4．重力势能
[学习目标] 1.知道重力做功与路径无关的特点． 2.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．(重点) 3.掌握重力做功与重力势能变化的关系．(重点) 4.理解重力势能的相对性．(难点) 5.知道重力势能是物体和地球系统所共有的．
一、重力做功和重力势能
1．重力做的功
(1)特点：只跟物体运动的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功．
(2)表达式：WG＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差．h1、h2分别表示物体起点和终点的高度．
2．重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量．
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh.其中h表示物体(重心)的高度．
(3)单位：焦耳，与功的单位相同．
(4)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2.
②重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增加．
二、重力势能的相对性和系统性
1．相对性
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面．在参考平面上，物体的重力势能取作0.
(2)重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的．
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小．
2．系统性
重力势能是地球与物体所组成的系统共有的．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)重力做功由重力和物体的位移决定大小． (×)
(2)同一物体在不同高度时，重力势能不同． (√)
(3)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反． (×)
(4)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1＞Ep2.(√)
(5)在同一高度的质量不同的两个物体，它们的重力势能一定不同． (×)
2．关于重力势能的说法正确的是( )
A．重力势能仅由重物本身的因素决定
B．重力势能有负值，因此说重力势能是矢量
C．重力做功才有重力势能，重力不做功，物体就不具有重力势能
D．重力做功引起重力势能变化
D [重力势能与重物的重量、高度等有关，故A错误；重力势能是标量，其负值表示重力势能低于零势能面；故B错误；重力做功时重力势能发生改变，但不做功时物体也具有重力势能，故C错误；重力做功引起重力势能的变化，故D正确．]
3．质量为20 kg的铁板、厚度不计，平放在二楼的地面上．二楼地面与楼外地面的高度差约为3 m．这块铁板相对二楼地面和楼外地面的重力势能分别为( )
A．600 J、0 B．0、600 J
C．1 200 J、0 D．0、1 200 J
B [铁板相对于二楼平面的高度是零，故铁板相对于二楼平面的重力势能为零；铁板相对于楼外地面的高度为3 m，则铁板相对于二楼平面的重力势能Ep＝mgh＝200×3 J＝600 J．故选B.]
4．关于重力做功与重力势能，下列叙述中正确的是( )
A．重力对物体做正功，物体的重力势能减少
B．物体克服重力做功，物体的重力势能减少
C．重力对物体不做功，物体的重力势能一定为零
D．物体克服重力做功，物体的重力势能一定为负值
A [重力对物体做正功，物体的重力势能减少，重力对物体不做功，物体的重力势能不变，但不一定等于零，选项A正确，而选项C错误；物体克服重力做功，物体的重力势能增加，但与重力势能的正负无关，选项B、D均错误．]
对重力势能的理解
1．重力势能的三个性质
(1)重力势能的相对性
选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关．
(2)重力势能变化的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关．
(3)重力势能的系统性
重力是地球对物体吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法．
2．重力势能的正负
重力势能是标量，其数值可正可负可为零，表示的是相对大小，如图所示．
物体在A、B、C三点重力势能的正负如下表所示．
参考平面
EpA
EpB
EpC
地面
正值
正值
零
桌面
正值
零
负值
A处平面
零
负值
负值
【例1】 如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( )
A．mgh，减少mg(H－h) B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h) D．－mgh，减少mg(H＋h)
D [以桌面为参考平面，落地时物体的重力势能为－mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了mg(H＋h)，D正确．]
上例中，若选地面为参考平面，结果如何？
提示：落地时重力势能为0，重力势能的变化为减少mg(H＋h)．
1．下列关于重力势能的说法正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
D．在地面上的物体具有的重力势能一定等于零
C [物体的重力势能与参考平面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D选项错．]
重力做功与重力势能的关系
重力做功
重力势能
物理意义
重力对物体做功
由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式
WG＝mgΔh
Ep＝mgh
影响大小
的因素
重力mg和初、末位置的高度差Δh
重力mg和相对参考面的高度h
特点
只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关
与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同
过程量
状态量
联系
重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
【例2】 如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力做功为多少？重力势能减少了多少？
[解析] 从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量
ΔEp＝－WG＝－mgl
负号表示小球的重力势能减少了．
[答案] mgl mgl
重力势能的求解方法
(1)定义法：选取参考平面，确定物体相对参考平面的高度h，代入Ep＝mgh求解重力势能．
(2)WG和Ep关系法：由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2.
