8 电容器的电容
[学习目标] 1.知道电容器的概念，认识常见的电容器，通过实验感知电容器的充、放电现象。(重点)2.理解电容的定义及定义方法，掌握电容的定义、公式、单位，并会应用定义式进行简单的计算。(难点)3.了解影响平行板电容器大小的因素，了解平行板电容器的电容公式。(重点)4.知道改变平行板电容器电容大小的方法。
一、电容和电容器
1．电容器：两个相互靠近又彼此绝缘的导体组成一个电容器。
2．电容器的充电和放电
(1)充电：使电容器两极板带上等量异种电荷的过程叫作充电。如图甲所示。
特征：两极板所带等量异种电荷均匀分布在两极板相对的内表面。
电容器充电示意图 电容器放电示意图
甲 乙
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程叫作放电。如图乙所示。
特征：放电过程是储存在电场中的电能转化为其他形式的能的过程。
(3)电容器的带电荷量是指其中一个极板所带电荷量的绝对值。
3．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。
(2)物理意义：表示电容器容纳电荷的本领的大小。
(3)单位：在国际单位制中是法拉(F)，1 F＝1 C/V，1 F＝106μF＝1012pF。
二、平行板电容器
1．平行板电容器
(1)结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。
(2)电容的决定因素：电容C与两极板间的相对介电常数εr成正比，跟极板的正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比。
(3)电容的决定式：C＝，εr为电介质的相对介电常数。当两极板间是真空时：C＝，式中k为静电力常量。
2．电容器的额定电压和击穿电压
(1)额定电压：电容器能够长期正常工作时的电压。
(2)击穿电压：电介质被击穿时在电容器两极板上的极限电压，若电压超过这一限度，则电容器就会损坏。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)其他条件不变时，平行板电容器的电容随极板正对面积的增大而增大。
(√)
(2)其他条件不变时，平行板电容器的电容随极板间距离的增大而增大。
(×)
(3)任何电介质的相对介电常数都大于1。 (√)
(4)某电容器上标有“1.5 μF 9 V”的字样，则该电容器的击穿电压为9 V。 (×)
(5)电容器被击穿后就没有了容纳电荷的本领。 (√)
2．(多选)如图所示的各图描述的是对给定的电容器充电时其电荷量Q、电势差U、电容C之间相互关系的图象，其中正确的是( )
A B C D
CD [电容器的电容是由电容器本身属性决定的，与电容器所带电荷量Q的大小和两极板间的电势差U的大小无关，不能认为C与Q成正比，与U成反比，故选项D正确，A、B错误。而C图表示电容器所带电荷量与极板间的电势差成正比，其比值即电容器的电容，故选项C正确。]
3．(多选)有一个空气平行板电容器，极板间相距d，正对面积为S，充以电荷量Q后，两极板间电压为U，为使电容器的电容加倍，可采用的办法是( )
A．将电压变为
B．将带电荷量变为2Q
C．将极板间的距离变为
D．两板间充满介电常数为2的电介质
CD [电容器的电容与电容器极板上的电荷量、电压无关，所以选项A、B不正确；根据公式C＝，可以知道选项C、D正确。]
对电容的理解
1.两公式C＝与C＝的比较
公式
C＝
C＝
公式特点
定义式
决定式
意义
对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映电容器容纳电荷的本领
平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素
联系
电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定
2.通过Q-U图象来理解C＝。如图所示，在Q-U图象中，电容是一条过原点的直线的斜率，其中Q为一个极板上所带电荷量的绝对值，U为两极板间的电势差，可以看出，电容器电容也可以表示为C＝，即电容器的电容的大小在数值上等于两极板间的电压增加(或减小)1 V所需增加(或减少)的电荷量。
【例1】 有一充电的平行板电容器，两板间电势差为3 V，现使它的电荷量减少3×10－4 C，于是电容器两板间的电势差降为原来的，则此电容器的电容是多大？电容器原来带的电荷量是多少？若将电容器极板上的电荷量全部放掉，电容器的电容是多大？
[解析] 电容器两极板间电势差的变化量为ΔU＝U＝×3 V＝2 V
由C＝，得C＝ F＝1.5×10－4 F＝150 μF
设电容器原来带的电荷量为Q，则
Q＝CU＝1.5×10－4×3 C＝4.5×10－4 C
电容器的电容是由其本身决定的，与是否带电无关，所以电容器极板上的电荷量全部放掉后，电容仍然是150 μF。
[答案] 150 μF 4.5×10－4 C 150 μF
