2 描述交变电流的物理量
[学习目标] 1.知道描述交变电流的峰值、瞬时值、平均值、周期、频率等物理量，并理解这些物理量的意义．(重点) 2.会根据有效值的定义求交变电流的有效值．(难点) 3.能根据正弦式电流的峰值和有效值的关系进行计算．(难点)
一、周期和频率
1．物理意义：描述交变电流变化快慢的物理量．
2．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位是秒(s)．
3．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，用f表示，单位是赫兹(Hz)．
4．ω、T、f的关系：ω＝＝2πf，T＝或f＝.
5．我国民用交变电流的周期和频率
(1)周期：T＝0.02 s.
(2)频率：f＝50 Hz.
ω＝100π rad/s，电流方向每秒钟改变100次．
二、峰值、有效值和相位
1．峰值
(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大数值．
(2)应用：电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值．
2．有效值
(1)定义：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫作这个交流的有效值．
(2)应用
①交流用电设备上所标的额定电压和额定电流；
②交流电压表测量的数值；
③无特别说明时提到的交变电流的数值．
3．正弦式交变电流峰值和有效值的关系：I＝，U＝.
4．相位
(1)正弦式交变电流瞬时值表达式中正弦符号“sin”后面的量“ωt＋φ”叫作交变电流的相位，“φ”叫作初相位．
(2)两支交流的相位之差叫作它们的相位差；当它们的频率相同时，相位差是个常数．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)打点计时器所接交流电频率f＝50 Hz时，打点周期为T＝0.02 s．(√)
(2)我国电网中交流电的频率是100 Hz. (×)
(3)某段时间内的交流电的平均值等于这段时间初末时刻瞬时值的算术平均值． (×)
(4)我国民用交变电流的照明电压为220 V和动力电压为380 V都是指有效值． (√)
(5)交变电流的有效值即为一个周期内的平均值． (×)
2．关于交变电流的周期和频率，下列说法中正确的是( )
A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s
C [根据周期的定义知选项A、B错误；因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝＝ s＝0.02 s，知选项D错误．]
3．电阻R1、R2与交流电源按照图甲方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则( )
甲 乙
A．通过R1的电流有效值是1.2 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流最大值是1.2 A
D．R2两端的电压最大值是6 V
B [从题图乙可以看出，该交变电流的电流最大值为0.6 A，正弦式交变电流有效值为I＝＝0.6 A，R1两端电压有效值为U1＝IR1＝6 V，R2两端电压最大值为Um＝ImR2＝0.6×20 V＝12 V，综上所述，正确选项为B.]
描述交变电流的物理量
1.线圈转动一周，交变电流恰好完成一次周期性变化．
2．从线圈转动的角度来说，周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间；频率就是线圈在磁场中一秒钟内转动的圈数．
3．线圈在匀强磁场中转动一周，电动势、电流都按正(余)弦规律变化一次．
【例1】 小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速运动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示．此线圈与一个R＝10 Ω的电阻构成闭合电路．不计电路的其他电阻，下列说法正确的是( )
A．交变电流的周期为0.125 s
B．交变电流的频率为8 Hz
C．交变电流的有效值为 A
D．交变电流的最大值为4 A
C [由题图象可以看出，此交变电流的周期为0.250 s，电压的最大值Um＝20 V，所以交变电流的频率为4 Hz，A、B项错误；交变电流的最大值Im＝＝2 A，有效值I＝＝ A，C项正确，D项错误．]
1．(多选)某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)，对此电动势，下列表述正确的是( )
A．最大值是50 V B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
CD [由交变电动势的表达式可知，电动势的最大值Em＝50 V，有效值为E＝＝25 V，周期T＝＝0.02 s，频率f＝＝50 Hz，故C、D正确．]
交变电流有效值的计算
1．正弦式交变电流：E＝，U＝，I＝.
