3.功率
[学习目标] 1.知道功率的概念，理解功率的物理意义． 2.掌握功率的定义式P＝，能够用P＝解答有关的问题．(重点) 3.知道P＝Fv的推导过程．(重点) 4.掌握汽车启动问题的分析方法．(难点) 5.理解额定功率和实际功率的概念．(重点)
一、功率
1．定义
力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值．
2．定义式
P＝.
3．单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示．
4．意义
功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量．
二、功率与速度
1．功率与速度的关系式
P＝Fv(F与v方向相同)．
2．推导
―→P＝Fv
3．应用
由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)功率越大表示做的功越多． (×)
(2)一个力对物体做功的功率，等于这个力与受力物体运动速度的乘积． (√)
(3)汽车的功率一定，汽车的速度越大，牵引力就越大． (×)
(4)汽车在高速公路上行驶，功率的大小与速度的大小无关． (×)
2．下列关于功率的说法中正确的是( )
A．由P＝知，力做的功越多，功率越大
B．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大
C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多
D．由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
D [由P＝知，力在单位时间内做的功越多，功率越大，选项A错误；由P＝Fv知，物体运动得越快，功率不一定越大，选项B错误；由W＝Pt知，功率越大，力在相同时间内做的功越多，选项C错误；由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大，因夹角α不确定，选项D正确．]
3．在一次举重比赛中，一名运动员将质量为127.5 kg的杠铃举起历时约2 s，该运动员在举起杠铃运动中的平均功率约为( )
A．几十瓦左右 B．一千瓦左右
C．几十千瓦左右 D．几百千瓦左右
B [设举重运动员将杠铃举高1.7 m，则P＝＝＝1 083.75 W．]
功率的理解和计算
定义式P＝
计算式P＝Fv
适用条件
适用于任何情况下功率的计算
适用于F与v同向的情况
应用
求某个过程中的平均功率．当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率
若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率
公式
理解
功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定
P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比
【例1】 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力的平均功率；
(2)2 s末重力的瞬时功率．
[解析] (1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析．由牛顿第二定律可得mgsin θ－μmgcos θ＝ma，
解得a＝2 m/s2
由位移公式l＝at2＝×2×22 m＝4 m
重力在前2 s内做的功为
W＝mglsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率为＝＝ W＝24 W.
(2)木块在2 s末的速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
[答案] (1)24 W (2)48 W
计算功率应该注意的问题
(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同．
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率．
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等．不同情况应选择不同的公式．
1．(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中( )
A．前2 s内重力做功的功率为300 W
B．前2 s内重力做功的功率为675 W
C．第2 s末重力做功的功率为600 W
D．第2 s末重力做功的功率为900 W
AC [前2 s物体下落h＝gt2＝20 m，重力做功的功率P1＝＝ W＝300 W，A正确，B错误；2 s末物体的速度v＝gt＝20 m/s，此时重力的功率P2＝mgv＝600 W，C正确，D错误．]
机车启动的两种方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图
和v-t图
OA段
过程分析
v↑?F＝ ↓
?a＝ ↓
a＝不变?
F不变P＝Fv↑
直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动、
维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻?a＝0?F阻＝
v↑?F＝ ↓
?a＝ ↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻?a＝0?F阻＝，以vm做匀速直线运动
【例2】 在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N.
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
思路点拨：①汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff.
②汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度．
③汽车速度为v′时牵引力F＝.
[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝＝m/s＝12 m/s. ①
(2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有
－Ff＝ma ②
得v＝＝ m/s＝8 m/s ③
由v＝at得这一过程维持的时间
t＝＝ s＝16 s.
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力
F′＝＝ N＝3×104 N，
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a＝＝ m/s2＝5 m/s2.
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力．
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小．
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm.
2．(多选)如图是一汽车在平直路面上启动的速度—时间图象，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知( )
A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变
B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大
C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小
D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变
BC [0～t1时间内，汽车的速度是均匀增加的，是匀加速运动，所以汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大，所以A错误，B正确；
t1～t2时间内，汽车的功率已经达到最大值，功率不能再增加，所以汽车的牵引力在减小，加速度也要减小，所以C正确，D错误．]
课 堂 小 结
1.功与完成这些功所用时间的比值叫作功率，即P＝，表示做功的快慢．
2．公式P＝一般用来计算平均功率，瞬时功率用公式P＝Fv进行计算，若v取平均速度，则P＝Fv为平均功率．
3．汽车上坡时，司机要“换挡”来减小速度，这样在发动机功率相同的情况下可以获得较大的牵引力；汽车在平直公路上，所受阻力较小，可以使用高转速比的挡位获得较大的速度.
