8．机械能守恒定律
[学习目标] 1.知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的． 2.会推导机械能守恒定律． 3.掌握机械能守恒定律的内容，理解机械能守恒的条件．(重点、难点) 4.会灵活运用机械能守恒定律解决问题．(重点、难点)
一、动能、势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．
2．动能与弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．
3．机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减．
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
(3)E2＝E1.
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加． (×)
(2)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能． (×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒． (×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒． (×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒． (√)
2．关于机械能，以下说法正确的是( )
A．质量大的物体，重力势能一定大
B．速度大的物体，动能一定大
C．做平抛运动的物体机械能时刻在变化
D．质量和速率都相同的物体，动能一定相同
D [重力势能的大小与零势能面的选取有关，质量大但重力势能不一定大，A错误；动能的大小与质量以及速度有关，所以速度大，动能不一定大，B错误；平抛运动过程中只受重力作用，机械能守恒，C错误；根据Ek＝mv2可知质量和速率都相同的物体，动能一定相同，D正确．]
3．(多选)下列选项中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)
CD [物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
4.如图所示，质量m＝0.5 kg的小球，从距桌面h1＝1.2 m高处的A点下落到地面上的B点，桌面高h2＝0.8 m．以桌面为重力势能的参考平面，重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球在A点时的重力势能为10 J
B．小球在B点时的重力势能为0 J
C．小球在B点时的动能为10 J
D．小球在B点时的机械能为10 J
C [以桌面为参考平面，A点的重力势能为：EpA＝mgh1＝0.5×10×1.2 J＝6 J，B点的重力势能为：EpB＝mgh2＝0.5×10×(－0.8)J＝－4 J，故A、B错误；根据动能定理得：EkB＝mg(h1＋h2)，即物体下落到B点时的动能为mg(h1＋h2)＝6 J＋4 J＝10 J，故C正确；物体在B点的重力势能为－4 J，动能为10 J，所以B点的机械能E＝6 J，故D错误．]
机械能守恒的条件及判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒．
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒．
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示．
甲 乙 丙
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒．
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒．
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意．
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
【例1】 下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石头、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一石头，双手拉着细线缓慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
D [将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对箭做功，故机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一物体，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能减小，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有笔帽的重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，故D正确．]
1．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
A B C D
C [根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是物体系统内只有重力(弹力)做功．在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒．图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒．只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒．]
机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同
状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
规律
内容
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或弹力做功时
无条件限制
物理意义
重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度
守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合外力做功情况
【例2】 如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(取重力加速度g＝10 m/s2)．
[解析] 方法一：应用机械能守恒定律求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝mv－mv2
物块从A到D过程中做平抛运动，则
竖直方向2R＝gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m.
方法二：应用动能定理求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，由动能定理得
－mg·2R＝mv2－mv
物块从A到D过程中做平抛运动，则竖直方向2R＝gt2
水平方向x＝vt
联立以上各式并代入数据得x＝1 m.
[答案] 1 m
上例中，若小物块经过A处时，轨道对物块弹力大小等于物块重力大小的2.2倍，求小物块在C处获得的初速度v0.
提示：小物块经过A处时，重力和弹力的合力提供向心力，在A处由牛顿第二定律得mg＋2.2mg＝m
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk
即2mgR＝mv－mv2
联立各式并代入数据得v0＝6 m/s.
2．(多选)在竖直平面内有一条光滑弯曲轨道，轨道上各个高点的高度如图所示．一个小环套在轨道上，从1 m的高处以8 m/s的初速度下滑，则下列说法正确的是( )
A．到达第(1)高点的速度约为8.6 m/s
B．到达第(1)高点的速度约为74 m/s
C．小环能越过第(3)高点
D．小环不能越过第(4)高点
AC [根据机械能守恒可以得到：mgh＋mv2＝mgh1＋mv，则小环到达第(1)高点的速度为：v1＝＝ m/s≈8.6 m/s，A对，B错；设小球能够上升的最大高度为H，则根据机械能守恒定律：
得到：mgh＋mv2＝mgH，则：H＝4.2 m，即小环能越过第(3)和(4)高点，C对，D错．]
物体系统的机械能守恒
【例3】 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？(g取10 m/s2)
[解析] (1)方法一：由E1＝E2.
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则
mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2.
v＝
＝ m/s＝2 m/s.
