4．圆周运动
[学习目标] 1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动． 2.知道线速度、角速度的物理意义、定义式及单位．(重点) 3.掌握线速度、角速度、周期、转速之间的关系．(重点、难点) 4.理解匀速圆周运动的多解问题．(难点)
一、描述圆周运动的物理量
1．圆周运动
物体沿着圆周的运动，它的运动轨迹为圆，圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动．
2．线速度
(1)物理意义：描述圆周运动物体的运动快慢．
(2)定义公式：v＝.
(3)方向：线速度是矢量，其方向和半径垂直，和圆弧相切．
3．角速度
(1)物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢．
(2)定义公式：ω＝.
(3)单位：弧度/秒，符号是rad/s.
4．转速和周期
(1)转速：物体单位时间内转过的圈数．
(2)周期：物体转过一周所用的时间．
二、匀速圆周运动
1．定义：线速度大小处处相等的圆周运动．
2．特点
(1)线速度大小不变，方向不断变化，是一种变速运动．
(2)角速度不变(选填“变”或“不变”)．
(3)转速、周期不变(选填“变”或“不变”)．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做圆周运动的物体，其线速度的方向是不断变化的． (√)
(2)线速度越大，角速度一定越大． (×)
(3)转速越大，周期一定越大． (×)
(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等． (√)
(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同． (×)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动． (×)
2．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( )
A．速度 B．速率 C．周期 D．转速
BCD [速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、周期、转速都是标量，B、C、D正确．]
3．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大 B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小 D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr知，ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A错误；同样，r＝，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B错误；而由T＝可知，ω越大，T越小，D正确．]
描述圆周运动的物理量及其关系
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
【例1】 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
[解析] (1)依据线速度的定义式v＝可得v＝＝m/s＝10 m/s.
(2)依据v＝ωr可得，
ω＝＝rad/s＝0.5 rad/s.
(3)T＝＝ s＝4π s.
[答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
1．高速或超速离心机是基因提取中的关键设备，当超速离心机转速达80 000 r/min时，则关于距离超速离心机转轴12 cm处的质点，下列说法正确的是( )
A．周期为 s B．线速度大小为320π m/s
C．角速度为160 000π rad/s D．角速度为 rad/s
B [离心机转速n＝80 000 r/min＝ r/s，半径r＝0.12 m．故周期T＝＝ s＝7.5×10－4s，A错．角速度ω＝2π·n＝ rad/s，C、D错．线速度v＝ω·r＝×0.12 m/s＝320 π m/s，B对．]
几种常见的传动装置对比
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：
＝.
周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：
＝＝.
周期与半径成正比：＝
【例2】 如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
[解析] A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1 ③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
上例中，若C轮的转速为n r/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？
提示：由ω＝2πn，则vb＝ωrB
va＝vb＝2πn·rB
ωa＝＝＝πn.
传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量．
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同．
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关．
2．汽车后备箱盖一般都有可伸缩的液压杆，如图甲所示，图乙为简易侧视示意图，液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动，在合上后备箱的过程中( )
甲 乙
A．A点相对于O′点做圆周运动
B．B点相对于O′点做圆周运动
C．A与B相对于O点线速度大小相同
D．A与B相对于O点角速度大小相同
D [在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变短的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，A错误；在合上后备箱盖的过程中，O′B的长度是变短的，因此B点相对O′点不是做圆周运动，B错误；从图示位置到合上后备箱盖的过程中，运动的时间是相同的，但从乙图中可以看出AO与水平方向的夹角等于BO与水平方向的夹角，由角速度的定义ω＝可知，A与B相对于O点转动，角速度相同，半径不同，故线速度不同，C错误，D正确．]
匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的周期性和多解性：
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
【例3】 如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动．求满足使A、B速度相同的力F的取值．
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右．由题意可知：当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝(nT＋T)＝(n＋)
解得：F＝(n＝0,1,2…)．
[答案] F＝(n＝0,1,2…)
匀速圆周运动多解问题
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解．分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定．
3．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω.
[解析] 小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝.又因为水平位移为R，
所以球的速度v＝＝R·.
在时间t内盘转过的角度θ＝n·2π，
又因为θ＝ωt，则转盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．
[答案] R· 2nπ(n＝1,2,3…)
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小处处相等的圆周运动．
2．质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大小；半径转过的角度Δθ与所用时间的比值称为角速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动．
3．做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周期，物体单位时间内转过的圈数叫转速．
4．线速度、角速度、周期的关系为：v＝ωr＝，T＝.
