习题课3 带电粒子在有界磁场中的运动
[学 习 目 标] 1.掌握几种常见有界磁场的特点。2.会分析直线边界、圆形边界磁场中带电粒子的运动轨迹。3.能利用几何知识求解圆周运动的半径。4.会分析有界磁场中的临界问题。
一、带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1．有单平面边界的磁场问题
从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．有双平行平面边界的磁场问题
带电粒子由边界上P点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场。
【例1】 如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子1在纸面内以速度v1＝v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q的粒子2在纸面内以速度v2＝v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β＝60°。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt。
思路点拨：(1)根据速度方向和粒子的电性画出运动轨迹，利用几何关系求出轨道半径。
(2)粒子的运动具有对称性，即进、出磁场时的速度方向和边界的夹角相等。
[解析] (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有
qvB＝m，则r＝
故d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝
粒子2圆周运动的圆心角θ2＝
粒子做圆周运动的周期T＝＝
粒子1在匀强磁场中运动的时间t1＝T
粒子2在匀强磁场中运动的时间t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝。
[答案] (1) (2)
(1)要按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行。
(2)解题过程中注意对称性的应用。
1．如图所示，直线MN的上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子在纸面内以某一速度从A点射出，其方向与MN成30°角，A点到MN的距离为d，带电粒子所受的重力不计。求：
(1)当v满足什么条件时，粒子能回到A点；
(2)粒子在磁场中运动的时间t。
[解析] (1)粒子运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的轨道半径为r，
由图中的几何关系可知r＝＝2d
由牛顿第二定律有Bqv＝m
联立解得v＝。
(2)由图可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为300°，所以t＝T＝。
[答案] (1) (2)
二、带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1．在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出。
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。
2．带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心。
(1)当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大。
甲 乙
(2)由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆。
(3)如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。
【例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
思路点拨：(1)粒子沿半径方向进入磁场后，仍会沿着半径方向射出磁场。
(2)画出运动轨迹并求出轨道半径是解答本题的关键。
[解析] (1)粒子的运动轨迹如图所示，由左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°角，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，
粒子做圆周运动的半径R′＝＝r，
又R′＝，所以B′＝B，
粒子在磁场中运动所用时间
t＝T＝×＝。
[答案] (1)负电荷 (2)B
2．如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径。一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t。若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)( )
A．3t B．t
C．t D．2t
D [设圆形磁场半径为R，粒子以速度2v射入磁场，半径r1＝，由图可得，r1＝2R，运动时间t1＝·＝＝t；粒子以速度v射入磁场，半径r2＝＝R，圆心角θ＝120°，运动时间t2＝·＝＝2t，选项D正确。]
三、带电粒子在有界磁场中的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，随着带电粒子速度大小的变化，而引起带电粒子做圆周运动的半径发生变化。或者随着带电粒子速度方向的变化使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化。找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口。解决此类问题应注意以下结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大的，运动时间越长。
【例3】 如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电荷量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：
(1)电子在磁场中运动的时间t；
(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
[解析] (1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝，且T＝
得电子在磁场中运动周期T＝
由几何关系知电子在磁场中运动时间t＝T＝T
解得t＝。
(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d
由evB＝m得v＝
电子在PQ间由动能定理得eU＝mv2－0
解得U＝。
[答案] (1) (2)
(1)带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题往往是对应着一些特殊的词语，如“恰好”“刚好”“最大”“最小”“最高”“至少”等等，解题时应予以特别关注。
(2)画出粒子运动的轨迹并根据几何知识求得此时带电粒子运动的轨道半径往往是求解此类问题的关键。
3．如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为( )
A. B.
C. D.
C [从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图所示。由图知：2R＝OB·cos 30°，OB＝，又有Bqv＝得v＝。]
1．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。磁场的磁感应强度大小为( )
A. B.
C. D.
B [以速度v正对着圆心射入磁场，将背离圆心射出，轨迹圆弧的圆心角为θ，如图，由几何关系知轨迹圆半径r＝，由半径r＝解得B＝，选项B正确。]
2．(多选)如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正负可能是( )
A.，正电荷 B.，正电荷
C.，负电荷 D.，负电荷
BC [如图所示，若粒子带正电，则a＝r(1－sin 30°)＝，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，则a＝r(1＋sin 30°)＝，则B＝，选项C正确。]
3．如图所示，在真空中宽为d的区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、带电荷量为q、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD边夹角为θ，为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，v0满足的条件是什么？(不计重力作用)
[解析] 当入射速率很小时，电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，
轨道半径越大，当轨道与右边界相切时，电子恰好不能从磁场射出，如图所示。
电子恰好射出时，由几何知识可得：r＋rcos θ＝d
又ev0B＝解得v0＝
所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出，电子的速度
v0>。
[答案] v0>
重难强化训练(三)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1.如图所示，重力不计、初速度为v的正电荷，从a点沿水平方向射入有明显左边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，若边界右侧的磁场范围足够大，该电荷进入磁场后( )
A．动能发生改变
B．运动轨迹是一个完整的圆，正电荷始终在磁场中运动
C．运动轨迹是一个半圆，并从a点上方某处穿出边界向左射出
D．运动轨迹是一个半圆，并从a点下方某处穿出边界向左射出
C [洛伦兹力不做功，电荷的动能不变，A不正确；由左手定则知，正电荷刚进入磁场时受到的洛伦兹力的方向向上，电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹是一个半圆，并从a点上方某处穿出边界向左射出，B、D均不正确，C正确。]
2．如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是( )
A.，正电荷 B.，正电荷
C.，负电荷 D.，负电荷
C [
从“粒子穿过y轴正半轴后”可知粒子向右侧偏转，洛伦兹力指向运动方向的右侧，由左手定则可判定粒子带负电荷，作出粒子运动轨迹示意图如图所示。根据几何关系有r＋rsin 30°＝a，再结合半径表达式r＝可得＝，故选项C正确。]
3．空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为( )