方法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2
得v＝2 m/s.
方法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－mBv2＝mAgh＋mAv2
得v＝2 m/s.
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝mAv，h′＝＝ m＝0.2 m.
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
机械能守恒定律表达式的灵活选取
(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解．
(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp列式求解．
3．(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
BC [因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误．]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.
2．在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律．
3．机械能守恒定律的表达式为：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp.
4．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功.
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
D [做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做变速直线运动的物体机械能可能守恒，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确．]
2．如图所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2 kg，上升到0.1 m的高度时速度为1 m/s，g取10 m/s2，弹簧的最大弹性势能是( )
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
C [取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得：Ep弹＝mgh＋mv2＝0.2×10×0.1 J＋×0.2×1 J＝0.3 J，故选项C正确．]
3．在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
A [设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan θ＝，甲球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比．同理可得，v2＝·v/2，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确．]
4．如图所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A点时速度为v1，下落到高度为h2的B点时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
(1)求物体在A、B处的机械能各是多少？
(2)比较物体在A、B处的机械能的大小．
[解析] (1)以地面为零势能点，故在A点重力势能为mgh1，动能为mv，故在A点的机械能为EA＝mgh1＋mv，在B点的重力势能为mgh2，动能为mv，故在B点的机械能为EB＝mgh2＋mv.
(2)下落过程中，不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，A、B两点机械能相等．
[答案] (1)EA＝mgh1＋mv；EB＝mgh2＋mv (2)相等
课件61张PPT。第七章 机械能守恒定律8．机械能守恒定律234重力势能 动能 动能 重力势能 保持不变 5正 弹性势能 动能 重力势能 弹性势能 6相互转化 保持不变 7重力 弹力 8×
×
×
×
√91011121314151617机械能守恒的条件及判断1819202122232425262728机械能守恒定律的应用2930313233343536373839404142物体系统的机械能守恒434445464748495051525354555657585960点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分)
1．(多选)神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的( )
A．飞船升空的阶段
B．只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C．只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D．临近地面时返回舱减速下降的阶段
BC [飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能总量守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，故机械能减小，故D错误．]
2.(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图所示．则迅速放手后(不计空气阻力)( )
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球与弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
BD [放手瞬间小球加速度大于重力加速度，A错；整个系统(包括地球)的机械能守恒，B对，C错；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，D对．]
3．如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
A [小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，得v＝，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确．
小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，则小球机械能不守恒，故B错误．
对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误．
小球在压缩弹簧的过程中，弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误．]
4．一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．小球下落阶段下列说法中正确的是( )
A．在B位置小球动能最大
B．从A→D位置的过程中小球机械能守恒
C．从A→D位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加
D．从A→C位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加
D [球从B至C过程，重力大于弹簧的弹力，合力向下，小球加速运动；C到D过程，重力小于弹力，合力向上，小球减速运动，故在C点动能最大，A错误．下落过程中小球受到的弹力做功，所以机械能不守恒，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变，从A→D位置，动能变化量为零，根据系统的机械能守恒知，小球重力势能的减小等于弹性势能的增加，从A→C位置小球减小的重力势能一部分转化为动能，一部分转化为弹簧的弹性势能，故从A→C位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加，D正确，B、C错误．]
5．滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中( )
A．所受合外力始终为零
B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为零
D．机械能始终保持不变
C [因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心力，故有FN－mgcos θ＝m?FN＝m＋mgcos θ，运动过程中速率恒定，且θ减小，所以曲面对运动员的支持力越来越大，根据f＝μFN可知摩擦力越来越大，B错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合力做功为零，C正确；因为该过程要克服摩擦力做功，机械能不守恒，D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共20分)
6．(10分)如图所示为一跳台的示意图．假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
[解析] 运动员在滑雪过程中只有重力做功，故运动员在滑雪过程中机械能守恒．取B点所在水平面为参考平面．由题意知A点到B点的高度差h1＝4 m，B点到C点的高度差h2＝10 m，从A点到B点的过程由机械能守恒定律得mv＝mgh1
故vB＝＝4 m/s≈8.9 m/s.
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
mv＝－mgh2＋mv
故vC＝＝2 m/s≈16.7 m/s.
[答案] 8.9 m/s 16.7 m/s
7．(10分)如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始是静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a，其中a未知，现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时链条的速率为v，求a.
