[体系构建]
[核心速填]
1．电场的力的性质
(1)电场强度的定义式E＝，适用于任意电场。
(2)真空中点电荷的场强公式：E＝k，式中：
①Q为场源电荷的电荷量。
②r为研究的点到场源的距离。
(3)场强与电势差的关系式：E＝，适用于匀强电场的计算，式中d为沿场强方向上的距离。
2．电场的能的性质
(1)电势的定义式：φ＝，与零势能点的选取有关。
(2)电势差的定义式：UAB＝，适用于任意电场。
(3)电势差与电势的关系式：UAB＝φA－φB，与零电势能点的选取无关。
(4)电场力做功与电势能变化的关系式：WAB＝－ΔEp。
3．电容
(1)定义式：C＝，适用于任何电容器。
(2)平行板电容器的决定式：C＝，仅适用于平行板电容器。
4．带电粒子在电场中的运动
(1)加速运动
用动能定理求解，基本关系式为
qU＝mv－mv或qEd＝mv－mv(匀强电场)。
(2)偏转运动
①处理方法：运用运动的合成与分解的思想处理，也就是初速度方向上的匀速直线运动和电场力方向上的匀变速直线运动。
②偏转规律：在如图所示的匀强电场中，有以下规律偏转位移：y＝。
速度偏转角的正切：tan φ＝＝。
(3)两个结论
①不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的。
②粒子经电场偏转后， 合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到电场边缘的距离为。
电场中的平衡问题
1.同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，库仑力实质上就是电场力，与重力、弹力一样，它也是一种基本力。注意力学规律的应用及受力分析。
2．明确带电粒子在电场中的平衡问题，实际上属于力学平衡问题，其中仅多了一个电场力而已。
3．求解这类问题时，需应用有关力的平衡知识，在正确的受力分析的基础上，运用平行四边形定则、三角形定则或建立平面直角坐标系，应用共点力作用下物体的平衡条件，灵活运用方法(如合成分解法、矢量图示法、相似三角形法、整体法等)去解决。
【例1】 如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin 37°＝Fbcos 37°，解得＝，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得＝，B错误，D正确。]
1．(多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为D.静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则( )
A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当＝时，细线上的拉力为0
C．当＝时，细线上的拉力为0
D．当＝时，斜面对小球A的支持力为0
AC [根据库仑定律可知小球A与B之间的库仑力大小为k，选项A正确；若细线上的拉力为零，小球A受重力、库仑力和支持力作用，如图所示，由平衡条件可得F＝k＝mgtan θ，则有＝，选项B错误，选项C正确；因为两小球带同种电荷，所以斜面对小球A的支持力不可能为0，选项D错误。]
带电粒子在复合场中的运动
1.带电粒子在复合场中的运动是指带电粒子在运动过程中同时受到电场力及其他场力的作用。较常见的是在运动过程中，带电粒子同时受到重力和电场力的作用。
2．由于带电粒子在复合场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，研究的方法与质点动力学的研究方法相同，它同样遵循运动的合成与分解、力的独立作用原理、牛顿运动定律、动能定理、功能原理等力学规律。
【例2】 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一个质量为m、带正电的珠子。空间存在水平向右的匀强电场，如图所示。珠子所受的静电力是其重力的，将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：
(1)珠子所能获得的最大动能是多大？
(2)珠子对环的最大压力是多大？
[解析] (1)由qE＝mg，设qE、mg的合力F合与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝，解得θ＝37°。设珠子到达B点时动能最大，则珠子从A点由静止释放后从A到B的过程中做加速运动，如图所示，在B点时动能最大，由动能定理得
qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝Ek，
解得在B点时的动能，即最大动能Ek＝mgr。
(2)设珠子在B点受到的圆环弹力为FN，有
FN－F合＝，
即FN＝F合＋＝＋mg＝mg＋mg＝mg，
由牛顿第三定律得，珠子对圆环的最大压力为mg。
[答案] (1)mgr (2)mg
[一语通关]
(1)在最低位置A时动能为零，压力等于重力。
(2)珠子在所受合力方向过圆心的最低位置动能最大、对环的压力也最大。
2．(多选)如图所示，MNQP为有界的竖直向下的匀强电场，电场强度为E，ACB为固定的光滑半圆形轨道，轨道半径为R，A、B为轨道水平直径的两个端点。一个质量为m、电荷量为－q的带电小球从A点正上方高为H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆形轨道。不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是( )
A．小球一定能从B点离开轨道
B．小球在AC部分可能做匀速圆周运动
C．小球到达C点的速度可能为零
D．当小球从B点离开时，上升的高度一定等于H
BD [若静电力大于重力，则小球有可能不从B点离开轨道，选项A错误。若静电力等于重力，则小球在轨道上做匀速圆周运动，选项B正确。因为从A到B静电力做功代数和为零，系统只有重力做功，故小球到达B点后仍能上升到H高度，选项D正确。若小球到达C点的速度为零，则电场力大于重力，小球将脱离轨道运动，不可能到达C点，选项C错误。]
电场中的功能关系
1．在电场中，若静电力对电荷做正功，则电荷的电势能减少，静电力对电荷做了多少正功，电荷的电势能就减少多少；若静电力对电荷做负功，则电荷的电势能增加，电荷克服静电力做了多少功，电荷的电势能就增加多少。
2．在电场中，当只有静电力做功时，电荷的动能与电势能的总和是不变的。
3．如果在电场中除了静电力做功外，还有重力做功，则电势能、动能和重力势能三者之间可以相互转化，且三者的总和保持不变。这就是普遍的能量守恒定律在电场中的具体应用。
【例3】 (多选)如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力的作用下沿以Q为焦点的椭圆运动。M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离Q最近的点。电子在从M点经P点到达N点的过程中( )
A．速度先增大后减小 B．速度先减小后增大
C．电势能先减小后增大 D．电势能先增大后减小
AC [电子在从M点经P点到达N点的过程中，先靠近正电荷，然后再远离正电荷，因此静电力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大；再根据动能定理，靠近时合外力(即静电力)做正功，则动能增加，速度增大，反之，远离时速度减小，故选项A、C正确。]
[一语通关]
(1)求解本题可以用静电力做功与电势能变化的关系以及动能定理来解决。
(2)如果注意到题目的情境跟天体在万有引力作用下的运动相似，就可以借鉴那种情况下天体的引力势能与引力做功以及动能变化的关系来解答，因为本题就是把引力势能改换成电势能来考查的。
3．图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]
章末综合测评(一)
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．下列说法正确的是( )
A．电荷放在电势高的地方，电势能就大
B．正电荷在电场中某点的电势能，一定大于负电荷在该点具有的电势能
C．无论是正电荷还是负电荷，克服电场力做功它的电势能都增大
D．电场强度为零的点，电势一定为零
C [电势能的大小与电荷的电性有关，正电荷放在电势高的地方，电势能大，而负电荷放在电势高的地方，电势能小，故A错误；正电荷在电场中电势大于零的点，其电势能一定大于负电荷在该点具有的电势能；而正电荷在电场中电势小于零的点，其电势能一定小于负电荷在该点具有的电势能，故B错误；只要克服电场力做功，电荷的电势能一定增大，与电荷的电性无关，故C正确；电场强度与电势无关，可知电场强度为零的点，电势不一定为零，故D错误。]
2．如图所示，在真空中，把一个绝缘导体向带负电的球P慢慢靠近。关于绝缘导体两端的电荷，下列说法中不正确的是( )
A．两端的感应电荷越来越多
B．两端的感应电荷是同种电荷
C．两端的感应电荷是异种电荷
D．两端的感应电荷的电荷量相等
B [由于导体内有大量可以自由移动的电子，当它慢慢靠近带负电的球P时，由于同种电荷相互排斥，导体上靠近P的一端的电子被排斥到远端，靠近P的一端带上了正电荷，远离P的一端带上了等量的负电荷。导体离球P距离越近，电子被排斥得越多，感应电荷越多。]
