6 电势差与电场强度的关系
[学习目标] 1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，能够推导出这个关系式。(重点)2.知道电场强度的另一种关系，了解场强的另一个单位“伏特每米”的意义。3.会用关系式UAB＝Ed或E＝进行有关的计算。(难点)
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed或E＝。
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
3．适用条件：匀强电场。
二、公式E＝的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场方向的距离的比值。
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿匀强电场方向每单位距离上降低的电势。
3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏特每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由公式E＝可知，电场强度与电势差U成正比。 (×)
(2)电场线的方向就是电势逐渐降落的方向。 (×)
(3)E＝与E＝k中的q和Q表示相同的含义。 (×)
(4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。 (×)
(5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积。 (×)
2．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大
B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等
D．场强与电势处处相同
C [U＝Ed中的d指两点所在等势面的距离，选项A、B、D错误，C正确。]
3．如图所示的匀强电场场强为1.0×103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是( )
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
A [由UAB＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A项正确。因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B项错误。将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做的功为0，C项错误。Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D项错误。]
对关系式U＝Ed和E＝U/d的理解
1.关系式表明了电场强度与电势差的关系
大小关系
由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
方向关系
电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理意义
电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
2.在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：
在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab【例1】 如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的场强大小和方向。
思路点拨：(1)电场力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。
(2)匀强电场的场强可由公式E＝求解。
[解析] (1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bC。
Uab＝＝ V＝60 V。
(2)由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
场强方向平行于ac，且由a指向C。
[答案] (1)60 V (2)375 V/m 方向与bc边垂直且由a指向c
计算电场强度应注意的问题
(1)在选取场强公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。
(2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿场强方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿场强方向上的距离。
训练角度1：应用E＝定性分析
1．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定( )
A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec
C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec
A [只给出一条电场线无法判断电场线的疏密，故无法判断a、b、c三点电场强度的大小；沿电场线方向电势降低，故φa＞φb＞φc，选项A正确。]
训练角度2：应用E＝定量计算
2．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为L m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，由此可以判断( )
A．场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为 V/m
D．场强的大小为V/m
D [D为BC的中点，则φD＝5 V，AD连线为一等势线，场强的方向垂直AD连线斜向下，选项A、B错误；由B到AD的距离d＝Lcos 30° m＝L m，则电场强度E＝＝ V/m，选项C错误，选项D正确。]
对电场强度的进一步理解
1.关于场强E的几个表达式
公式
适用范围
说明
E＝
任何电场
定义式，q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷形成的电场
Q为场源电荷的电荷量，E表示跟点电荷相距r处的某点的场强
E＝
匀强电场
U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差
2.关于电场强度与电势的理解
(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。
(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。