(3)变化量法：重力势能的变化量ΔEp＝Ep2－Ep1，故Ep2＝Ep1＋ΔEp或Ep1＝Ep2－ΔEp.
2．起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
A．重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B．重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C．重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D．重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
D [起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，重力对物体做功W＝－mgh＝－50×10×10 J＝－5 000 J．重力对物体做多少负功，重力势能增加多少；则重力势能增加5.0×103 J. 故D项正确．]
分段法求解绳子、链条类物体的重力势能
1．重力势能的基本计算式是Ep＝mgh，对于实际物体，式中h表示物体重心相对零势能面的高度．
2．求解绳子、链条类物体的重力势能时，重心位置的确定是关键：粗细均匀、质量分布均匀的长直绳子或链条，其重心在长度的一半处．
3．两种情况下重力势能的求解
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平或竖直或倾斜)放置时，Ep＝mgh中的h表示长度一半位置处的重心相对零势能面的高度．
(2)当绳子、链条不以直线状(如折线状)放置时，应当分段表示重力势能再求和．
【例3】 如图所示，在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m、长度为l的绳子，绳子的悬于桌面下，从绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，重力对绳子做功为多少？绳子的重力势能变化量为多少？(桌面离地面高度大于l，重力加速度取g)
思路点拨：①求绳子的重力势能要求出绳子重心到参考平面的高度．
②以桌面为参考平面时，绳子在桌面上的部分，其重力势能为零，只需求在桌面以下的重力势能．
[解析] 取桌面为参考平面，刚开始时绳子的重力势能为
Ep1＝mg×＝－mgl
当绳子刚好全部离开桌面时，绳子的重力势能为Ep2＝mg×＝－mgl
则绳子的重力势能变化量
ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgl－＝－mgl
由W＝－ΔEp知重力做功mgl.
[答案] mgl －mgl
3．一条长为L、质量为m的匀质轻绳平放在水平地面上，现在缓慢地把绳子提起来．设提起前半段绳子时人做的功为W1，全部提起来时人做的功为W2，则W1∶W2等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
D [提起前半段绳子时人做的功W1＝mg×L＝mgL，提起全部绳子时人做的功为W2＝mg·l＝mgL，W1∶W2＝1∶4.故选D.]
课 堂 小 结
1.物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
2．重力势能的表达式为Ep＝mgh，重力势能是标量，但有正负，重力势能为负值时，说明物体在零势能面下方．
3．重力势能具有相对性和系统性，但重力势能的变化量具有绝对性，重力做功与重力势能的关系为WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.
4．重力势能是地球与物体组成的系统所共有的，不是物体单独具有的，但习惯上说成“物体的重力势能”．
5．重力势能是否变化，如何变化，以及变化了多少，只取决于物体重力的做功情况，与其他因素无关.
知 识 脉 络
1．(多选)关于重力势能的说法，正确的是( )
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．重力势能恒大于零或等于零
C．重力势能是物体和地球所共有的
D．在地面上的物体，它具有的重力势能不一定等于零
CD [重力势能的表达式为Ep＝mgh，与高度也有关，故A错误；高度具有相对性，重力势能也有相对性；我们规定当物体位于参考平面下方时，重力势能为负值，故B错误；重力势能离不开重力，重力离不开地球，故重力势能是物体与地球系统所共有的，故C正确；重力势能的大小与零势能面的选取有关，并不一定以地面为参考平面，故地面上的物体重力势能不一定为零，故D正确．]
2．物体在运动过程中，克服重力做功50 J，则( )
A．重力做功为50 J
B．物体的重力势能一定增加50 J
C．物体的重力势能一定减小50 J
D．物体的重力势能一定是50 J
B [克服重力做功50 J，即重力做功为－50 J，物体的重力势能一定增加50 J，故选项B正确．]
3．一根粗细均匀的长直铁棒重600 N，平放在水平地面上．现将一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则( )
A．铁棒的重力势能增加了300 J
B．铁棒的重力势能增加了150 J
C．铁棒的重力势能增加量为0
D．铁棒重力势能增加多少与参考平面选取有关，所以无法确定
B [铁棒的重心升高的高度h＝0.25 m，铁棒增加的重力势能等于克服重力做的功，与参考平面选取无关，即ΔEp＝mgh＝600×0.25 J＝150 J，故B正确．]
4．质量为3 kg的物体放在高4 m的平台上，g取10 m/s2，求：
(1)物体相对于平台表面的重力势能是多少？
(2)物体相对于地面的重力势能是多少？
(3)物体从平台落到地面上，重力势能变化了多少？重力做的功是多少？
[解析] (1)以平台为参考平面，物体的重力势能为0.