2．对非正弦式交变电流，必须根据电流的热效应来求解有效值，且时间一般取一个周期．其具体做法是：假设让交变电流通过电阻R，计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)，其中热量Q用相应的物理量的有效值表示(如Q＝I2Rt，Q＝)，进而求出相应的有效值．
【例2】 通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流图象如图所示，其周期为1 s．电阻两端电压的有效值为( )
A．12 V B．4 V C．15 V D．8 V
B [由题意结合有效值的定义可得I2RT＝2，将I1＝0.1 A，I2＝0.2 A代入可得流过电阻的电流的有效值I＝ A，故电阻两端电压的有效值为IR＝4 V，B正确．]
上例中，若在电路中串联一个二极管，其他条件不变，则电阻两端电压的有效值为多少？
提示：I′2RT＝IR·T＋IR·T
解得I′＝ A
故U′＝I′R＝4 V
当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解．求解步骤如下：
2．如图所示是一交变电流的i-t图象，则该交变电流的有效值为( )
A．4 A B．2 A C. A D. A
D [根据交变电流有效值的定义可得：I2RT＝IRt1＋IRt2，I2R×3×10－2＝2R×10－2＋42R×2×10－2，解得I＝ A，D正确．]
交变电流的四值比较
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝nBSω，Im＝
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值、电压值
E＝，U＝，I＝
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图象中图线与时间轴所围面积与时间的比值
＝n
＝
计算通过电路横截面的电荷量
【例3】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量．
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝＝314 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，
即P外＝＝ W＝1.97×104 W.
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为
e＝Emsin 30°＝314 V
感应电流的瞬时值为i＝＝ A＝31.4 A.
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为
＝N
平均感应电流为＝N
故通过导线横截面的电荷量为
q＝Δt＝N＝＝0.1 C.
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A
(3)0.1 C
应用交变电流四值时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压．
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值．
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值．
3.交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机( )
A．电动势的峰值为10 V
B．电动势的有效值为9 V
C．交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10 V
D．交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为 V
D [因电压表示数为9 V，所以电路中的电流I＝ A＝1 A，故电动势的有效值E＝I(r＋R)＝10 V，其最大值Em＝E＝10 V，故A、B错误；线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0，C错误；转过90°的过程中的平均感应电动势，应用公式＝n求解，＝n＝n＝n＝，又nBSω＝10 V，故＝ V，D正确．]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.周期和频率描述的是交变电流变化的快慢，我国日常生活用电的频率为50 Hz.
2．有效值是根据电流的热效应进行定义的，对于正弦交变电流来说，有效值和峰值的关系为：I＝，U＝.
3．不同的交流发电机在向同一个电网供电时，它们的相位差必须为零.
1．(多选)一个矩形线圈在匀强磁场中转动，产生的感应电动势e＝220sin 100πt(V)，则( )
A．交流电的频率是100π Hz
B．t＝0时，线圈位于中性面
C．交流电的周期是0.02 s
D．t＝0.05 s时，e有最大值
BC [由瞬时值表达式知：感应电动势按正弦规律变化，所以t＝0时，线圈位于中性面，角速度ω＝100π rad/s.因ω＝2πf，所以f＝＝ Hz＝50 Hz；由T＝得T＝ s＝0.02 s；当t＝0.05 s时，e＝220sin 5π(V)＝0，故B、C选项正确．]
2．在阻值为70 Ω的电阻中通以正弦交变电流，测得在10 min 内放出的热量为2.1×104 J，则此交变电流的最大值为( )
A．0.24 A B．0.5 A C．0.707 A D．1 A
D [根据Q＝I2Rt得I＝ A，所以Im＝I＝1 A．]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比等于( )
A. B. C. D.
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，题图甲的有效值为I1＝，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得＝，B正确．]