【例2】 有两块平行金属板A、B相隔6 cm，接在36 V的直流电源上。电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm。
(1)求A、B两板间的场强大小和方向；
(2)以地面为电势的零点，问C点的电势多高？
思路点拨：(1)A、B两板间的电场为匀强电场。
(2)电场中某点的电势等于该点与零电势点间的电势差。
[解析] (1)板间场强的大小E＝＝ V/m＝6×102 V/m，场强方向由A板垂直指向B板。
(2)UAC＝EdAC＝6×102×2×10－2 V＝12 V
由UAC＝φA－φC，得φC＝φA－UAC＝0－12 V＝－12 V。
[答案] (1)6×102 V/m，方向由A板垂直指向B板 (2)－12 V
上例中，若改为B板接地，其他条件不变，则C点电势多高？若C点放一电子，则电子的电势能多大？
提示：UCB＝EdBC＝6×102×4×10－2V＝24 V
则φ′C＝UCB＋φB＝24 V
EpC＝－eφC′＝－24 eV。
3．如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的( )
A．上方30 cm B．下方30 cm
C．上方25 cm D．下方25 cm
B [匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。]
等分法计算匀强电场中的电势
1.在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。
2．在已知电场中几点的电势时，如果要求其他点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
3．在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势。
【例3】 如图所示的方框中有一匀强电场，A、B、C三点为电场中的三点，电势分别为φA＝24 V，φB＝12 V，φC＝－24 V，试用作图法作出该电场的电场线。
[解析] 在图示的匀强电场中，沿AB方向和AC方向电势都是均匀降低的，φA＝24 V，φC＝－24 V，则AC连线的中点O的电势必为零，而AO的中心点O′的电势一定等于12 V，即O′和B在同一等势面上，连接BO′即为该匀强电场中的一条等势线，根据电场线与等势面垂直可画出电场的电场线，如图所示，作图步骤如下：
①连接AC，并作出AC的中点O；
②再作出AO的中点O′；
③连接O′B；
④过A点作直线O′B的垂线AD，电场E的方向由A→D。
[答案] 见解析图
画匀强电场中的等势面或电场线的技巧
(1)掌握匀强电场中的两条规律
①在匀强电场中，沿任一方向上距离相等的两点间的电势差都相等。
②在匀强电场中，相互平行、长度相等的线段两端电势差相等。
(2)掌握解题方法，具体如下
在已知匀强电场中几点的电势时，如果要求电场中某点的电势(或画等势面或画电场线)可先找出电势差最大的两点，然后将两点连线，再采用“等分法”在电场中找到与待求点电势相等的等势点，从而画出等势线，最后利用电场线与等势线垂直的特点画出电场线，由电势的高低判断场强的方向。
4．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
A [因为φO＝0，φA＝6 V，由匀强电场的特点知OA的中点C处电势φC＝3 V，可连接B与C作等势线，过O点作BC的垂线交BC于D点，如图所示，由几何关系得OD＝1.5 cm，E＝＝＝200 V/m，A正确。]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.对E＝公式的理解与应用。
2.对场强的进一步理解。
3.匀强电场中场强与电势差的关系。
1．对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是匀强电场中A、B两点所在等势面间的距离
D [公式E＝只适用于匀强电场，A错误；公式中的d是A、B两点所在等势面间的距离，A点和B点之间的距离大，等势面之间的距离不一定大，故B、C错误，D正确。]
2．如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为( )
A．φc＝－35 V B．φc>－35 V
C．φc<－35 V D．无法判断
B [由图可知这是一个非匀强电场，且Ea>Ec>Eb，即从b到a场强越来越大，则Ubc＝Ebc·d，Uca＝Eca·d，其中Ebc、Eca分别为bc段和ca段的平均场强，且Ebc－35 V，B正确。]
3．如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点间的电势差可表示为( )
A．UOP＝－10sin θV
B．UOP＝10sin θV
C．UOP＝－10cos θV
D．UOP＝10cos θV
A [沿着电场线的方向电势降低，故UOP<0.在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10sin θV，故A正确。]
课件47张PPT。第一章 静电场6 电势差与电场强度的关系Ed匀强沿电场方向的距离电场强度电势差沿电场方向的距离匀强电场电势伏特每米V/mV/m× × × × × 对关系式U＝Ed和E＝U/d的理解对电场强度的进一步理解 等分法计算匀强电场中的电势 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等
C．电势降落的方向一定是电场强度的方向
D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
B [公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。]
2．如图所示是一个匀强电场的等势面示意图，每两个相邻的等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是( )
A．竖直向下，E＝100 V/m
B．水平向左，E＝100 V/m
C．水平向左，E＝200 V/m
D．水平向右，E＝200 V/m
B [电场强度E＝＝100 V/m，电场强度的方向垂直于等势面指向电势降落的方向，即水平向左，选项B正确。]
3．如图所示在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为( )
A．150 V/m B．75 V/m
C．225 V/m D．75 V/m
A [过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，由几何知识可知N、O间的距离NO＝2 cm，M、O间的距离MO＝6 cm，由匀强电场的特点和几何关系得O点的电势为φO＝12 V，即O、P两点在同一等势面上，电场强度E＝＝150 V/m，即选项A正确，选项B、C、D错误。]
4．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是( )
A．该电场在c点处的电势一定为4 V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c