(2)以地面为参考平面，物体的重力势能
Ep＝mgh＝3×10×4 J＝120 J.
(3)以地面为参考平面，物体落到地面，重力势能变化了ΔEp＝0－120 J＝－120 J
即重力做功120 J.
[答案] (1)0 (2)120 J (3)减少了120 J 120 J
课件52张PPT。第七章 机械能守恒定律4．重力势能起点 终点 路径 正 负 mgh 高处 高度 mgh 焦耳 减小 增加 水平面 水平面 0 不同 正 负 小 地球 物体 ×
√
×
√
×对重力势能的理解重力做功与重力势能的关系分段法求解绳子、链条类物体的重力势能点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分)
1．(多选)下面关于重力做功及重力势能的说法中，正确的是( )
A．两物体A、B，A的高度是B的2倍，那么A的重力势能也是B的2倍
B．如果考虑空气阻力，从某一高度下落一物体到达地面，物体重力势能的减少要比无阻力自由下落时重力势能减少得少
C．重力做功的多少，与参考平面的选取无关
D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但这并不影响研究有关重力势能的问题
CD [由重力势能的计算公式Ep＝mgh可知，重力势能由mg和h共同决定，故A错误；由ΔEp＝－mgh可知，重力势能的变化只与mgh有关，而与阻力无关，故B错误，C正确；虽然重力势能具有相对性，选择不同的参考平面，物体具有不同重力势能的数值，但这并不影响对重力势能的研究，故D正确．]
2．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．重力势能有正、负值，表示物体的重力势能是矢量
B．只要物体在水平面以下，其重力势能为负值
C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小
D．重力势能是地球与物体所组成的系统共有的
D [重力势能有正、负值，其正负表示物体的重力势能的大小，重力势能是标量，故A错误；重力势能的大小与零势能面的选取有关，在零势能面下方，物体重力势能为负值，在零势能面上方，物体重力势能为正值，在零势能面上，物体重力势能为零，故B错误；卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能增加，故C错误；重力势能是物体和地球共有的，而不是物体单独具有的，离开地球物体将不再具有重力势能，故D正确．]
3．如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点．关于重力的做功情况，下列说法正确的是( )
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
D [由于重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关．故D正确．]
4．一个100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)( )
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．物体的重力势能一定减少0.55 J
D．物体的重力势能一定增加1.25 J
C [整个过程中重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故重力势能减少0.55 J，所以选项C正确．]
5．(多选)如图所示，物体沿不同的路径从A运动到B，其中按不同的路径：①有摩擦作用；②无摩擦作用，③无摩擦，但有其他外力拉它．比较这三种情况下重力做的功W1、W2、W3，重力势能的变化量ΔEp1、ΔEp2、ΔEp3的关系，以下正确的是( )
A．W1＞W2＞W3 B．W1＝W2＝W3
C．ΔEp1＝ΔEp2＝ΔEp3 D．ΔEp1＜ΔEp2＜ΔEp3
BC [重力做功与路径无关，取决于物体初、末位置，且与物体受不受其他力无关．重力势能的变化量只取决于重力做的功，因此，三种情况下重力做功相同，重力势能的变化量也相同．]
6.如图所示，ACP和BDP是竖直平面内两个半径不同的半圆形光滑轨道，A、P、B三点位于同一水平面上，C和D分别为两轨道的最低点，将两个质量相同的小球分别从A和B两处同时无初速度释放，则( )
A．沿BDP光滑轨道运动的小球的重力势能永远为正值
B．两小球到达C点和D点时，重力做功相等
C．两小球到达C点和D点时，重力势能相等
D．两小球刚开始从A和B两处无初速度释放时，重力势能相等
D [不管选哪一点为零势能点，A点和B点相对零势能面的竖直高度均相等，所以重力势能相等，D正确；两小球到达C点和D点时，重力势能不相等，C错误；重力势能Ep＝mgh，具有相对性，如果选A、P、B三点在零势能参考面上，则两球在运动过程中的重力势能恒为负值；如果选C点在零势能参考面上，则两球在运动过程中的重力势能恒为正值，A错误；另外，重力做功跟路径无关，只取决于物体在初始和终末两点在竖直方向的高度，两球从开始运动到到达C点和D点时竖直高度不等，所以，重力做功不相等，B错误．]
