习题课1 电场的性质
[学习目标] 1.理解描述电场力的性质物理量——场强及电场线。2.理解描述电场能的性质的物理量——电势、电势能、电势差及等势线。
一、电场线、等势面和运动轨迹的综合
1．已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直可以绘制电场线。
2．由电场线和等差等势面的疏密，可以比较不同点的电场强度大小，电场线或等势面密集处，电场强度较大。
3．根据电荷的运动轨迹可以判断电荷受力方向和做功的正负，从而判断电势能的变化情况，注意静电力与电场线相切，且指向曲线的凹侧。
【例1】 (多选)某同学在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹(如图中实线所示)，图中未标明方向的一组虚线可能是电场线，也可能是等势面，则下列说法正确的是( )
A．如果图中虚线是电场线，电子由a点运动到b点，动能减少，电势能增加
B．如果图中虚线是等势面，电子由a点运动到b点，动能增加，电势能减少
C．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电场强度都大于b点的电场强度
D．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电势都高于b点的电势
BC [若虚线是电场线，从轨迹弯曲方向可知电场力沿着电场线向左，ab曲线上每一点的瞬时速度与电场力方向均成钝角，故电子做减速运动，所以A错误；若虚线为等势面，根据等势面与电场线处处垂直可大致画出电场线，显然可看出曲线上每个位置电子受到的电场力与速度成锐角，电子加速运动，所以B正确；若虚线是电场线，由电场线的密集程度可看出a点的场强较大，由沿着电场线方向电势越来越低可判断a处的电势较高，若虚线是等势面，从电
子曲线轨迹向下弯曲可知电场线方向垂直虚线向上，沿着电场线方向电势越来越低，故a点电势较小，可判断D错误；而等差等势面密集处电场线也越密集，故a处场强较大，因此无论虚线是电场线还是等势面，均有a点的场强大于b点的场强，所以C正确。故选B、C。]
已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直绘制电场线，再根据轨迹弯曲方向找电荷的受力方向，结合运动轨迹或路径，判断功的正负；由静电力做功正负确定动能及电势能的变化。
1．如图中的实线表示电场线，虚线表示只受静电力作用的带正电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定( )
A．M点的电势高于N点的电势
B．M点的电场强度大于N点的电场强度
C．粒子在M点的速率大于粒子在N点的速率
D．粒子在N点的电势能大于粒子在M点的电势能
A [粒子由M点向N点运动，根据带正电的粒子受到的静电力沿电场线的切线，速度方向沿轨迹的切线可知粒子所受静电力的方向与速度方向的夹角为锐角，故静电力做正功，动能增加，电势能减少，C、D错误；根据静电力对正电荷做正功，电荷从高电势向低电势运动可知，M点的电势高于N点的电势，A正确；电场强度的大小和电场线的疏密程度有关，电场线越密，电场强度越大，故M点的电场强度小于N点的电场强度，B错误。]
二、电势高低及电势能增减的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
(1)依据电场线的方向→沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)依据UAB＝φA－φB→UAB>0，φA>φB，UAB<0，φA<φB。
2．电势能增、减的判断方法
(1)做功判断法→电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。
(2)公式法→由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大电势能越大；Ep的负值越小电势能越大。
(3)能量守恒法→在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，电势能增加。
(4)电荷电势法→正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
【例2】 如图是匀强电场遇到空腔导体后部分电场线的分布图，电场线的方向如图中箭头所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN。以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．M、O间的电势差小于Q、N间的电势差
C．将一负电荷由M点移到Q点，电荷的电势能增加
D．若在Q点释放一个正电荷，正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向向上
C [由电场线的方向可知φM>φO>φN，再作出此电场中过O的等势线，可知φO>φQ，A错误；M、O间的平均电场强度大于O、N间的平均电场强度，故UMO>UON>UQN，B错误；因UMQ>0，负电荷从M到Q静电力做负功，电势能增加，C正确；正电荷在Q点所受的静电力方向沿电场线的切线方向而不是圆的切线方向，D错误。]
2．某静电场的电场线分布如图所示，一负点电荷只在电场力作用下先后经过场中的M、N两点，过N点的虚线是电场中的一条等势线，则( )
A．M点的电场强度小于N点的电场强度
B．M点的电势低于N点的电势
C．负点电荷在M点的电势能小于在N点的电势能
D．负点电荷在M点的动能小于在N点的动能
C [电场线密集的地方，电场强度大，故M点的电场强度大于N点的电场强度，A错误；沿着电场线电势降低，故M点的电势高于N点的电势，B错误；负点电荷由M到N电场力做负功，动能减小，电势能增加，故C正确，D错误。]
三、电势、电势能、电场力做功的综合分析
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
1．利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB。
2．利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场。
3．利用公式WAB＝qUAB求解。