CD [该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。]
5．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为( )
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
B [根据匀强电场的特点，Uad＝Ubc，即φa－φd＝φb－φc，解得φc＝8 V，B正确。]
6．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则( )
A．W＝8×10－6J E>8 V/m
B．W＝6×10－6 J E>6 V/m
C．W＝8×10－6 J E≤8 V/m
D．W＝6×10－6 J E≤6 V/m
A [因电场是匀强电场，D是AB的中点，故D的电势φD＝＝10 V。所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6 J。设E的方向与AB的夹角为α，则α≠0，否则等势面与AB垂直，C点电势就会高于B点电势。 由E＝可知：＝，因α>0，则cos α<1，E>8 V/m，故A正确。]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：
(1)电场强度的大小和方向；
(2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] (1)电场强度的大小
E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，
方向水平向右。
(2)C点与A点的电势差
UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。
[答案] (1)2.5×103 V/m 方向水平向右
(2)－280 V
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是( )
A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C．电子在C点具有的电势能为－200 eV
D．电子在C点具有的电势能为200 eV
BD [A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝600 V/12 cm＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝EdC＝50 V/cm×(－4 cm)＝－200 V，选项A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，选项C错误，D正确。]
2．(多选)如图所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直。下列说法正确的是( )
A．A、D两点间电势差UAD与A、A′两点间电势差UAA′相等
B．带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功
C．带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电势能减少
D．同一带电粒子从A点移到C′点，沿对角线A→C′与沿A→B→B′→C′电场力做功相同
BD [由题图可知，面ABCD与A′B′C′D′为电场中的等势面，带正电粒子沿路径A→D→D′移到D′点，静电力做正功，带负电粒子沿路径A→D→D′移到D′点，静电力做负功，电势能增加，只要移动到同一等势面，做功就相同，故选项B、D正确。]
3．如图所示，匀强电场的电场强度E＝100 V/m，A、B两点相距LAB＝10 cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UBA为( )
A．－10 V B．10 V
C．－5 V D．－3 V
C [根据电势差与电场强度的关系UAB＝Ed得UAB＝ELABcos 60°＝100×0.1× V＝5 V，故UBA＝－5 V，选项C正确。]
4．如图所示，匀强电场场强为1×103 N/C，ab与电场方向平行且abcd为一矩形，ab＝dc＝4 cm，bc＝ad＝3 cm，则下述计算结果正确的是( )
A．ab之间的电势差为4 000 V
B．ac之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abcda移动一周，电场力做功为零
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abc或adc从a移动到c，电场做功都是－0.25 J
C [Uab＝E·ab＝1×103×0.04 V＝40 V，A错；Uac＝Uab＝40 V，B错；将电荷移动一周，电势差为零，电场力做功为零，故C对；Wac＝qUac＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错。]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，匀强电场中有a、b、c三点，ab＝5 cm，bc＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a移到b，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J，求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)电荷从b移到c，静电力做的功W2；
(3)a、c两点的电势差Uac。
[解析] (1)设a、b两点的间距为d，W1＝qUab，E＝，所以E＝＝ V/m＝60 V/m。
(2)设b、c两点沿电场强度方向的距离为d1，Ubc＝Ed1
d1＝bc·cos 60°，W2＝qUbc
由以上三式得：W2＝qE·bc·cos 60°＝1.44×10－7 J。
(3)电荷从a移到c静电力做功为W＝W1＋W2＝qUac
所以Uac＝＝ V＝6.6 V。
[答案] (1)60 V/m (2)1.44×10－7 J (3)6.6 V
6．(14分)如图所示，一电场中的等势面是一簇互相平行的平面，间隔均为d，各等势面的电势如图所示。现有一质量为m的带电微粒，以速度v0射入电场，且v0的方向与水平方向成45°角斜向上。若射入电场后，质点做直线运动，求：
(1)微粒带何种电荷？电荷量是多少？
(2)微粒在入射方向的最大位移是多少？
[解析] 要使微粒做直线运动，微粒所受合力与v0应在一条直线上，又电场力与等势面垂直，沿水平方向，因此需考虑微粒的重力作用。
(1)电场线与等势面垂直，且由电势高处指向电势低处，可得电场线方向水平向左，且E＝＝。
为使合力与v0在一条直线上，微粒的受力情况如图所示，分析可知微粒带正电，且mg＝qE，则q＝＝。
(2)带电微粒沿入射方向做匀减速直线运动，其加速度a＝g。则微粒在入射方向的最大位移xmax＝＝＝。
[答案] (1)正电 (2)