知 识 脉 络
1．如图所示，在光滑的水平面上放着一个质量为10 kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2 N．木箱从静止开始运动，4 s末拉力的瞬时功率为( )
A．0.2 W B．0.4 W
C．0.8 W D．1.6 W
B [木箱的加速度a＝＝0.1 m/s2,4 s末的速度v＝at＝0.4 m/s，则瞬时功率P＝F·v·cos α＝0.4 W，B正确．]
2．如图所示是甲、乙两物体做功与所用时间的关系图象，那么甲物体的功率P甲与乙物体的功率P乙相比( )
A．P甲＞P乙 B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙 D．无法判定
B [根据功率的定义式P＝可知，在功与所用时间的关系图象中，直线的斜率表示功率．因此，由图线斜率可知P甲＜P乙，选项B正确．]
3．假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )
A．4倍 B．2倍 C.倍 D.倍
D [当功率为P时，P＝Fv＝kv·v＝kv2；当功率为2P时，2P＝kv′·v′＝kv′2，因此，v′＝v，D正确．]
4．能源短缺和环境恶化已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题．为缓解能源紧张压力、减少环境污染，汽车制造商纷纷推出小排量经济实用型轿车．某公司研制开发了某型号小汽车，发动机的额定功率为24 kW，汽车连同驾乘人员总质量为m＝2 000 kg，在水平路面上行驶时受到恒定的阻力是800 N，求：
(1)汽车在额定功率下匀速行驶的速度；
(2)汽车在额定功率下行驶，速度为20 m/s时的加速度．
[解析] (1)由P＝Fv得v＝＝ m/s
＝30 m/s.
(2)F1＝＝ N＝1 200 N
a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2.
[答案] (1)30 m/s (2)0.2 m/s2
课件46张PPT。第七章 机械能守恒定律3.功率功W 时间t 瓦特 快慢 Fv FlFv反比 减小 × √ × × 功率的理解和计算机车启动的两种方式点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分)
1．功率的定义式为P＝W/t，由此可见( )
A．功率的大小由功和做功的时间共同决定
B．做的功越少，功率就越小
C．做功的时间越长，功率就越小
D．物体做功的功率越大，则物体做的功一定越多
A [功率是描述做功快慢的物理量，功率大说明物体做功快，功率小说明物体做功慢．对物体做的功多，如果用的时间很长，那么功率也不一定大．做功少，功率也不一定就小，由功和做功的时间共同决定，反之功率大，做功也不一定多．故A正确，B、C、D错误．]
2．如图所示，质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地．取g＝10 m/s2.关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W
C [物体2 s下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地的竖直分速度为vy＝gt＝20 m/s，所以落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgvy＝400 W，下落过程中重力的平均功率是＝＝200 W，选项C正确．]
3．在同一高度处有五个完全相同的小球，第一个小球由静止释放，另外四个小球以相同大小的初速度分别沿水平方向、竖直向下方向、斜向上45°方向和斜向下45°方向抛出，最后五个小球都落到同一水平地面上．五个小球落地时重力的瞬时功率分别为P1、P2、P3、P4和P5.不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．P1＞P2＞P3＞P4＞P5 B．P1＜P2＜P3＜P4＜P5
C．P1＝P2＝P3＝P4＝P5 D．P1＝P2＜P4＝P5＜P3
D [由于重力的功率为P＝mgvy，第一个球与第二个在竖直方向上都是自由落体运动，故落地时二者在竖直方向的速度相等，故P1＝P2，对于第四个球与第五个球，落地时速度大小相等，则竖直方向的分速度相等，但是比第一、二两球大，故P1＝P2＜P4＝P5，对于第三个球，由于其做向下的初速度不为零的匀加速直线运动，故其落地时速度方向竖直向下，并且最大，故P3最大，故选项D正确．]
4．如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒，已知重心在c点．若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次重心c点上升的距离均为0.24 m，则克服重力做的功和相应的功率约为( )
A．430 J,7 W B．720 J,12 W
C．4 300 J,70 W D．7 200 J,120 W
C [克服重力的功为：WG＝nmgh＝30×60×9.8×0.24 J＝4 233.6 J
功率为：P＝＝ W＝70.56 W，故选项C正确，选项A、B、D错误．]
5．质量为1 kg的物体从某一高度自由下落，设5 s内物体未着地，则该物体下落5 s内重力做功的平均功率是(取g＝10 m/s2)( )
A．50 W B．100 W
C．250 W D．500 W
C [物体做自由落体运动，5 s内下降的高度是h＝gt2＝×10×52＝125 m
重力做的功为W＝mgh＝1×10×125 J＝1 250 J
所以重力的平均功率为P＝＝250 W，故选项C正确，选项A、B、D错误．]
6．(多选)如图所示，为一汽车在平直的公路上，由静止开始运动的速度图象，汽车所受阻力恒定．图中OA为一段直线，AB为一曲线，BC为一平行于时间轴的直线，则( )
A．OA段汽车发动机的功率是恒定的
B．OA段汽车发动机的牵引力恒定
C．AB段汽车发动机的功率可能是恒定的
D．BC段汽车发动机的功率是恒定的
BCD [OA为一段直线，说明OA段汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，根据P＝Fv，可知，速度增大，牵引力不变，功率增大，故A错误，B正确；AB为一曲线，斜率逐渐减小，则加速度逐渐减小，牵引力减小，根据P＝Fv可知，牵引力减小，速度增大，功率可能不变，故C正确；BC为一平行于时间轴的直线，则汽车做匀速直线运动，牵引力等于阻力，不变，速度也不变，根据P＝Fv可知，功率不变，故D正确．]
7．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( )
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1
C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
B [汽车的阻力分别为f1＝k1mg，f2＝k2mg，当汽车以相同功率启动达到最大速度时，有F＝f，故由P＝Fv可知最大速度v＝＝，则＝＝，有v2＝v1，B正确．]
8．质量为m的汽车行驶在平直公路上，在运动中所受阻力不变，当汽车的加速度为a，速度为v时，发动机功率为P1；当功率为P2时，汽车行驶的最大速度为( )
