(教师用书独具)
[体系构建]
[核心速填]
1．曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件：它所受的合力的方向与其速度方向不在同一条直线上．
(2)速度方向：物体运动轨迹上某点的切线方向．
(3)运动性质：曲线运动的速度方向时刻在变，故曲线运动一定是变速运动．
2．平抛运动
(1)特点．
①初速度不为零，且沿水平方向．
②只受重力作用，加速度为自由落体加速度．
(2)运动规律．
①速度：vx＝v0，vy＝gt，
合速度大小v＝，方向tan α＝.
②位移：x＝v0t，y＝gt2，合位移大小s＝，方向tan β＝.
3．圆周运动
(1)几个物理量的关系．
①v＝＝，ω＝＝，v＝ω·r.
②T＝＝＝.
(2)向心加速度：a＝＝ω2r.
(3)向心力：F＝m＝mω2r＝mr＝ma.
4．竖直面内圆周运动的轻绳模型
(1)在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.
(2)当v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
5．竖直面内圆周运动的轻杆模型
(1)该类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.此时小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
小船渡河的两类问题
方式
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位
移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
【例1】 2015年6月1日21时30分，隶属于重庆东方轮船公司的东方之星轮船，在从南京驶往重庆途中突遇龙卷风，在长江中游湖北监利水域沉没，如图所示．搜救人员驾驶快艇救人，假设江岸是平直的，江水流速为v1，快艇在静水中的航速为v2，搜救人员开快艇从沉船上接到伤员后想在最短时间内将人送上岸，已知沉船到岸边的最近处O的距离为d，则快艇登陆的地点离O点的距离为( )
A. B．0 C． D．
C [当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，所用时间t＝.由于合运动和分运动具有等时性，因此被水冲下的分运动时间也为t，登陆地点离O的距离为l＝v1t＝v1·＝.]
1．(多选)在一次抗洪抢险战斗中，一位武警战士驾船把群众送到河对岸的安全地方．设河水流速为3 m/s，河宽为600 m，船相对静水的速度为4 m/s.则下列说法正确的是( )
A．渡河的最短时间为120 s
B．渡河的最短时间为150 s
C．渡河的最短航程为600 m
D．渡河的最短航程为750 m
BC [当船速垂直于河岸时，渡河时间最短，t＝＝150 s．当船沿垂直河岸方向行驶时即合速度垂直河岸时，航程最短为600 m，故B、C正确．]
平抛运动
1．利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
2．利用平抛运动的偏转角解题
设做平抛运动的物体下落高度为h，水平位移为x时，速度vA与初速度v0的夹角为θ，由图可得：tan θ＝＝＝＝ ①
将vA反向延长与水平位移相交于O点，设A′O＝d，则有：tan θ＝
解得d＝x，tan θ＝2＝2tan α ②
①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系．
3．利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．图是某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，过A点作竖直线，并与过B点作的水平线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，再过E点作水平线交AC于F点，小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.由Δy＝gT2知
T＝＝，v0＝＝·xEF.
【例2】 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3 h．不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.C.D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h－h＝gt ①
水平方向上有＝v1t1 ②
由①②两式可得v1＝
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt ③
在水平方向有＝v2t2 ④
由③④两式可得v2＝
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2.故选项D正确．]
[一语通关]
平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质．
(2)根据题意确定临界状态．
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图．
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．
2．如图所示，排球场的长度为18 m，其网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．设击球点的高度为2.5 m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(g取10 m/s2)
[解析] 如图所示，排球恰触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰出界时其轨迹为Ⅱ，根据平抛物体的运动规律x＝v0t和y＝gt2可得，当排球恰触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt ②
由①②可得v1≈9.5 m/s.
当排球恰出界时有：
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2 ③
h2＝2.5 m，h2＝gt ④
由③④可得v2≈17 m/s.
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9.5 m/s[答案] 9.5 m/s 圆周运动中的临界问题
1．当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界状态．出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．确定临界状态的常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．
3．临界问题经常出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．
(1)用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图所示)．
此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝.当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．
(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动．
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动．
【例3】 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？
[解析] 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．
(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝T1sin 30°＝mωLsin 30°
Fy＝T1cos 30°－mg＝0
联立解得ω1≈2.40 rad/s.
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin 45°＝mωLsin 30°
Fy＝T2cos 45°－mg＝0
联立解得ω2≈3.16 rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.
[答案] 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
[一语通关]
常见的三种临界问题
(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)．
3．如图在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．两滑块与圆盘的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．两滑块与轴O共线且滑块1到转轴的距离为r，滑块2到转轴的距离为2r，现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：
(1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度；
(2)求当圆盘角速度为ω＝时，滑块1受到的摩擦力．
[解析] (1)轻绳刚有拉力时，滑块2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律：μmg＝mω·2r
解得ω0＝.
(2)当圆盘角速度为ω＝＞，此时滑块2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则
对滑块2：T＋μmg＝mω2·2r
对滑块1：T＋f1＝mω2·r
解得f1＝0.