3．如图所示，曲线为电荷在匀强电场中的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是( )
A．电荷在b点的电势能大于在a点的电势能
B．电荷在a、b两点的电势能相等
C．该电场的方向水平向左
D．b点的电势高于a点的电势
A [由电荷运动轨迹可以确定电荷所受电场力水平向左，a到b过程中，电场力与速度所成的角度为钝角，则电场力做负功，电势能增大，则电荷在b点的电势能大于在a点的电势能，故A正确，B错误；由于不知道电荷的电性，所以不能确定电场线的方向，同时也就不能确定电势的高低，故C、D错误。]
4．在匀强电场中，有一质量为m，带电荷量为q的带电小球静止在O点，然后从O点自由释放，其运动轨迹为一直线，直线与竖直方向的夹角为θ，如图所示，那么关于匀强电场的场强大小的下列说法中正确的是( )
A．唯一值是 B．最大值是
C．最小值是 D．不可能是
C [带电小球受到电场力与重力作用，小球沿合力方向做加速直线运动，根据图示位置可确定电场力的方向，小球在重力和电场力的共同作用下做加速直线运动，当电场力的大小与重力沿合力的垂直方向分力相等时，电场力最小，即qE＝mgsin θ，故E＝。故选C。]
5．某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图所示，可以判定( )
A．粒子在A点的加速度大于它在B点的加速度
B．粒子在A点的动能小于它在B点的动能
C．粒子在A点的电势能小于它在B点的电势能
D．A点的电势低于B点的电势
B [由电场线分布可知， EAφB，D错。]
6．在真空中，上、下两个区域均有竖直向下的匀强电场，其电场线分布如图所示，有一带负电的粒子从上边区域沿一条电场线以速度v0匀速下落，并进入下边区域(该区域的电场范围足够广)，在下列速度—时间图象中，符合粒子在电场内运动情况的是(以v0方向为正方向)( )
A B C D
C [电场线在下边区域密，即下边区域场强大，故粒子在上边区域向下匀速运动，进入下边区域后，先做匀减速运动至速度减为零，接着向上做匀加速运动，越过边界后以速度－v0在上边区域再次做匀速运动。]
7．如图所示的U-x图象表示三对平行金属板间电场的电势差与场强方向上距离的关系。若三对金属板的负极板接地，图中x均表示到正极板的距离，则下述结论中正确的是( )
A．三对金属板正极电势的关系φ1＞φ2＞φ3
B．三对金属板间场强大小有E1＞E2＞E3
C．若沿电场方向每隔相等的电势差值作一等势面，则三个电场等势面分布的关系是1最密，3最疏
D．若沿电场方向每隔相等距离作一等势面，则三个电场中相邻等势面差值最大的是1，最小的是3
BCD [通过U-x图象分析可得，三对金属板的板间电势差相同，又因为金属板的负极板都接地，所以三个正极板的电势相等，A错误。又因为板间距离不同，由E＝可得E1＞E2＞E3，B正确。每隔相等的电势差值作一等势面，由d＝可得，场强越大，等势面间距越小，分析得等势面分布的关系是1最密，3最疏，C正确。沿电场方向每隔相等距离作一等势面，由UAB＝Ed可得，场强越大，电势差越大，分析得相邻等势面差值最大的是1，最小的是3，D正确。]
8．如图所示是两个等量异种点电荷，周围有1、2、3、4、5、6各点，其中1、2之间距离与2、3之间距离相等，2、5之间距离与2、6之间距离相等。两条虚线互相垂直且平分，那么关于各点电场强度和电势的叙述正确的是( )
A．1、3两点电场强度相同
B．5、6两点电场强度相同
C．4、5两点电势相同
D．1、3两点电势相同
ABC [两个等量异种点电荷的中垂线是等势线，所以2、4、5、6的电势相等，C正确；顺着电场线的方向电势降低，1、3电势不相等，D错误；1、2之间距离与2、3之间距离相等，由场强的矢量合成可以知道1、3两点电场强度相同，A正确；2、5之间距离与2、6之间距离相等，由场强的矢量合成得5、6两点电场强度相同，B正确。]
9．空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度在x方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有( )
A．EBx的大小大于ECx的大小
B．EBx的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