1．一个平行板电容器，使它每个极板所带电荷量从Q1＝3×10－5 C增加到Q2＝3.6×10－5 C时，两极板间的电势差从U1＝10 V增加到U2＝12 V，求这个电容器的电容。如要使两极板电势差从U1＝10 V降到U2′＝6 V，则每个极板需减少多少电荷量？
[解析] 由电容器的电容定义式C＝可知Q＝CU。当电荷量为Q1时，Q1＝CU1。当电荷量为Q2时，Q2＝CU2。显然Q2－Q1＝C(U2－U1)，即C＝＝＝3 μF。
当两极板间电势差降到6 V时，每极板应减少的电荷量为ΔQ ′＝CΔU′＝3×10－6×(10－6) C＝1.2×10－5 C。
[答案] 3 μF 1.2×10－5 C
平行板电容器的两类动态问题
平行板电容器的两类动态问题指的是电容器始终连接在电源两端，或充电后断开电源两种情况下，电容器的d、S或者εr发生变化时，判断C、Q、U、E随之怎样变化。具体分析方法如下。
1．公式分析法(①C＝ ②C＝ ③E＝)
C＝∝
始终连接在电源两端
充电后断开电源
U不变
Q不变
Q＝UC∝C∝
U＝∝∝
E＝∝
E＝∝
2.形象记忆法
两极板间电介质不变时，还可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两极板正对面积变化时，如图丙电场线变密，场强增大。
【例2】 研究与平行板电容器电容有关因素的实验装置如图所示，下列说法正确的是( )
A．实验前，只用带电玻璃棒与电容器a板接触，能使电容器带电
B．实验中，只将电容器b板向上平移，静电计指针的张角变小
C．实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大
D．实验中，只增加极板带电荷量，静电计指针的张角变大，表明电容增大
思路点拨：通过题图，可以获得以下信息：
(1)平行板电容器电荷量保持不变。
(2)静电计小球与外壳间电压和电容器两极间电压相同。
(3)静电计指针偏角与静电计小球和外壳间电压成正比。
A [当用带电玻璃棒与电容器a板接触，由于静电感应，从而在b板感应出等量的异种电荷，从而使电容器带电，故选项A正确；根据电容器的决定式：C＝，将电容器b板向上平移，即正对面积S减小，则电容C减小，根据C＝可知，电荷量Q不变，则电压U增大，则静电计指针的张角变大，故选项B错误；根据电容器的决定式：C＝，只在极板间插入有机玻璃板，则介电系数εr增大，则电容C增大，根据C＝可知，电荷量Q不变，则电压U减小，则静电计指针的张角减小，故选项C错误；根据C＝可知，电荷量Q增大，则电压U也会增大，但电容C不变，故选项D错误。]
(1)静电计是在验电器的基础上改造而成的，静电计由相互绝缘的两部分组成，静电计与电容器的两极板分别连接在一起，则电容器上的电势差就等于静电计上所指示的电势差U，U的大小就从静电计的刻度读出，可见，静电计指针的变化表征了电容器两极板电势差的变化。
(2)静电计本身也是一个电容器，但静电计容纳电荷的本领很弱，即电容很小，当带电的电容器与静电计连接时，可认为电容器上的电荷量保持不变。
2．一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器( )
A．极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B．极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C．极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D．极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
D [平行板电容器电容的表达式为C＝，将极板间的云母介质移出后，导致电容器的电容C变小。由于极板间电压不变，据Q＝CU知，极板上的电荷量变小。再考虑到极板间电场强度E＝，由于U、d不变，所以极板间电场强度不变，选项D正确。]
电容器中带电粒子的平衡与运动问题
【例3】 如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板正中有一小孔。质量为m、电荷量为＋q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零(空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g)。求：
(1)小球到达小孔处的速度；
(2)极板间电场强度大小和电容器所带电荷量；
(3)小球从开始下落运动到下极板处所需的时间。
思路点拨：(1)小球在小孔上方做自由落体运动。
(2)小球在板间做匀减速直线运动。
(3)电容器所带电荷量与板间电场强度的关系为Q＝CEd。
[解析] (1)小球从开始下落到上极板间做自由落体运动，由v2＝2gh得v＝。
(2)在极板间带电小球受重力和电场力作用，由牛顿第二定律得：mg－qE＝ma
由运动学公式知：0－v2＝2ad
整理得电场强度E＝。
由U＝Ed，Q＝CU，
得电容器所带电荷量Q＝。
(3)由h＝gt，0＝v＋at2，t＝t1＋t2