4．利用动能定理求解。
【例3】 如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑，已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2。求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参考点(零电势点)，试确定A点的电势。
[解析] (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零。
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝。
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有
mg·3R＋W电＝，
又根据电场力做功与电势能的关系：
W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)，
又因为φC＝0，
可得φA＝。
[答案] (1) (2)
3．如图所示，在水平方向的匀强电场中，用长为L的绝缘细线拴住一质量为m、电荷量为q的小球，线的上端固定。开始时连线带球拉成水平，突然松开后，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时的速度恰好为零。求：
(1)A、B两点的电势差UAB；
(2)电场强度的大小。
[解析] (1)小球由静止释放，若没有电场，则小球运动到最低点后再摆动到左边与释放点等高的地方，而有电场时，细线转过60°处小球速度恰好为零，由此可知，静电力一定做负功，据动能定理得mgLsin60°＋qUAB＝0，解得UAB＝－。
(2)A、B两点沿电场线方向的距离为L(1－cos 60°)，则电场强度E＝，由此得E＝。
[答案] (1)－ (2)
1．关于电场线，下列说法中正确的是( )
A．电场线就是电荷运动的轨迹
B．电场中的电场线可以相交
C．电场线越密的地方场强越小
D．电场线上某点的切线方向与负试探电荷在该点所受电场力的方向相反
D [电场线是不闭合的曲线，它的疏密程度可以表示场强的大小，电场线越密的地方场强越大，电场线不能相交，电场线不等同于电荷运动的轨迹，故A、B、C均错；电场线某点的切线方向与放在该点的正电荷受力方向相同，与负电荷受力方向相反，故只有D对。]
2．A、B是一条电场线上的两个点，一带正电的粒子仅在静电力作用下以一定的初速度从A点沿电场线运动到B点，其v-t图象如图所示，则该电场的电场线分布可能是图中的( )
A B C D
D [根据v-t图象，带电粒子的加速度逐渐增大，速度逐渐减小，选项D正确。]
3．如图所示，甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，两球间用绝缘细线连接，甲球由绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧，则平衡时的位置可能是( )
A B C D
A [以甲、乙为整体，悬线1的拉力竖直向上，与重力平衡；对小球乙，重力和匀强电场的静电力的合力指向右下方，则悬线2的拉力和库仑引力的合力指向左上方，选项A正确。]
4．如图所示，在两等量异种点电荷的连线上有D、E、F三点，且DE＝EF，K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面。一不计重力的带负电的粒子从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则( )
A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|<|Wbc|
C．粒子由a点到b点，动能减少
D．a点的电势比b点的电势低
C [由等量异种点电荷的电场线特点可知，靠近电荷处的电场强度大，结合公式U＝Ed知|Uab|>|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|>|Wbc|，选项A、B错误；从带负电粒子的运动轨迹可知，该粒子从a点到c点受到向左侧的静电力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，选项D错误；粒子由a点到b点，静电力做负功，电势能增加，动能减少，选项C正确。]
重难强化训练(一)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共6小题，每小题7分，共42分)
1．在真空中某点电荷产生的电场中有a、b两点，如图所示，a点场强大小为Ea，方向与a、b连线的夹角为60°。b点场强大小为Eb，方向与a、b连线的夹角为30°。则a、b两点的场强大小关系是( )
A．Ea＝ B．Ea＝
C．Ea＝2Eb D．Ea＝3Eb
D [如图所示，设场源电荷带电荷量为－Q，易知该点电荷应位于两电场线的交点O处，因为a点离O点较近，而Ea＝k，Eb＝k，又rb＝ra，所以有Ea＝3Eb，选项D正确。]
2．如图所示，两个带电荷量分别为＋2q和－q的点电荷固定在x轴上，相距为2L。下列图象中，关于两个点电荷连线上场强大小E与x关系的图象可能是( )
A B
C D
C [由异种点电荷的电场强度的特点可知，若两点电荷电荷量相等，在两点电荷连线中点处场强最小，本题因负点电荷电荷量较小，故在两点电荷连线中点偏－q一侧某处电场强度最小，但不是零，故选项C正确。]
3．下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( )
A B
C D
B [根据对称性和矢量叠加，D项O点的场强为零，C项等效为第二象限内电荷在O点产生的电场，大小与A项的相等，B项正、负电荷在O点产生的场强大小相等，方向互相垂直，合场强是其中一个的倍，也是A、C项场强的倍，因此B项正确。]
4．一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
B [由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小。]