[解析] 设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的高度减少量
h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得(L－a)gh＝mv2，
解得a＝.
[答案] a＝
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是( )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
BCD [若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，所以A选项错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，因而B选项正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv＋mgh，C选项正确；在地面处的机械能为mv，因此在海平面上的机械能也为mv，D选项正确．]
2．如图所示，轻绳连接A、B两物体，A物体悬在空中距地面H高处，B物体放在水平面上．若A物体质量是B物体质量的2倍，不计一切摩擦．由静止释放A物体，以地面为零势能参考面．当A的动能与其重力势能相等时，A距地面的高度是( )
A.H B.H C.H D.H
B [设A的动能与重力势能相等时A距地面高度为h，对A、B组成的系统，由机械能守恒得：
mAg(H－h)＝mAv2＋mBv2 ①
又由题意得：mAgh＝mAv2 ②
mA＝2mB ③
由①②③式解得：h＝H，故B正确．]
3．(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量分别为1 kg和2 kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.3 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.3 m．现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
A．从开始下滑到A进入圆管整个过程，小球A、B与地球三者组成的系统机械能守恒
B．在B球未进入水平圆管前，小球A与地球组成系统机械能守恒
C．两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为 m/s
D．从开始下滑到A进入圆管整个过程，轻杆对B球做功－1 J
ABC [从开始下滑到A进入圆管整个过程，除重力做功外，杆对系统做功为零，小球A、B与地球三者组成的系统机械能守恒，故A正确；在B球未进入水平圆管前，只有重力对A做功，小球A与地球组成系统机械能守恒，故B正确；以A、B组成的系统为研究对象，系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：mBgh＋mAg(h＋Lsin θ)＝(mA＋mB)v2，代入数据解得：v＝ m/s，故C正确；以A球为研究对象，由动能定理得：mAg(h＋Lsin θ)＋W＝mAv2，代入数据解得：W＝－1 J，则轻杆对B做功，WB＝－W＝1 J，故D错误．]
4.(多选)如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑的小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同，下列说法正确的是( )
A．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
B．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为R
C．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
D．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为2R
ABD [当v0＝时，根据机械能守恒定律有：mv＝mgh，解得h＝，即小球上升到高度为时速度为零，所以小球能够上升的最大高度为，故A正确；设小球恰好能运动到与圆心等高处时在最低点的速度为v，则根据机械能守恒定律得：mgR＝mv2，解得v＝，故如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为R，故B正确；设小球恰好运动到圆轨道最高点时在最低点的速度为v1，在最高点的速度为v2，则在最高点，有mg＝m，从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律得：2mgR＋mv＝mv，解得v1＝，所以v0＜时，小球不能上升到圆轨道的最高点，会脱离轨道，在最高点的速度不为零；根据mv＝mgh＋mv′2，知最大高度h＜，当v0＝时，上升的最大高度为2R，故C错误，D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m的O点．现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)细绳能承受的最大拉力；
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；
(3)小球落地瞬间速度的大小．
[解析] (1)A到B的过程，根据机械能守恒
mgL＝mv
在B处由牛顿第二定律得F－mg＝m
故最大拉力F＝3mg＝60 N.
(2)细绳断裂后，小球做平抛运动，且
H－L＝gt2
故t＝＝ s＝1 s.
(3)整个过程，小球的机械能不变，故：
mgH＝mv
所以vC＝＝ m/s＝11 m/s.
[答案] (1)60 N (2)1 s (3)11 m/s
6．(14分)如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g.
(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车．已知滑块质量m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小x.
[解析] (1)滑块滑到B点时对小车压力最大，从A到B机械能守恒
mgR＝mv ①
滑块在B点处，由牛顿第二定律得
N－mg＝m ②
解得N＝3mg ③
由牛顿第三定律得N′＝3mg. ④
(2)①滑块下滑到达B点时，小车速度最大．由机械能守恒得
mgR＝Mv＋m(2vm)2 ⑤
解得vm＝ . ⑥
②设滑块运动到C点时，小车速度大小为vC，由功能关系得
mgR－μmgL＝Mv＋m(2vC)2 ⑦
设滑块从B到C过程中，小车运动加速度大小为a，由牛顿第二定律得
μmg＝Ma ⑧
由运动学规律得
v－v＝－2ax ⑨
解得x＝. ⑩
[答案] (1)3mg (2)① ②
