2 库仑定律
[学习目标] 1.知道点电荷的概念，明确实际带电体看作点电荷的条件。(难点)2.理解库仑定律的内容及公式，并说明库仑定律描述的客观规律和适用条件。(重点)3.了解库仑扭秤实验，知道静电力常量。
一、探究影响电荷间相互作用力的因素
实验现象
(1)小球带电荷量不变时，距离带电物体越远，丝线偏离竖直方向的角度越小
(2)小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度越大
实验结论
电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小
二、库仑定律
1．静电力：电荷间的相互作用力叫静电力，也叫库仑力。
2．点电荷的特点
(1)带电体间的距离比它们自身的大小大很多；
(2)带电体的形状、大小及电荷分布状况对电荷之间的作用力的影响可以忽略。
3．内容
适用条件
真空中两个静止的点电荷
库仑力大小
与它们的电荷量的乘积成正比，
与它们的距离的二次方成反比
库仑力方向
在它们的连线上，吸引或排斥
4.表达式：F＝k，式中k叫作静电力常量，k＝9.0×109_N·m2/C2。
5．静电力的叠加
(1)两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而有所改变。
(2)两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实验表明电荷之间的作用力一定和电荷间的距离成反比。
(×)
(2)实验表明两个带电体的距离越大，作用力就越小。 (√)
(3)点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化模型。 (√)
(4)球形带电体一定可以看成点电荷。 (×)
(5)很大的带电体也有可能看作点电荷。 (√)
2．(多选)如图所示，O是一个带电的物体，若把系在丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P1、P2、P3位置，可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小，这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来(小球与物体O在同一水平线上)。若物体O的电荷量用Q表示，小球的电荷量用q表示，物体与小球间距离用d表示，物体和小球之间的作用力大小用F表示。则下列对该实验的判断正确的是( )
A．可用控制变量法，探究F与Q、q、d的关系
B．保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d成反比
C．保持Q、d不变，减小q，则θ变小，说明F与q有关
D．保持q、d不变，减小Q，则θ变小，说明F与Q成正比
AC [保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d有关，但不能确定成反比关系，选项B错误；保持Q、d不变，减小q，则θ变小，说明F与q有关，选项C正确；保持q、d不变，减小Q，则θ变小，说明F随Q的减小而减小，但不能确定成正比关系，选项D错误；由上述可知选项A正确。]
3．(多选)在真空中有两个点电荷，带电荷量分别为q1、q2，相距L，它们之间的作用力为F，下列说法正确的是( )
A．若它们所带的电荷量不变，距离变为2L，则它们之间的作用力变为4F
B．若它们所带的电荷量不变，距离变为，则它们之间的作用力变为4F
C．若它们之间的距离不变，电荷量都变为原来的2倍，则它们之间的作用力变为4F
D．若它们之间的距离不变，电荷量都变为原来的，则它们之间的作用力变为4F
BC [根据库仑定律可知，两点电荷之间的作用力为F＝k。若它们所带的电荷量不变，距离变为2L，库仑力变为F，A错误；若它们所带的电荷量不变，距离变为，则它们之间的作用力变为4F，B正确；若它们之间的距离不变，电荷量都变为原来的2倍，则它们之间的作用力变为4F，C正确；若它们之间的距离不变，电荷量都变为原来的，则它们之间的作用力变为F，D错误。]
对点电荷的理解
1.点电荷是物理模型
只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
2．带电体看成点电荷的条件
如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。
3．注意区分点电荷与元电荷
(1)元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。
(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。
【例1】 (多选)下列关于点电荷的说法中正确的是( )
A．无论两个带电体多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
思路点拨：解答本题的关键是弄清以下两个问题：
(1)点电荷的概念是什么？
(2)把带电体看作点电荷的条件是什么？
AD [无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，选项A正确，而选项C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，选项B错误；两个带电金属小球，若离的很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，因此，选项D正确。]
对点电荷的两点理解
(1)带电体能否看作点电荷，不取决于带电体的大小，而取决于它们的大小、形状与距离相比能否忽略。
(2)同一带电体，在不同问题中有时可以看作点电荷，有时不可以看作点电荷。
1．下列哪些带电体可视为点电荷( )
A．电子和质子在任何情况下都可视为点电荷
B．在计算库仑力时均匀带电的绝缘球体可视为点电荷
C．带电的细杆在一定条件下可以视为点电荷
D．带电的金属球一定不能视为点电荷