AD [在φ-x图中，图象斜率的绝对值表示场强大小。结合题中图象特点可知EBx>ECx，EOx＝0，故A正确，C错误。根据电场中沿着电场线的方向电势逐渐降低可知EBx沿x轴负方向，B错误。负电荷在正x轴上受电场力沿x轴负向，在负x轴上受电场力沿x轴正向，故可判断负电荷从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功，D正确。]
10．如图所示，三个质量相同，带电荷量分别为＋q、－q和0的小液滴a、b、c，从竖直放置的两板中间上方由静止释放，最后从两板间穿过，轨迹如图所示，则在穿过极板的过程中( )
A．电场力对液滴a、b做的功相同
B．三者动能的增量相同
C．液滴a电势能的增加量等于液滴b电势能的减小量
D．重力对三者做的功相同
AD [因a、b带电荷量相等，所以穿过两板时电场力做功相同，电势能增加量相同，A对，C错；c不带电，不受电场力作用，由动能定理，三者动能增量不同，B错；a、b、c三者穿出电场时，由WG＝mgh知，重力对三者做功相同，D对。]
二、非选择题(本题共4小题，共40分，按题目要求作答)
11．(8分) 将一个电荷量为－2×10－9 C的点电荷从电场中的N点移动到M点， 需克服电场力做功1.4×10－8 J，求：
(1)N、M 两点间的电势差UNM 为多少？
(2)若将该电荷从M移到N，电场力做什么功？UMN为多少？
[解析] (1)由题意可知，将点电荷从N移动到M点，电场力做负功，即WNM＝－1.4×10－8 J，
根据公式UNM＝＝＝7 V。
(2)当点电荷从M移到N点时，电场力做正功。根据电势差之间的关系有：
UMN＝－UNM＝－7 V。
[答案] (1)7 V (2)正功 －7 V
12．(10分)在一个点电荷Q的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m。已知放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量大小的关系如图所示中的直线A、B所示，放在A点的电荷带正电，放在B点的电荷带负电。求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并确定点电荷Q的位置坐标。
[解析] (1)由题图可得B点电场强度的大小
EB＝＝2.5 N/C。
因B点的试探电荷带负电，而受力指向x轴的正方向，故B点场强的方向沿x轴的负方向。
(2)因A点的正电荷受力和B点的负电荷受力均指向x轴的正方向，故点电荷Q位于A、B两点之间，带负电。
设点电荷Q的坐标为x，则
EA＝k，
EB＝k。
由题图可得EA＝40 N/C，解得x＝2.6 m。
[答案] (1)2.5 N/C 沿x轴的负方向 (2)负电
2．6 m
13．(10分)如图所示，带负电的小球静止在水平放置的平行板电容器两极板间，距下极板h＝0.8 cm，两极板间的电势差为300 V。如果两极板间电势差减小到60 V，则带电小球运动到极板上需要多长时间？(g取10 m/s2)
[解析] 选带电小球为研究对象，设它所带电荷量为q，则带电小球受重力mg和静电力qE的作用。
当U1＝300 V时，小球受力平衡，有
mg＝q ①
当U2＝60 V时，带电小球向下极板做匀加速直线运动，有mg－q＝ma ②
h＝at2 ③
由①②③式得t＝≈4.5×10－2 s。
[答案] 4.5×10－2 s
14．(12分)水平放置的两块平行金属板长L＝5.0 cm，两板间距d＝1.0 cm，两板间电压U＝90 V，且上板为正。一个电子沿水平方向以速度v0＝2.0×107 m/s，从两板中间射入，如图所示。
(1)电子偏离金属板时的偏移距离是多少？
(2)电子飞出电场时的速度是多少？
(3)电子离开电场后，打在屏上的P点。若s＝10 cm，求OP的高度。
[解析] 电子在匀强电场中受到静电力与重力作用，由于静电力F＝＝1.44×10－15 N，远大于重力(G＝mg＝9.1×10－30 N)，即重力作用对电子运动的影响可以忽略不计，所以只考虑静电力。又由于静电力方向与速度方向垂直，所以电子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，与平抛运动类似。
(1)电子在电场中的加速度a＝，偏移距离即竖直方向的位移y＝at2。
因为t＝，则y＝＝0.5 cm。
(2)电子飞出电场时，水平分速度vx＝v0，
竖直分速度vy＝at＝＝4×106 m/s。
则电子飞出电场时的速度
v＝≈2.04×107 m/s。
设v与v0的夹角为θ，则tan θ＝＝0.2。
(3)电子飞出电场后做匀速直线运动，则
OP＝y＋s·tan θ＝2.5 cm。
[答案] (1)0.5 cm (2)2.04×107 m/s，速度与水平方向夹角的正切值为0.2 (3)2.5 cm