7.如图所示虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能( )
A．一直减小
B．一直增大
C．先增大后减小
D．先减小后增大
C [运动员的重心高度先增大后减小，所以其重力势能Ep＝mgh也先增大后减小，C项正确．]
8．物体从某高度处做自由落体运动，以地面为重力势能零点，下列所示图象中，能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是( )
B [设物体开始下落时的重力势能为Ep0，物体下落高度h过程中重力势能减少量ΔEp＝mgh，故物体下落高度h时的重力势能Ep＝Ep0－ΔEp＝Ep0－mgh，即Ep-h图象为倾斜直线，B正确．]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．魔方，英文名为Rubik′s Cube，又叫魔术方块或鲁比克方块，是一种手部极限运动．通常泛指三阶魔方．三阶魔方形状是正方体，由有弹性的硬塑料制成．要将一个质量为m、边长为a的水平放置的匀质三阶魔方翻倒，推力对它做功至少为( )
A.mga B. C. D.
D [推力对物体所做的功，增加了物体的重力势能，即WF＝ΔEp，ΔEp＝mg＝mga，故选D.]
2．(多选)质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是( )
A．物体重力做的功为mgh
B．物体所受阻力做功为
C．物体重力势能减少了mgh
D．物体克服阻力所做的功为
ACD [因物体的加速度为g，由牛顿第二定律可知，mg－Ff＝ma解得空气阻力Ff＝mg.重力做功WG＝mgh，阻力做功Wf＝－mgh，A、D对，B错；重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，重力做正功，故重力势能减小mgh，C对．]
3．如图所示，一个质量为M的物体，放在水平地面上，物体上方安装一个长度为L、劲度系数为k的轻弹簧处于原长，现用手拉着弹簧上端的P点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P点的位移(开始时弹簧处于原长)是H，则物体重力势能的增加量为( )
A．MgH B．MgH＋
C．MgH－ D．MgH－
C [物体离开地面时，弹簧伸长x＝，重物上升的高度h＝H－x，重力势能增加量Ep＝Mgh＝MgH－，所以正确答案为C.]
4．如图所示，在水平地面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h.如果工人将砖一块一块地叠放起来，那么工人至少做功( )
A．n(n－1)mgh B．n(n－1)mgh
C．n(n＋1)mgh D．n(n＋1)mgh
B [把n块砖看成一个整体，其总质量是M＝nm，以地面为零势能面，n块砖都平放在地上时，其重心都在高处，所以n块砖的初始重力势能为E1＝.
当n块砖叠放在一起时，其总高度为H＝nh，其总的重心位置在＝处，所以末态重力势能为E2＝nmg＝，人做的功至少等于重力势能的增量，即W＝ΔEp＝E2－E1＝.]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)如图所示，总长为2 m的光滑匀质铁链，质量为10 kg，跨过一光滑的轻质定滑轮．开始时铁链的两底端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，求：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？(g取10 m/s2)
[解析] 如图所示，开始时链条重心在A处，离开滑轮时重心位置在B处，即重心下降了0.5 m．所以重力做功WG＝10×10×0.5 J＝50 J．重力势能减少50 J.
[答案] 50 J 减少50 J
6．(14分)世界著名撑杆跳高运动员——乌克兰名将布勃卡身高1.83 m，体重82 kg，他曾35次打破撑杆跳高世界纪录，目前仍保持着6.14 m的世界纪录．请你回答以下两个问题：(g取10 m/s2)
(1)他最后跳过6.14 m 时，至少克服重力做多少功？
(2)他的重力势能改变了多少？
[解析] 人的重心大约在人身高的一半的位置，即0.915 m，在撑杆跳的过程中，人的重心升高的高度为：h＝6.14 m－0.915 m＝5.225 m，在人重心升高的过程中，克服重力所做的功为：W＝mgh＝82×10×5.225 J＝4 284.5 J；运动员克服重力做了功，运动员的重力势能增加了4 284.5 J.
[答案] (1)4 284.5 J (2)增加了4 284.5 J
