内感应电流分别为( )
A．IC＝0 B．IB＝I
C．IC＝2I D．IB＝2I
AD [C环中穿过圆环的磁感线完全抵消，磁通量为零，保持不变，所以没有感应电流产生，则IC＝0；根据法拉第电磁感应定律得E＝n＝nS＝kS，S是有效面积，可得E∝S，所以A、B中感应电动势之比EA∶EB＝1∶2，根据欧姆定律得，IB＝2IA＝2I.]
3．环形线圈放在匀强磁场中，设在第1 s内磁场方向垂直于线圈平面向里，如图甲所示．若磁感应强度随时间t的变化关系如图乙所示．那么在第2 s内，线圈中感应电流的大小和方向是( )
甲 乙
A．大小恒定，顺时针方向
B．大小恒定，逆时针方向
C．大小逐渐增加，顺时针方向
D．大小逐渐减小，逆时针方向
B [由题意可知，第1 s内磁场方向垂直于线圈平面向里，则在第2 s内，磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度均匀减小，所以产生恒定的电流，根据楞次定律，感应电流的方向为逆时针方向，故选项B正确．]
4.用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示．当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间电势差是( )
A．Uab＝0.1 V B．Uab＝－0.1 V
C．Uab＝0.2 V D．Uab＝－0.2 V
B [题中正方形线框的左半部分磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压，设正方形边长为l，且依题意知＝10 T/s.由E＝得E＝＝·＝10× V＝0.2 V，所以U＝IR＝·＝0.1 V，由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－0.1 V，即选项B正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；
(2)在圆环和金属棒上消耗的总热功率．
[解析] (1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路如图所示，等效电源电动势为
E＝Blv＝2Bav.
外电路的总电阻为R外＝＝R.
棒上电流大小为I＝＝＝.
电流方向从N流向M.
根据分压原理，棒两端的电压为
UMN＝·E＝Bav.
(2)圆环和金属棒上消耗的总热功率为
P＝IE＝.
[答案] (1) 方向由N→M Bav
(2)
6．(13分)电磁弹是我国最新的重大科研项目，原理可用下述模型说明．如图甲所示，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，一边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上，线框电阻为R，质量为m，ab边在磁场外侧紧靠MN虚线边界处．t＝0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B＝B0＋kt(k为大于零的常量)，空气阻力忽略不计．
(1)求t＝0时刻，线框中感应电流的功率P；
(2)求线框cd边穿出磁场时通过线框某一横截面的电荷量q；
(3)若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，证明：载物线框匝数越多，t＝0时线框加速度越大．
[解析] (1)t＝0时刻线框中的感应电动势
E0＝kL2
功率P＝
解得P＝.
(2)穿出磁场过程线框中的平均电动势＝
线框中的平均电流＝
通过的电荷量q＝Δt，解得q＝.
(3)证明：n匝线框在t＝0时刻产生的感应电动势E＝nE0
线框的总电阻R总＝nR
线框中的电流I＝
t＝0时刻线框受到的安培力F＝nB0IL
设线框的加速度为a，根据牛顿第二定律有
F＝(nm＋M)a
解得a＝，可知匝数n越大，加速度a越大．
[答案] (1) (2) (3)见解析