A. B.
C. D.
A [画
出带电粒子运动轨迹示意图，如图所示。设带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r，根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律，qv0B＝m，解得r＝。由图中几何关系可得tan 30 °＝。联立解得该磁场的磁感应强度B＝，选项A正确。]
4．如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上。不计重力。下列说法正确的有( )
A．a、b均带正电
B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
AD [离子要打在屏P上，离子都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则判断，离子都带正电，A项正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，初速度大小也相同，由qvB＝m可知，它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，C项错误；由t＝可知，a在磁场中运动的时间比b的长，B项错误；从图上可以看出a在P点上的落点与O点的距离比b的近，D项正确。]
5．如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3.将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于( )
A. B.
C．2 D．3
B [设圆形区域磁场的半径为R，根据题述，画出轨迹示意图，当粒子射出边界的位置的圆弧弧长是圆周长的1/3时，轨迹半径r1＝Rsin 60°，由洛伦兹力等于向心力，得到r1＝mv/qB1；当粒子射出边界的位置的圆弧弧长是圆周长的1/6时，轨迹半径r2＝Rsin 30°，由洛伦兹力等于向心力，得到r2＝mv/qB2；联立解得B2/B1＝，故B正确。]
6．如图所示，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。由这些条件可知( )
A．带电粒子一定带正电
B．不能确定粒子速度的大小
C．不能确定粒子射出此磁场的位置
D．不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间
A [粒子垂直于y轴方向射出此磁场，故粒子向左偏转，由左手定则可知，粒子带正电，且半径R＝x0，粒子打到y轴的纵坐标为x0，由半径R＝可得速度v，运动时间t＝＝，选项A正确。]
二、非选择题(共14分)
7．一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图所示，一粒子质量为m，带电荷量为－q，不计重力，以速度v(方向如图中所示)射入磁场。若要粒子不能从磁场右边界飞出，则粒子的速度应满足什么条件？
[解析] 若要粒子不从右边界飞出，当粒子以最大速度运动时的轨迹如图所示。
由几何知识可求得半径r，即r＋rcos θ＝L，
r＝，又qvB＝mv2/r，所以v＝＝，即粒子的速度v≤。
[答案] v≤
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子从BC边射出，磁感应强度B的取值为( )
A．B> B．B<
C．B< D．B>
C [设电子刚好从C点射出，电子运动轨迹如图所示，圆周运动的圆心为O点，由2rcos 30°＝a，可知r＝，由r＝，可得B＝＝，因B越小，r越大，越易从BC边射出，故欲使电子从BC边射出，B应小于，C正确。]
2．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m。不考虑粒子间的相互作用力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．即使是对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
D [对着圆心入射，只有轨道半径为R的粒子出射后可垂直打在MN上，A错误；由对称性可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，B错误；对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长所对的圆心角越小，运动时间越短，C错误；只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，D正确。]
3．长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电。现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平射入，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子速度v＜
B．使粒子速度v＞
C．使粒子速度v＞
D．使粒子速度＜v＜
AB [
当粒子恰好从上极板右边缘飞出时(如图所示)，半径为R，则L2＋(R－)2＝R2，R＝L。由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＞时，粒子就打不到极板上。当粒子恰好从上极板左边缘飞出时(如图所示)，R＝，由R＝得v＝＝，即当粒子的速度v＜时，粒子也不能打到极板上。故欲使粒子不打到极板上，则v＜或v＞。故A、B正确。]
4．(多选)如图所示，带有正电荷的A粒子和B粒子同时以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°(与边界的交角)射入磁场，又恰好不从另一边界飞出，则下列说法中正确的是( )
A．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
B．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
C．A、B两粒子的之比是
D．A、B两粒子的之比是
BD [
如图示由几何关系有RAcos 30°＋RA＝d，RBcos 60°＋RB＝d，解得＝＝，选项A错误，选项B正确；因R＝，故＝∝R，故＝，选项C错误，选项D正确。]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内。与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电荷量和质量之比。
[解析]
带正电的粒子射入磁场后，由于受到洛伦兹力的作用，粒子将沿如图所示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角为θ。
由于洛伦兹力提供向心力，
则：qv0B＝m，R为圆轨道的半径，
解得：R＝ ①
圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得：
＝Rsin θ ②
联立①②两式，解得＝。
[答案]
6．(14分)一个重力不计的带电粒子，电荷量为q，质量为m，从坐标为(0，L)的a点平行于x轴射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，又从x轴上b点射出磁场，速度方向与x轴正方向夹角为60°，如图所示。试求：
(1)带电粒子的速度大小；
(2)粒子由a点运动到b点的时间。
[解析]
(1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，其运动的轨迹如图所示，
由几何知识有：＝cos 60°＝
即R＝2L ①
由牛顿第二定律有qvB＝m ②
由①②式可得：v＝。 ③
(2)粒子在磁场中的运动周期
T＝＝ ④
设粒子由a运动到b的时间为t，由几何关系可得ab弧所对的圆心角为θ＝60° ⑤
t＝T ⑥
由④⑤⑥式可得：t＝。
[答案] (1) (2)