整理得t＝。
[答案] (1)
(2)
(3)
(1)上例中若充电后电源与两极板断开，将上极板上移一小段距离，其他条件不变，则小球能否到达下极板？
提示：充电后与电源断开则Q保持不变，上极板上移时，两板间的场强不变；
上板上移时d增大，但h＋d不变，则由动能定理：
mg(h＋d)－qEd＜0，所以小球不能到达下极板。
(2)上例中，若充电后电源与两极板相连，将下极板下移一小段距离，其他条件不变，则小球能否到达下极板？
提示：由于两极板与电源相连，则两板间的电压不变，d增大时，则由mg(h＋d)－qU＞0知，小球会打到下极板上。
3．(多选)如图所示，两块较大的金属板A、B相距为d，平行放置并与一电源相连，S闭合后，两板间恰好有一质量为m、带电荷量为q的油滴处于静止状态，以下说法正确的是( )
A．若将S断开，则油滴将做自由落体运动，G表中无电流
B．若将A向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G表中有b→a的电流
C．若将A向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G表中有b→a的电流
D．若将A向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G表中有b→a的电流
BC [将S断开，电容器电量不变，板间场强不变，故油滴仍处于静止状态，A错误；若S闭合，将A板左移，由E＝可知，E不变，油滴仍静止，而电容C变小，电容器极板电量Q＝CU变小，电容器放电，则有由b→a的电流，故B正确；将A板上移，则E＝可知，E变小，油滴应向下加速运动，电容C变小，电容器要放电，则有由b→a的电流流过G，故C正确；当A板下移时，板间电场强度增大，油滴受的电场力增加，油滴向上加速运动，C增大，电容器要充电，则有由a→b的电流流过G，故D错误。]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.对电容及电容器的理解。
2.平行板电容器的动态分析问题。
3.带电体在电容器中的运动问题。
1．下列关于电容器的叙述正确的是( )
A．电容器是储存电荷的容器，只有带电的容器才是电容器
B．任何两个彼此绝缘且相距很近的物体都组成了电容器
C．电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和
D．电容器充电过程是将其他形式的能转变成电容器的电能并储存起来，电容器放电过程是将电容器储存的电能转化为其他形式的能
D [电容器是储存电荷的容器，与其是否带电无关，A错误；任何两个彼此绝缘而又相距很近的导体组成一个电容器，B错误；电容器所带的电荷量指任一极板所带电荷量的绝对值，C错误；电容器的充、放电伴随能量转化，D正确。]
2．(多选)传感器是把非电学量(如速度、温度、压力等)的变化转换成电学量的变化的一种元件，在自动控制中有着相当广泛的应用。如图所示是测定液面高度h的电容式传感器，在金属芯柱的外面涂上一层绝缘物质，放入导电液体中，金属芯柱和导电液体构成电容器的两个极板，金属芯柱外面的绝缘物质就是电介质。测出电容器电容C的变化，就可以知道h的变化情况，两者的关系是( )
A．C增大表示h增大 B．C增大表示h减小
C．C减小表示h减小 D．C减小表示h增大
AC [根据h的变化可以判断两极板正对面积的变化，从而判断电容C的变化。由C∝知，εr、d一定时，电容器的电容C增大，表明电容器两极板的正对面积增大了，即液面高度h增大，所以A正确；同理，C减小时，表明电容器两极板的正对面积减小了，即液面高度h减小，所以C正确。]
3．(多选)如图所示是一个由电池、电阻R与平行板电容器组成的电路，在减小电容器两极板间距离的过程中( )
A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变大
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
BD [在减小电容器两极板间距离的过程中，电容器始终与电源相连，则两极板间电压U不变，由C＝知d减小，电容C增大，由Q＝UC知电容器所带电荷量Q增加，电容器充电，电路中有充电电流，电流方向由b流向a，故B、D正确。]
课件54张PPT。第一章 静电场8 电容器的电容绝缘靠近等量异种 一个极板失去电能比值容纳电荷的本领相互平行正比正比击穿长期正常工作√ √ × √ × 对电容的理解 平行板电容器的两类动态问题 电容器中带电粒子的平衡与运动问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(多选)关于电容器的电容，下列说法正确的是( )
A．电容器所带的电荷量越多，电容就越大
B．电容器两极板间的电势差越大，电容就越大
C．电容器所带的电荷量增加一倍，则两极板间的电势差也增加一倍
D．电容是表征电容器容纳电荷本领的物理量
CD [电容器的电容只与电容器本身的因素有关，而与电荷量和电势差无关，电容是表征电容器容纳电荷本领的物理量，选项C、D正确。]