5．如图所示，直线上有O、a、b、c四点，a、b间的距离与b、c间的距离相等，在O点处有固定点电荷。已知b点电势高于c点电势。若一带负电荷的粒子仅在电场力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则( )
A．两过程中电场力做的功相等
B．前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功
C．前一过程中，粒子电势能不断减小
D．后一过程中，粒子动能不断减小
C [根据点电荷电场及电势分布特点可知，b点电势高于c点电势，则O点固定的是正电荷。负电荷移动过程中电场力做功W＝qU，因为Ubc6．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示。下列说法正确的是( )
A．O点的电势最低
B．x2点的电势最高
C．x1和－x1两点的电势相等
D．x1和x3两点的电势相等
C [沿x轴对称分布的电场，由题图可得其电场线以O点为中心指向正、负方向，沿电场线电势降落(最快)，所以O点的电势最高，选项A、B错误；根据U＝Ed，电场强度是变量，可用E?x图象面积表示电势差，因图象沿x轴对称分布，所以－x1、O和图象所围面积与x1、O和图象所围面积相等，选项C正确；x1、x3两点的电场强度大小相等，电势沿电场线方向逐渐降低，电势不相等，选项D错误。]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题7分，共28分)
1．(多选)某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是( )
A．c点场强大于b点场强
B．a点电势高于b点电势
C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
BD [电场线的疏密表示电场的强弱，A项错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项正确；＋q在a点所受静电力方向沿电场线的切线方向，由于电场线为曲线，所以＋q不会沿电场线运动，C项错误；在d点固定一点电荷－Q后，a点电势仍高于b点，＋q由a移至b的过程中，静电力做正功，电势能减小，D项正确。]
2．(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若aA＞aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA＜EpB
D．B点电势可能高于A点电势
BC [若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于rA＜rB，故EA＞EB，FA＞FB，aA＞aB，φA＞φB，EpA＜EpB；
若Q在N端，由电子运动的轨迹可知Q为负电荷，且电子从A向B运动或从B向A运动均可，由rA＞rB，故φA＞φB，EpA＜EpB。
综上所述选项A、D错误，选项B、C正确。]
3．如图所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线。取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是( )
A．A点电势大于B点电势
B．A、B两点的电场强度相等
C．q1的电荷量小于q2的电荷量
D．q1在A点的电势能小于q2在B点的电势能
C [由题意知点电荷Q带负电，所以有φA<φB<0，得|UA∞|>|UB∞|，移动两试探电荷克服电场力做功相等，即q1|UA∞|＝q2|UB∞|，所以q1EB，而且A、B两点的场强方向也不同，选项B错误；根据电场力做功与电势能变化的关系，q1在A点的电势能等于q2在B点的电势能，选项D错误。]
4．如图所示，两块水平放置的带电平行金属板间有竖直向上的匀强电场。一个质量为m、带电荷量为q的油滴以初速度v0进入电场，并在电场中沿直线运动了一段时间，空气阻力不计，则( )
A．该油滴带负电
B．在这段时间内电场力所做的功大于油滴重力势能的变化
C．在这段时间内油滴的机械能保持不变
D．在这段时间内油滴的动能保持不变
D [油滴受重力和电场力，由于油滴做直线运动，故合力一定为零，电场力与重力平衡，电场力向上，与场强同向，故油滴带正电，故A错误；由于电场力和重力是一对平衡力，电场力做的功等于克服重力做的功，而克服重力做的功等于重力势能的增加量，所以电场力所做的功等于油滴重力势能的变化，故B错误；由于除重力外电场力做正功，故机械能增加，故C错误；由于受力平衡，做匀速直线运动，故动能不变，故D正确。]
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
5．(14分)如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小；
(2)小球的质量m；
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
[解析] (1)F＝qE＝3.0×10－3N。
(2)由＝tan 37°，
得m＝4.0×10－4kg。
(3)由mgl(1－cos 37°)＝mv2，
得v＝＝2.0 m/s。
[答案] (1)3.0×10－3N (2)4.0×10－4kg
(3)2.0 m/s
6．(16分)如图所示，水平放置的两平行金属板A、B接在U＝4 000 V的直流电源上，两极板间距离为2 cm，A极板接地，电场中a点距B极板1 cm，b点和c点均距A极板0.5 cm，求：
(1)a点的电场强度；
(2)a、c之间的电势差；
(3)电子在b点的电势能；
(4)电子从a点运动到c点，电场力做的功。
[解析] (1)由于是匀强电场，所以a点的电场强度大小为：
Ea＝＝ V/m＝2×105 V/m。
(2)a、c两点的电势差为：
Uca＝Ed＝2×105×(0.01－0.005) V＝1 000 V；
故Uac＝－1 000 V。
(3)电子在b点的电势能为：
Ep＝e·φb＝(－1.6×10－19)×(－1 000)J＝1.6×10－16 J。
(4)电子从a运动到c，电场力所做的功为：
Wac＝eUac＝(－1.6×10－19)×(－1 000)J＝1.6×10－16J。
[答案] (1)2×105 V/m (2)－1 000 V
(3)1.6×10－16 J (4)1.6×10－16 J