4．(多选)有两支交变电流表达式分别是：u1＝110·sin V，u2＝220sin V．下列说法正确的是( )
A．它们的峰值相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的变化步调一致
BC [u1代表的交流电的电压峰值为110 V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为.u2代表的交流电的电压峰值为220 V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为.所以它们的峰值不同，A错误；由于频率相同f＝50 Hz，故T均为0.02 s，B正确；其相位差ΔΦ＝－＝为定值，C正确，D错误．]
课件49张PPT。第五章 交变电流2 描述交变电流的物理量变化快慢赫兹1000.0250最大相等电阻高于额定额定初相位频率相位差√×√××点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分)
1．下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数 B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压 D．220 V交流电压
C [电容器击穿电压指电容器两端能承受的电压的最大值．]
2．下列关于交变电流的说法正确的是( )
A．若交变电流的峰值为5 A，则它的最小值为－5 A
B．用交流电流表测交变电流时，指针来回摆动
C．我国工农业生产和生活用的交变电流频率为50 Hz，故电流方向每秒改变100次
D．正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的峰值为20 A，频率为100 Hz
C [电流的负值表示电流方向与规定正方向相反，不表示大小，A项错误；交流电流表测交变电流时，指针不会来回摆动，B项错误；我国工农业生产和生活用的交变电流，周期为0.02 s，交流电方向一个周期改变两次，所以每秒改变100次，C项正确；由ω＝2πf，得正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的频率为 5 Hz，D项错误．]
3．(多选)如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图乙中曲线a、b所示，则( )
甲 乙
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
AC [由题图乙知t＝0时两次转动产生的瞬时电动势都等于零，故A正确；由题图乙知两次转动所产生的交变电动势的周期之比Ta∶Tb＝2∶3，再由周期与转速的关系n＝得na∶nb＝3∶2，故B错误；因Ta＝4×10－2 s，故fa＝＝25 Hz，C正确；因Ema＝15 V，而Em＝NBSω＝，故Emb＝Ema＝10 V，Eb＝＝5 V，D错误．]
4．如图所示为一交变电流的i-t图象，则此交变电流的有效值为( )
A．5 A B．5 A
C．10 A D．2.5 A
D [对于正弦式交变电流可直接应用最大值为有效值的倍这一规律，将此交变电流分为前后两部分正弦式交流，可直接得到这两部分正弦式交变电流的有效值，分别为I1＝2.5 A和I2＝7.5 A，分别取一个周期T中的前0.01 s和后0.01 s计算产生的电热Q＝IR×0.01 J＋IR×0.01 J，再利用有效值的定义得Q＝I2R×0.02 J，解得I＝2.5 A．]
5．(多选)有一个电子元器件，当其两端电压高于100 V时导电，等于或低于100 V时不导电，若把这个电子元器件接到100 V、50 Hz的正弦交变电压上，这个电子元器件将( )
A．不导电
B．每秒导电50次
C．每秒导电100次
D．每秒电流方向改变100次
CD [电源电压100 V为有效值，则电源电压的最大值为100 V，在每个周期的0～内，有一段时间加在电子元器件上的电压大于100 V，电子元件导电，在每个周期的～T内，有一段时间加在电子元器件上的电压大于100 V，电子元件导电，即一个周期电子元件导电两次，而每秒有50个周期，故每秒导电100次，A、B错误，C正确；每秒有50个周期，每个周期内电流方向改变两次，故每秒电流方向改变100次，D正确．]
6．如图甲所示，调节台灯是通过双向可控硅电子器件来实现无级调节灯的亮度的．现将某无级调光台灯接在220 V的正弦式交变电流上，经过可控硅调节后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时电压表的示数是( )
甲 乙
A．220 V B．156 V C．110 V D．78 V
B [由题图可知，该电流不是正弦式交变电流，但每次通电是T的正弦交变电流，其最大值与有效值的关系是U＝，由T＝·，解得U＝110 V≈156 V，故B正确．]
7．如图所示，实验室中有一台手摇交流发电机，内阻r＝1.0 Ω，外接R＝9.0 Ω的电阻．闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝10sin 10πt(V)，则( )
A．该交变电流的频率为10 Hz
B．该电动势的有效值为10 V
C．外接电阻R所消耗的电功率为10 W
D．电路中理想交流电流表的示数为1.0 A
D [由产生的电动势可知，该交变电流的频率为5 Hz，选项A错误；该电动势的有效值为E＝10 V，选项B错误；电路中交流电流表的示数为电流的有效值，为I＝＝1.0 A，选项D正确；外接电阻R所消耗的电功率为P＝I2R＝9 W，选项C错误．]
8．一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，周期为T.从中性面开始计时，当t＝T时，线圈中感应电动势的瞬时值为2 V，则此交变电流的有效值为( )