C [电子和质子在研究的范围非常小，可以与它的大小差不多时，不能看作点电荷，故A错误；在计算库仑力时均匀带电的绝缘球体在一定的条件下可视为点电荷，故B错误；带电的细杆在它的大小相比与研究的范围来说可以忽略不计时，可以视为点电荷，故C正确；带电的金属球在它的大小相比与研究的范围来说可以忽略不计时，可以视为点电荷，故D错误。]
对库仑定律的理解
1.两个点电荷间的库仑力
(1)真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两个电荷的电荷量及间距有关，跟它们的周围是否存在其他电荷无关。
(2)两个电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，与两个电荷的性质、带电多少均无关，即作用力与反作用力总是等大反向。
2．两个带电球体间的库仑力
(1)两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，也适用库仑定律，球心间的距离就是二者的距离。
(2)两个规则的带电球体相距比较近时，不能被看作点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随所带电荷量的改变而改变，即电荷的分布会发生改变。若带同种电荷时，如图(a)所示，由于排斥而距离变大，此时Fk。
【例2】 A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，它所受到的静电力为F；移去A处电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，其所受静电力为( )
A．－ B．
C．－F D．F
思路点拨：解答本题应注意以下三点：
(1)静电力与电荷电荷量大小的关系。
(2)静电力与点电荷间距的关系。
(3)静电力的方向规定。
B [在A处放电荷量为＋q的点电荷时，Q所受静电力大小为F＝；在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，Q所受静电力大小为F′＝＝＝＝。且不管电荷Q是正还是负，两种情况下，Q受力方向相同，故选项B正确，A、C、D错误。]
2．两个半径均为R的带电金属球所带电荷量分别为Q1和Q2，当两球心相距3R时，相互作用的库仑力大小为( )
A．F＝k B．F＞k
C．F＜k D．无法确定
D [因为两球心距离不比球的半径大很多，所以不能将两球看作点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布情况。当Q1、Q2带同种电荷时，相互排斥，电荷分布于最远的两侧，距离大于3R；当Q1、Q2带异种电荷时，相互吸引，电荷分布于最近的两侧，距离小于3R，如图所示。所以库仑力可能小于k，也可能大于k，D正确。]
甲 乙
库仑定律的应用
1.分析带电体在有库仑力作用下的平衡问题时，方法仍然与力学中物体的平衡方法一样，具体步骤：
(1)确定研究对象；(2)进行受力分析；(3)建立坐标系；(4)列方程F合＝0，正交分解，∑Fx＝0，∑Fy＝0；(5)求解方程。
2．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
(2)规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【例3】 a、b两个点电荷相距40 cm，电荷量分别为q1、q2，且q1＝9q2，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b电荷恰好都处于平衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量多大？它应该放在什么地方？
[解析] 设c与a相距x，则c、b相距0.4 m－x，设c的电荷量为q3，根据二力平衡可列平衡方程。
a平衡，则k＝k；
b平衡，则k＝k；
c平衡，则k＝k。
解其中任意两个方程，可解得x＝0.3 m(c在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm)，q3＝q2＝q1(q1、q2为正电荷，q3为负电荷)。
[答案] 负电荷 q1 在a、b连线上，与a相距30 cm，与b相距10 cm
上例中，若a、b两个电荷固定，其他条件不变，则结果如何？
提示：由c平衡知，对q3的电性和电荷量无要求，位置应放在与a相距30 cm，与b相距10 cm处。
解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。
3．把质量为2.0 g的带负电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将带电荷量为Q＝4.0×10－6C的带电小球B靠近小球A，如图所示。当两个带电小球在同一高度相距30 cm时，绳与竖直方向恰成45°角。g取10 m/s2，求：(小球A、B可看成点电荷)
(1)A球受的库仑力大小；
(2)A球所带电荷量。
[解析] (1)对A进行受力分析，如图所示，则F库＝mg·tan 45°＝0.02 N。
(2)由F库＝得qA＝＝ C＝5×10－8 C。
[答案] (1)0.02 N (2)5×10－8 C
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.对点电荷的理解及带电体能看作点电荷的条件。
2.库仑定律的理解及应用。
3.电荷平衡问题的分析方法。
1．下列关于点电荷的说法中，正确的是( )
A．只有体积很小的带电体才能看成点电荷
B．体积很大的带电体一定不能看成点电荷
C．只有球形带电体才能看成点电荷
D．当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
