习题课3 竖直面内的圆周运动问题
[学习目标] 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型． 2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析． 3.学会分析圆周运动问题的一般方法．
竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
轻绳模型(如图所示)的最高点问题
1．绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．
2．在最高点的动力学方程FT＋mg＝m.
3．在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，则v＝.
v＝时，拉力或压力为零．
v＞时，小球受向下的拉力或压力．
v＜时，小球不能达到最高点．
即轻绳模型的临界速度为v临＝.
【例1】 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小．
思路点拨：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用．
[解析] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．
此时有：mg＝m，
则所求的最小速率为：
v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：
FN＋mg＝m，
代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
[答案] (1)2.24 m/s (2)4 N
1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A． B．2 C． D．
C [小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．]
竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
1．最高点的最小速度
如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
(1)v＞，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大．
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.
(3)0＜v＜，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小．
【例2】 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
[解析] 小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s
由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力．
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N.
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．
[答案] (1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上
(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下
?1?注意r/s与rad/s的不同.
?2?先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力.
?3?当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法.
2．(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是( )
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大
CD [由于轨道可以对球提供支持力，小球过最高点的速度最小值为0，A错误；当0≤v＜时，小球受到的弹力为支持力，由牛顿第二定律得：mg－FN＝m，故FN＝mg－m，v越大，FN越小；当v＞时，小球受到的弹力为外轨对它向下的压力，即FN＋mg＝m，v越大，FN越大，故B错误，C、D正确．]
1．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0 B． C． D．
C [由题意知F＋mg＝m即2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．]
2．(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力可能为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度为
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
AC [绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D错误；在最高点有mg＋FT＝m，拉力FT可以等于零，此时速度最小为vmin＝，故B错误，A、C正确．]
3．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
ACD [设管道的半径为R，小球的质量为m，小球通过最低点时速度大小为v1，根据牛顿第二定律：N－mg＝m可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故A正确，B错误；最高点时速度大小为v2，根据牛顿第二定律：mg－N＝m，当v2＝时，N＝0，说明管道对小球无压力；当v2＞时，N＜0，说明管道对小球的作用力向下，则小球对管道的压力向上，故C、D正确．所以A、C、D正确，B错误．]
4．如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2.
(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大．
[解析] (1)小球在最低点受力如图甲所示：
甲 乙
合力等于向心力：FA－mg＝m
解得：FA＝56 N.
(2)小球在最高点如图乙所示：则：mg－FB＝mω2L
解得：ω＝4 rad/s.
[答案] (1)56 N (2)4 rad/s
课件31张PPT。第五章 曲线运动习题课3 竖直面内的圆周运动问题 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(三)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零
B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零
C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力不可能为零
D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力
B [若连接体是轻质细绳，小球在最高点的最小速度为，此时细绳拉力为零，选项A、C错误；若连接体是轻质细杆，小球刚好到达P点的速度为零，选项B正确；如果小球在最高点P的速度为，细杆拉力为零，如果v＞，细杆的作用力为拉力，如果v＜，细杆的作用力为推力，小球在最低点Q时受到细杆的拉力作用，选项D错误．]
2．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
B [杆在最高点对小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零．当最高点杆对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由mg＝可知，临界速度v0＝.随着最低点的瞬时速度从v0不断增大，小球对杆的作用力先是方向向下减小到零，然后方向向上逐渐增大，故B正确．]
3．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
C [铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，选项A错误；模型最下部受到铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mRω2，可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为，选项C正确，D错误．]
4．质量为m的小球，用一条绳子系住在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速度变为，则两位置处绳子所受的张力之差是( )
A．6mg B．5mg
C．4mg D．2mg
A [小球在最高点时，由牛顿第二定律可得F1＋mg＝m，
解得F1＝m－mg；
在最低点时，
由牛顿第二定律得
F2－mg＝m，
解得F2＝mg＋m；
因此，F2－F1＝6mg.]
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力等于
C．小球对圆管内壁的压力等于
D．小球对圆管内壁的压力等于mg
C [设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m①；小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力FN，有mg＋FN＝m②；由①②得FN＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．]
6．如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A．拉力，大小为mg
B．压力，大小为mg
C．0
D．压力，大小为mg
B [当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得v′＝.因为＜，杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故选B.]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝ 的速度过轨道最高点B，并以v2＝ v1的速度过最低点A.求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
[解析] 在B点，FB＋mg＝m 解之得FB＝mg；在A点，FA－mg＝m 解之得FA＝7mg.所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg.
[答案] 6mg
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)在图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
BD [小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma，又FN＝mg，所以a＝2g，B、D正确．]
2．(多选)“南昌之星”摩天轮位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动．下列说法中正确的是( )
A．每时每刻每个人受到的合力都不等于零
B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
D．乘客在乘坐过程中有失重和超重的感觉
AD [匀速圆周运动不是匀速运动，而是非匀变速运动，物体所受的合力提供向心力，每时每刻指向圆心，其大小恒定，故选项A正确，B错误．人在乘坐过程中，人对座位的压力在最低点时最大，Fmax＝mg＋m，处于超重状态；在最高点时最小，Fmin＝mg－m，处于失重状态，选项C错误，D正确．]
3．(多选)中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”太空舱内做了如下两个实验：实验1，将一个细线悬挂的小球由静止释放，小球呈悬浮状．实验2，拉紧细线给小球一个垂直于线的速度，小球以悬点为圆心做匀速圆周运动；设线长为L，小球的质量为m，小球做圆周运动的速度为v.已知地球对小球的引力约是地面重力mg的0.9倍，则在两次实验中，细线对球拉力的大小是( )
实验1 实验2
A．实验1中拉力为0
B．实验1中拉力为0.9mg
C．实验2中拉力为0.9mg＋m
D．实验2中拉力为m
AD [实验1中，小球处于完全失重状态，拉力为0，A正确，B错误；实验2中小球受到的拉力提供向心力，大小为m，C错误，D正确．]
4．(多选)某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器，滚筒内表面粗糙，内直径为D.工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动．为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则( )
A．滚筒的角速度应满足ω＜
B．滚筒的角速度应满足ω＞
C．栗子脱离滚筒的位置与其质量无关
D．若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落
AC [栗子在最高点恰好不脱离时有：mg＝mω2，解得ω＝，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则ω＜，故A正确，B错误；栗子脱离滚筒的位置与其质量无关，故C正确；若栗子到达最高点时脱离滚筒，由于栗子的速度不为零，栗子的运动不是自由落体运动，故D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)如图所示，长为L的轻杆，两端各连接一个质量都是m的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期T＝2π，求它们通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力，并说明是拉力还是支持力．
[解析] 对小球受力分析，得
在最低点处F1－mg＝m·，
所以F1＝mg，方向向上，为拉力．
在最高点处，设球受杆拉力为F2，F2＋mg＝m·.
所以F2＝－mg，故知F2方向向上，为支持力．
[答案] 最低点：mg，拉力 最高点：mg，支持力
6．(13分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.求A、B两球落地点间的距离．
[解析] 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg＋mg＝m 解得vA＝
对B球：mg－0.75mg＝m 解得vB＝
sA＝vAt＝vA＝4R sB＝vBt＝vB＝R
所以sA－sB＝3R.
[答案] 3R