A．2 V B．2 V C. V D. V
A [先用代入法求出感应电动势的最大值：由e＝Em sin ωt得2 V＝Emsin ，由此得Em＝4 V，因此有效值为2 V，选项A正确．]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．匝数为100的线圈通有如图所示的交变电流(图中曲线为余弦曲线的一部分)，单匝线圈电阻r＝0.02 Ω，则在0～10 s内线圈产生的焦耳热为( )
A．80 J B．85 J
C．90 J D．125 J
B [由交变电流的有效值定义知2R·＋(2 A)2R·＝I2RT，该交变电流的有效值I＝ A，线圈的总电阻R总＝100×0.02 Ω＝2 Ω，由Q＝I2R总t得Q＝85 J，选项B正确．]
2．如图所示，在匀强磁场中匀速转动的单匝纯电阻矩形线圈的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A．下列说法正确的是( )
A．线圈消耗的电功率为1 W
B．线圈中感应电流的有效值为2 A
C．任意时刻线圈中的感应电动势为e＝2cos t(V)
D．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝sin t(Wb)
D [从垂直中性面开始其瞬时表达式为i＝Imcos θ，则电流的最大值Im＝＝2 A；线圈消耗的电功率P＝I2r＝2r＝4 W，选项A错误；有效值I＝＝ A，选项B错误；感应电动势的最大值Em＝Imr＝2×2 V＝4 V，任意时刻线圈中的感应电动势e＝Emcos t＝4cos t(V)，选项C错误；任意时刻穿过线圈的磁通量Φ＝BSsin t，根据公式Em＝NBSω得BS＝，Φ＝sin t(Wb)，选项D正确．]
3．(多选)如图所示是某交流发电机产生的交变电流的图象，根据图象可以判定( )
A．此交变电流的频率为5 Hz
B．该交变电流的电压瞬时值的表达式为u＝12sin 10πt(V)
C．将标有“12 V 3 W”的灯泡接在此交流电源上，灯泡可以正常发光
D．图象上对应的0.1 s时刻，发电机中的线圈刚好转至中性面
ABD [由题图象可知，交变电流的周期T＝0.2 s，交变电压的最大值Um＝12 V，所以此交变电流的频率f＝＝5 Hz，角速度ω＝＝10π rad/s，交变电压瞬时值的表达式u＝Umsin ωt＝12sin 10πt(V)，选项A、B均正确；标有“12 V 3 W”的灯泡正常发光时其两端电压的有效值为12 V，而交变电压有效值U＝＝6 V，所以灯泡不能正常发光，选项C错误；题图象上对应的0.1 s时刻，交变电压瞬时值为零，穿过发电机中的线圈的磁通量最大，发电机中的线圈刚好转至中性面，选项D正确．]
4．如图所示电路中，电源电压u＝311sin 100πt V，A、B间接有“220 V 440 W”的电暖宝、“220 V 220 W”的抽油烟机、交流电压表及保险丝．下列说法正确的是( )
A．交流电压表的示数为311 V
B．电路要正常工作，保险丝的额定电流不能小于3 A
C．电暖宝发热功率是抽油烟机发热功率的2倍
D．1 min内抽油烟机消耗的电能为1.32×104 J
D [由u＝311sin 100πt(V)可知，交变电压的有效值为220 V，故交流电压表的示数为220 V，选项A错误；由两用电器的额定功率为660 W，根据P＝UI可知，保险丝的额定电流应不小于3 A，选项B错误；因抽油烟机220 W包括热功率及机械功率，故电暖宝发热功率是抽油烟机发热功率的2倍还要多，选项C错误；根据W＝Pt可得1 min内抽油烟机消耗的电能为1.32×104 J，选项D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)如图所示，一矩形线圈在匀强磁场中绕OO′轴匀速转动，磁场方向与转动轴垂直．已知线圈匝数n＝400，电阻r＝0.1 Ω，长L1＝0.05 m，宽L2＝0.04 m，角速度ω＝100 rad/s，磁场的磁感应强度B＝0.25 T．线圈两端外接电阻R＝9.9 Ω的用电器和一个交流电流表(内阻不计)，求：
(1)线圈中产生的最大感应电动势；
(2)电流表的读数；
(3)电阻上消耗的电功率．
[解析] (1)Em＝nBSω，
代入数据得Em＝400×0.25×0.05×0.04×100 V＝20 V.
(2)Im＝，代入数据得Im＝ A＝2 A.
因为是正弦式交变电流，所以电流表读数即有效值
I＝＝ A≈1.41 A.
(3)P＝I2R＝()2×9.9 W＝19.8 W.
[答案] (1)20 V (2)1.41 A (3)19.8 W
6．(14分)如图所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转．已知匀强磁场的磁感应强度B＝ T．若线框以ω＝100π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V 12 W”的小灯泡供电，则：
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式；
(2)从图示位置开始，线框转过90°的过程中，流过导线横截面的电荷量是多少？该电荷量与线框转动的快慢是否有关？
(3)由题所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
[解析] (1)线框转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝10 V，
则感应电动势的瞬时值表达式
e＝Emcosωt＝10cos 100πt(V)．
(2)线框转过90°的过程中，产生的平均电动势
＝＝，
灯泡电阻R＝＝3 Ω，
故流过的电荷量q＝·T＝＝ C；
与线框转动的快慢无关．
(3)线框产生的电动势的有效值E＝＝10 V，
灯泡两端电压U＝R＝5 V<6 V，
故灯泡不能正常发光，其实际功率
P＝＝ W.
[答案] (1)e＝10cos 100πt V (2) C 无关 (3)不能 W