2．(多选)对于水平放置的平行板电容器，下列说法中正确的是( )
A．将两极板的间距加大，电容将增大
B．将两极板平行错开，使正对面积减小，电容将减小
C．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等，厚度小于极板间距的陶瓷板，电容将增大
D．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等，厚度小于极板间距的铝板，电容将增大
BCD [影响平行板电容器电容大小的因素有：①随正对面积的增大而增大；②随两极板间距离的增大而减小；③在两极板间放入电介质，电容增大。由此可知B、C选项正确。对D选项，实际上是减小了平行板的间距，所以D也对。]
3．图为一只极距变化型电容式传感器的部分构件示意图。当动极板和定极板之间的距离d变化时，电容C便发生变化，通过测量电容C的变化就可知道两极板之间距离d的变化情况。下列选项中能正确反映C与d之间变化规律的图象是( )
A B C D
A [由平行板电容器电容的决定式C＝可知，电容C与两极板之间距离d成反比，在第一象限反比例函数图象是双曲线的一支，选项A正确。]
4．如图所示，将平行板电容器接在电源两极间，电容器两极板间的带电尘埃恰好处于静止状态。若将两极板缓慢地错开一些，其他条件不变，则( )
A．电容器带电荷量不变
B．电源中将有电流从正极流出
C．尘埃仍静止
D．电流计中将有电流通过，电流方向由b→a
C [若将两极板错开一些，则电容器的电容减小，电容器两极板间的电压不变，所以电容器上的带电荷量减少，电容器放电，电流从电容器的正极板流出，流向电源的正极，即电流方向为a→b；因电容器两极板间的距离没有发生变化，所以场强没有发生变化，带电尘埃受到的电场力不变，尘埃仍静止。故选项C正确。]
5．某电容器的电容是30 μF，额定电压为200 V，击穿电压为400 V，对于该电容器，下列说法中正确的是( )
A．为使该电容器两极板间的电压增加1 V，所需要增加的电荷量是3×10－5 C
B．当电容器带1 C的电荷量时，两极板间的电压为3×10－5 V
C．该电容器能容纳的电荷量最多为6×10－3 C
D．该电容器两极板间能承受的最大电压为200 V
A [由ΔQ＝C·ΔU＝30×10－6×1 C＝3×10－5 C知，A对；当Q＝1 C时，U＝＝ V＝3.3×104 V，电容器被击穿，B错；击穿电压为400 V表示电容器能承受的最大电压为400 V，最大电荷量Qm＝CUm＝30×10－6×400 C＝1.2×10－2 C，C、D错。]
6．(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，现使B板带电，则下列判断正确的是( )
A．增大两极板间的距离，指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
AB [电势差U变大(小)，指针张角变大(小)。电容器所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小，再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当将A板拿走时，相当于使d变得更大， C更小，故U应更大。正确选项为A、B。]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，平行板电容器的两个极板A、B分别接在电压为60 V的恒定电源上，两板间距为3 cm，电容器所带电荷量为6×10－8 C，A极板接地。求：
(1)平行板电容器的电容；
(2)平行板电容器两极板间的电场强度；
(3)图中距B板2 cm的D点的电势。
[解析] (1)C＝＝ F＝1×10－9 F。
(2)E＝＝＝2×103 V/m。
(3)φD＝－Ed′＝－2×103×(0.03－0.02)V＝－20 V。
[答案] (1)1×10－9 F (2)2×103 V/m (3)－20 V
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，电源A两端的电压恒为6 V，电源B两端的电压恒为8 V，当开关S从A扳到B时，通过电流计的电荷量为1.2×10－5 C，则电容器的电容为( )
A．2×10－5 F B．1.5×10－6 F
C．6×10－4 F D．8.6×10－7 F
D [当开关S接A时，电容器上极板带正电，所带电荷量Q＝CUA，当开关S扳到B时，电容器上极板带负电，所带电荷量Q′＝CUB，该过程中通过电流计的电荷量ΔQ＝Q＋Q′＝C(UA＋UB)＝1.2×10－5 C，解得电容C≈8.6×10－7 F，选项D正确。]
2．如图所示，一个平行板电容器两板间距离为d，其电容为C，所带电荷量为Q，上极板带正电，现将一个带电荷量为＋q的试探电荷由两极板间的A点移动到B点，A、B两点间的距离为l，连线AB与极板间的夹角为30°，则静电力对试探电荷所做的功等于( )