A. B.
C. D.
B [由题意知F－f＝ma，P1＝Fv，由以上两式得f＝.当功率为P2时，汽车行驶的最大速度vm＝＝，B正确．]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同一段距离时，恒力做的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系是( )
A．W1＞W2、P1＞P2 B．W1＝W2、P1＜P2
C．W1＝W2、P1＞P2 D．W1＜W2、P1＜P2
B [恒力做的功仅由力、位移及二者夹角决定，由题意，很显然W1＝W2；沿粗糙面运动时，加速度小，通过相同位移所用时间长，即t1＞t2，根据P＝，则有P1＜P2，故选项B正确．]
2．(多选)一汽车在平直路面上以一定功率(小于额定功率)匀速行驶，速度为v0，从t＝0时刻开始，将汽车发动机的输出功率调整为某个值并保持不变，设汽车行驶过程所受阻力恒定不变，关于汽车从t＝0时刻开始的v-t图象，下图中可能正确的是( )
A B C D
BC [汽车匀速运动，牵引力等于阻力，此时P＝Fv0＝fv0，若在t＝0时刻将汽车发动机的输出功率调为另一个恒定值，且这个定值比P小，则瞬间牵引力减小，牵引力小于阻力，根据牛顿第二定律可知a＝＝，则加速度反向减小，故汽车做加速度减小的减速运动，若在t＝0时刻将汽车发动机的输出功率调为另一个恒定值，且这个定值比P大，则根据P＝Fv可知瞬间牵引力增大，随着速度增大，牵引力减小，根据牛顿第二定律可知a＝＝，则加速度减小，故汽车做加速度减小的加速运动，故B、C正确．]
3．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．4 s末F的功率大小为42 W
C．F的大小为21 N
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
B [由速度—时间图象可得物体加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律：2F－mg＝ma得F＝＝10.5 N,4 s末F的功率P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W,4 s内F做功的平均功率＝＝＝ W＝21 W，故选项B正确，A、C、D错误．]
4．(多选)如图所示，是汽车牵引力F和车速倒数的关系图象，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是( )
A．汽车的额定功率为6×104W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD [由图象可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做额定功率恒定的变加速运动，P额＝F·v＝2×103×30 W＝6×104 W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，B错误；汽车匀加速运动的加速度a＝＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v＝＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)有一艘质量为1.0×107 kg的轮船，发动机的额定功率是1.8×108 W，假设轮船所受的阻力为1.2×107 N，且始终保持不变，
(1)当发动机以额定功率工作、航行速度为9 m/s时，轮船的加速度大小；
(2)这艘轮船长时间能保持的最大航行速度．
[解析] 由P＝Fv可知，当轮船发动机的功率一定时，v越大，牵引力F越小，又因为在轮船前进的方向上，F－F阻＝ma，所以当轮船以恒定功率启动时，随着v的增大，F减小，a减小，即轮船做加速度逐渐减小的变加速运动，当F＝F阻时，a＝0，轮船速度达到最大，此后轮船将保持这一速度做匀速运动．
(1)由P＝Fv可知，当v＝9 m/s时，F＝＝ N＝2.0×107 N，又F－F阻＝ma，故a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2.
(2)轮船以最大速度航行时，F′＝F阻＝1.2×107 N，故vm＝＝＝ m/s＝15 m/s.
[答案] (1)0.8 m/s2 (2)15 m/s
6．(14分)图示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动．g取10 m/s2，不计额外功．求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
[解析] (1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力．P0＝F0vm ①
P0＝mgvm ②
代入数据，有：P0＝5.1×104 W． ③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1 ④
F－mg＝ma ⑤
v1＝at1 ⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s ⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at ⑧
P＝Fv2 ⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：P＝2.04×104 W.
[答案] (1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