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．根据T＝，线速度越大，则周期越小
B．根据T＝，角速度越大，则周期越小
C．角速度越大，速度的方向变化越快
D．线速度越大，速度的方向变化越快
BC [根据T＝，当轨道半径一定时，才有线速度越大，周期越小，选项A错误；角速度越大，周期越小，选项B正确；单位时间内质点与圆心的连线(圆半径)转过的角度越大，速度的方向变化越快，选项C正确、D错误．]
2．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
AD [因为＝＝，且＝3，因此＝×＝，选项A正确，选项B错误；匀速圆周运动的周期T＝，则＝＝，选项C错误，选项D正确．]
3.如图是自行车的传动部分，大齿轮通过链条带动小齿轮(固定在后轮轴上)转动，c、b、a分别是大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的三点，下列说法正确的是( )
A．c、b两点的角速度相等
B．a、b两点的线速度大小相等
C．a点角速度比c点角速度小
D．a点线速度比c点线速度大
D [同线传动线速度相等，同轴传动角速度相等．由图可知b、c两点线速度相等即vb＝vc，由于c的半径大于b的半径，根据v＝ωr可知，ωb＞ωc，故A错误；后轮边缘点a与小齿轮边缘点b为同轴，所以角速度相等即ωa＝ωb，因为a的半径大于b的半径，由v＝ωr可知，va＞vb，故B错误；由以上可知ωa＝ωb＞ωc，va＞vb＝vc，故C错误，D正确．]
课件47张PPT。第五章 曲线运动4．圆周运动圆周 圆 变速 运动快慢 垂直 相切 转动的快慢 rad/s 圈数 一周 处处相等 不断变化 变速 不变 不变 √
×
×
√
×
×描述圆周运动的物理量及其关系几种常见的传动装置对比匀速圆周运动的多解问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分)
1．(多选)质点做匀速圆周运动时( )
A．线速度越大，其转速一定越大
B．角速度大时，其转速一定大
C．线速度一定时，半径越大，则周期越长
D．无论半径大小如何，角速度越大，则质点的周期一定越长
BC [匀速圆周运动的线速度v＝＝＝2πrn，则n＝，故线速度越大，其转速不一定越大，因为还与r有关，A错误；匀速圆周运动的角速度ω＝＝＝2πn，则n＝，所以角速度大时，其转速一定大，B正确；匀速圆周运动的周期T＝，则线速度一定时，半径越大，则周期越长，C正确；匀速圆周运动的周期T＝，与半径无关，且角速度越大，则质点的周期一定越短，D错误．]
2．如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则( )
A．ωP＜ωQ，vP＜vQ B．ωP＝ωQ，vP＜vQ
C．ωP＜ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP＞vQ
B [由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ；同时由图可知Q点到螺母的距离比较大，由v＝ωr可知，Q点的线速度大，即vP＜vQ.B正确．]
3．如图所示为锥形齿轮的传动示意图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则( )
A．ω1＜ω2，v1＝v2
B．ω1＞ω2，v1＝v2
C．ω1＝ω2，v1＞v2
D．ω1＝ω2，v1＜v2
A [由于大齿轮带动小齿轮转动，两者啮合，所以线速度v1＝v2，由于v＝ωr，所以ω1r1＝ω2r2，又r1＞r2，所以ω1＜ω2，A正确．]
4．(多选)假设“神舟十一号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用( )
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
AC [由题意可知“神舟十一号”匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，选项A正确；由周期公式有T＝，选项C正确．]
5．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中a、b两点( )
A．角速度大小相同
B．线速度大小相同
C．周期大小不同
D．转速大小不同
A [同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同．选项B错误．]
6．(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换四种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
BC [A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换4种挡位，故A错误，B正确．当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A轮转一圈，D转4圈，即＝，故C正确，D错误．]
7．(多选)如图所示，在“勇敢向前冲”游戏中：挑战者要通过匀速转动的水平转盘从平台1转移到平台2上．假设挑战成功者跳到转盘上时都能立即与转盘保持相对静止，则不同挑战成功者在转盘上一定具有相同的( )
A．转动半径 B．角速度
C．线速度 D．转速
BD [无论挑战者落在转盘的哪一位置，都有相同的角速度和转速，而挑战者的落点离中心的距离不同，即半径不同，由v＝ωr知线速度不同，选项B、D正确．]
8．(多选)一辆卡车在水平路面上行驶，已知该车轮胎半径为R，轮胎转动的角速度为ω，关于各点的线速度大小，下列说法正确的是( )
A．相对于地面，轮胎与地面的接触点的速度为ωR
B．相对于地面，车轴的速度大小为ωR
C．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为ωR
D．相对于地面，轮胎上缘的速度大小为2ωR
BD [因为轮胎不打滑，相对于地面，轮胎与地面接触处保持相对静止，该点相当于转动轴，它的速度为零，车轴的速度为ωR.而轮胎上缘的速度大小为2ωR.故选项B、D正确．]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，且绕杆上的O点做匀速圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1，小球2的速度为v2时，则转轴O到小球2的距离为( )
A.L B.L
C.L D.L
B [两小球的角速度相同，设为ω，则有v1＝ωr1，v2＝ωr2，r1＋r2＝L.以上各式联立解得r2＝L，B正确．]
2．(多选)如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A错误，B正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C正确，D错误．]
3.如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动．要使小球从B口处飞出，小球进入上面小口的最小速率v0为( )
A．πR B．πR
C．πR D．2πR
B [小球在竖直方向上只受重力作用，做自由落体运动，故小球从A到B的时间为t＝，设小球从A运动到B的过程中，沿水平方向转了n圈，则有v0t＝n·2πR，当n＝1时，小球进入上面小口的速率v0最小，解得v0＝πR，B正确．]
4．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示．则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π×rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5 m，转动周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度．
[解析] P点和Q点的角速度相同，其大小是ω＝＝ rad/s＝1.57 rad/s
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的半径不同．P点和Q点的圆周运动半径分别为
rP＝R·sin 30°＝R，
rQ＝R·sin 60°＝R
故其线速度分别为
vP＝ω·rP≈0.39 m/s，
vQ＝ω·rQ≈0.68 m/s
[答案] 1.57 rad/s 1.57 rad/s 0.39 m/s 0.68 m/s
6．(14分)一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r为多少？
[解析] 间距关系如图所示(俯视图)．
雨滴飞出的速度大小为v＝ωR
雨滴做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2
在水平方向上有s＝vt
由几何关系知，雨滴半径r＝
解以上几式得r＝R.
[答案] r＝R