D [由带电体看作点电荷的条件可知，当带电体的形状、大小及电荷分布对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，带电体能否看作点电荷由研究问题的性质决定，与带电体自身大小、形状无具体关系，故选项A、B、C错误；当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，两带电体的大小、形状及电荷分布对两带电体间相互作用力的影响可忽略不计，因此可将这两个带电体看成点电荷，选项D正确。]
2．如图所示的实验装置为库仑扭秤。细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B，B与A所受的重力平衡，当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间的作用力使悬丝扭转，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，便可找到力F与距离r和电荷量q的关系。这一实验中用到了下列哪些方法？
①微小量放大法 ②极限法 ③控制变量法 ④逐差法( )
A．①② B．①③
C．③④ D．②④
B [把微弱的库仑力转换放大成可以看得到的扭转角度，并通过扭转角度的大小找出力和距离的关系，是微小量放大法；保持电荷量不变，改变A和C的距离可得到F和r的关系，保持A和C的距离不变，改变电荷量q可得到F和q的关系，这是控制变量法。故选项B正确。]
3．如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin 37°＝Fbcos 37°，解得＝，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得＝，B错误，D正确。]
课件48张PPT。第一章 静电场2 库仑定律减小小大增大作用力电荷大很多点电荷乘积二次方连线矢量和不会× × √ √ √ 对点电荷的理解 对库仑定律的理解 库仑定律的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．下列关于点电荷的说法，正确的是( )
A．点电荷一定是电荷量很小的电荷
B．点电荷是一种理想化模型，实际不存在
C．只有体积很小的带电体，才能作为点电荷
D．体积很大的带电体一定不能看成点电荷
B [当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们的作用力影响可以忽略时，这样的带电体就可以看成点电荷，所以A、C、D错，B正确。]
2．关于库仑定律的理解，下面说法正确的是( )
A．对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式
B．只要是点电荷之间的静电力计算，就可以使用库仑定律公式
C．两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向相反的
D．摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑一定带正电
C [库仑定律适用于真空中的点电荷，故A、B错。库仑力也符合牛顿第三定律，C对。橡胶棒吸引纸屑，纸屑带正电或不带电都可以，D错。]
3．如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是( )
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
C [因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小。]
4．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在选项图中，小球M能处于静止状态的是( )
A B C D
B [M受到三个力的作用而处于平衡状态，则绝缘细线的拉力与库仑力的合力必与M的重力大小相等，方向相反，故选项B正确。]
5．如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )
A．－Q，在A左侧距A为L处
B．－2Q，在A左侧距A为处
C．－4Q，在B右侧距B为L处
D．＋2Q，在A右侧距A为处
C [根据电荷规律可知，C应放在B的右侧，且与A电性相同，带负电，由FAB＝FCB，得k＝k，由FAC＝FBC，得k＝k，解得rBC＝L，QC＝4Q。]
6．人类已探明某星球带负电，假设它是一个均匀带电的球体，将一带负电的粉尘置于该星球表面h高处，恰处于悬浮状态，现设科学家将同样的带电粉尘带到距星球表面2h高处无初速度释放，则此带电粉尘将(不考虑星球的自转影响)( )
A．向星球中心方向下落
B．被推向太空
C．仍在那里悬浮
D．无法确定
C [在星球表面h高度处，粉尘处于悬浮状态，说明粉尘所受库仑力和万有引力平衡，k＝G，得kq1q2＝Gm1m2；当离星球表面2h高度时，所受合力F＝k－G。结合上式可知，F＝0，即受力仍平衡。由于库仑力和万有引力都遵从二次方反比规律，因此该粉尘无论距星球表面多高，都处于悬浮状态。]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，等边三角形ABC的边长为L，在顶点A、B处有等量异种点电荷QA、QB，QA＝Q，QB＝－Q，求在顶点C处的电荷量为QC的点电荷所受的静电力。
[解析] 题目没有交代QC的电性，解答时需考虑两种情况：QC为正电荷或QC为负电荷。
当QC为正电荷时，受力情况如图所示，QA、QB对QC的作用力大小和方向都不因其他电荷的存在而改变，仍然遵循库仑定律。
QA对QC的作用力FA＝k，同种电荷相斥。
QB对QC的作用力FB＝k，异种电荷相吸。
因为QA＝QB，所以FA＝FB，QC受力的大小FC＝FA＝FB＝k，方向为平行于AB连线向右。
同理，当QC为负电荷时，FC＝FA＝FB＝k，方向平行于AB连线向左。
[答案] 见解析
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，足够大的光滑绝缘水平面上有三个带电质点，A和C围绕B做匀速圆周运动，B恰能保持静止，其中A、C和B的距离分别是L1和L2，不计三质点间的万有引力，则A和C的比荷(电荷量与质量之比)之比应是( )