A. B.
C. D.
C [根据U＝，E＝，可得E＝，所以从A到B，静电力做功W＝qElsin 30°＝，C正确。]
3．平行板电容器充电后断开电源，将其中一块金属板沿远离另一极板的方向平移一小段距离。如图所示表示此过程中电容器两极板间电场强度E随两极板间距离d的变化关系，其中正确的是( )
A B C D
C [由于平行板电容器充电后断开电源，电容器所带电荷量保持不变，则两极板间电场强度E＝＝＝，E不随两极板间距离d的变化而变化，C正确，A、B、D错误。]
4．如图所示，水平金属板A、B分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态。现将B板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴( )
A．仍然保持静止 B．竖直向下运动
C．向左下方运动 D．向右下方运动
D [两极板平行时带电粒子处于平衡状态，则重力等于电场力，当下极板旋转时，板间距离增大，场强减小，电场力小于重力；由于电场线垂直于金属板表面，所以电荷处的电场线如图所示，所以重力与电场力的合力偏向右下方，故粒子向右下方运动，选项D正确。]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)计算机键盘上的每一个按键下面都有一个电容传感器。电容的计算公式是C＝ε，其中ε＝9.0×10－12 F·m－1，S表示两金属片的正对面积，d表示两金属片间的距离。当某一键被按下时，d发生改变，引起电容器的电容发生改变，从而给电子线路发出相应的信号。已知两金属片的正对面积为50 mm2，键未被按下时，两金属片间的距离为0.60 mm。只要电容变化达0.25 pF，电子线路就能发出相应的信号。那么为使按键得到反应，至少需要按下多大距离？
[解析] 由题中给出的电容计算公式C＝ε及相关数据，解得键未按下时的电容C1＝0.75 pF，
由＝得，＝，又C2＝1.00 pF，解得Δd＝0.15 mm。
[答案] 0.15 mm
6．(14分)电子所带电荷量最早是由美国科学家密立根通过油滴实验测出的。油滴实验的原理如图所示，两块水平放置的平行金属板与电源连接，上、下板分别带正、负电荷。油滴从喷雾器喷出后，由于摩擦而带电，油滴进入上板中央小孔后落到匀强电场中，通过显微镜可以观察到油滴的运动情况。两金属板间的距离为d，忽略空气对油滴的浮力和阻力。
(1)当两金属板间的电势差为U时，使得某个质量为m1的油滴恰好做匀速运动，该油滴所带电荷量q为多少？
(2)若油滴进入电场时的速度可以忽略，当两金属板间的电势差为U时，观察到某个质量为m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间t运动到下极板，求此油滴所带电荷量Q。
[解析] (1)油滴匀速下落过程中受到的静电力和重力平衡，可知油滴带负电荷，且＝m1g，解得q＝。
(2)油滴加速下落，若油滴带负电荷，电荷量为Q1，油滴受静电力方向向上，设此时的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律得m2g－Q1＝m2a1，而d＝a1t2，解得Q1＝；
若油滴带正电荷，电荷量为Q2，油滴受静电力方向向下，设此时的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律得m2g＋Q2＝m2a2，而d＝a2t2，解得Q2＝。
[答案] (1) (2)或