A. B.
C. D.
C [根据B恰能保持静止可得：＝
A做匀速圆周运动：k－k＝mAω2L1
C做匀速圆周运动：k－k＝mCω2L2
联立可得：＝，选项C正确。]
2．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知：三角形边长为1 cm，B、C电荷量为qB＝qC＝1×10－6 C，A电荷量为qA＝－2×10－6 C，A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为( )
A．180 N，沿AB方向
B．180 N，沿AC方向
C．180 N，沿∠BAC的角平分线
D．180 N，沿∠BAC的角平分线
D [qB、qC电荷对qA电荷的库仑力大小相等，故F＝F1＝F2＝＝ N＝180 N
两个静电力夹角为60°，故合力为F′＝2Fcos 30°＝2×180 N×＝180 N
方向沿∠BAC的角平分线
故选D。]
3．如图所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有( )
A．x2＝x1 B．x2＝x1
C．x2＞x1 D．x2＜x1
C [库仑力等于弹力，两球电荷量各减半时，若不考虑两球距离的变化对库仑力的影响，库仑力减为原来的，则x2＝x1，但实际是距离减小后库仑力又会增大，故正确答案是x2＞x1，C正确。]
4．如图所示，两个带同种电荷的小球质量分别为m1和m2，带电荷量分别为q1和q2，用两段绝缘细线悬挂在天花板上的O点，平衡时两球间的连线水平，两段绝缘细线与竖直线的夹角分别为α和β，α<β，则下列说法正确的是( )
A．若q1>q2，则m1>m2 B．若q1>q2，则m1C．一定有m1m2
D [以m1为研究对象进行受力分析，结合库仑定律，由平衡条件得k＝m1gtan α；再以m2为研究对象，同理得k＝m2gtan β，因α<β，则m1>m2。]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，两个分别用长l＝5 cm的绝缘细线悬挂于同一点的相同金属小球(可视为点电荷)带有等量同种电荷。由于静电力的作用，平衡时它们之间的距离为r＝6 cm。已测得每个金属小球的质量m＝1.2×10－3 kg，试求它们所带的电荷量q。(已知g取10 m/s2，k＝9.0×109 N·m2/C2)
[解析] 带电金属小球在重力、静电力和线的拉力作用下处于平衡状态，其中一个金属小球的受力示意图如图所示。
由图可知F＝mgtan θ，
tan θ＝＝，
又因为F＝k＝mgtan θ，
解得q＝r＝6×10－8 C。
[答案] 6×10－8 C
6．(14分)如图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个带电小球，它们的质量均为m、间距均为r，A、B带正电，电荷量均为q。现对C施一水平力F的同时放开三个小球，欲使三小球在运动过程中保持间距r不变，求：
(1)C球的电性和电荷量；
(2)水平力F的大小。
[解析] (1)A球受到B球的库仑力F1和C球的库仑力F2作用后，产生水平方向的加速度，故F2必为引力，C球带负电。如图所示，根据库仑定律得F1＝k，F2＝k，F1与F2的合力方向水平向右，求得F2＝2F1，故qC＝2q。
(2)对A球：a＝＝，
对系统整体：F＝3ma，故F＝3k。
[答案] (1)负电 2q (2)3k