[答案] (1) (2)摩擦力为0
课件36张PPT。第五章 曲线运动章末复习课 小船渡河的两类问题 平抛运动圆周运动中的临界问题 Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．一质点以一定的速度通过P点时，开始受到一个与速度方向垂直的恒力F的作用，则此后该质点的运动轨迹可能是图中的( )
A．a B．b
C．c D．d
B [轨迹a表面物体做圆周运动，圆周运动需要向心力，而向心力总是指向圆心，方向不断改变，而题目中的力是恒力，故A错误；质点受到一个与速度方向垂直的恒力F的作用，一定做类似平抛运动的轨迹，故B正确；受到一个与速度方向垂直的恒力F的作用，质点不可能做直线运动，故C错误；该轨迹类似斜上抛运动的轨迹，质点受到一个与速度方向不垂直的恒力F的作用，故D错误．]
2．“神舟十号”飞船绕地球的运行可视为匀速圆周运动，神舟十号航天员在“天宫一号”展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四个实验可以在“天宫一号”舱内完成的有( )
A B C D
A．用台秤称量重物的质量
B．用水杯喝水
C．用沉淀法将水与沙子分离
D．给小球一个很小的初速度，小球就可能在竖直面内做圆周运动
D [重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量物体的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，水不会因重力而倒入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球很小的初速度，小球在拉力作用下在竖直平面内做匀速圆周运动，故D正确．]
3．如图所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的．其原理可简化为图中所示的模型．A、B是转动的齿轮边缘的两点，则下列说法中不正确的是( )
A．A、B两点的线速度大小相等
B．A、B两点的角速度大小相等
C．A点的周期大于B点的周期
D．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
B [同缘传动时，边缘点的线速度相等，即vA＝vB；根据v＝ωr，可知半径大的角速度小，即ωA＜ωB，根据T＝，则有TA＞TB，根据a＝，可知半径大的向心加速度小，则有aA＜aB，故A、C、D正确，B不正确．]
4．如图所示，一艘炮艇沿河由西向东快速顺水行驶，要使炮艇上发射的炮弹击中北岸的目标，射击方向应( )
A．偏向目标的西侧
B．偏向目标的东侧
C．对准目标
D．无论对准哪个方向都无法击中目标
A [炮弹的实际速度方向沿目标方向，该速度是船的速度与射击速度的合速度，根据平行四边形定则，知射击的方向偏向目标的西侧，故A正确，B、C、D错误．]
5．在某高度处平抛一物体，当抛出2 s后它的速度方向与水平方向成45°角，落地时的速度方向与水平方向成60°角，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．物体水平射程40 m
B．物体初速度为15 m/s
C．物体落地速度25 m/s
D．物体飞行时间为2 s
D [由题可知，2 s后竖直方向上的分速度vy1＝gt＝20 m/s，tan 45°＝＝1
则v0＝vx＝vy1＝20 m/s 故物体抛出时的初速度为v0＝20 m/s
则落地时速度v方向与水平成60°角，所以cos 60°＝
则落地速度为：v＝＝m/s＝40 m/s
落地时竖直方向分速度为：vy2＝vsin 60°＝40× m/s＝20 m/s
根据竖直方向自由落体运动：vy2＝gt′，则落地时间为：t′＝＝ s＝2 s
则由于水平方向做匀速运动，则水平位移即水平射程为：x＝v0t′＝20×2 m＝40 m，故选项A、B、C错误，选项D正确．]
6．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝1
C．tan α＝ D．tan α＝
B [腾空过程中离地面的最大高度为L，落地过程中，做平抛运动，根据运动学公式：L＝gt2，解得：t＝，运动员在空中最高点的速度即为运动员起跳时水平方向的分速度，根据分运动与合运动的等时性，则水平方向的分速度为：vx＝＝，根据运动学公式，在最高点竖直方向速度为零，那么运动员落到地面时的竖直分速度为：vy＝gt＝，运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角的正切值为：tan α＝＝＝1，故B正确，A、C、D错误．]
7．如图所示，一物体以速度v向左运动．从A位置开始受到恒定的合力F作用．四位同学画出物体此后的运动轨迹AB和物体在B点的速度方向，四种画法中错误的是( )
A B C D
BCD [物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向和合力方向之间，合力大致指向轨迹凹的一侧，轨迹不可能与力的方向相交，故A正确，B、C、D错误．]
8．如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )
甲 乙
丙 丁
A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为
BC [在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg－N＝m，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋F＝m，即座椅给人施加向下的力，故A错误．在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B正确．在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C正确．在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D错误．故选B、C.]
9．如图所示，OM＝MN＝R，两球质量都是m，a、b为水平轻绳．小球正随水平圆盘以角速度ω匀速转动，摩擦不计，则绳a、b的拉力为( )
A．Fa＝mω2R B．Fa＝3mω2R
C．Fb＝mω2R D．Fb＝2mω2R
BD [设绳a和绳b的拉力大小分别为Fa和Fb，根据牛二定律得：对a球：Fa－Fb＝mω2R，对b球Fb＝mω22R，解得Fa＝3mω2R，Fb＝2mω2R，B、D正确．]
10．如图所示，竖直平面内有一固定的圆形轨道，质量为m的小球在其内侧做圆周运动，在某圆周运动中，小球以速度v通过最高点时，恰好对轨道没有压力，经过轨道最低点时速度大小为2v，已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．圆形轨道半径为gv2
B．小球在轨道最高点的加速度大小为g
C．小球在轨道最低点受到轨道的支持力大小为4mg
D．小球在轨道最低点受到轨道的支持力大小为5mg
BD [小球恰好过最高点由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：mg＝m，解得：r＝，故A错误；在最高点根据牛顿第二定律：mg＝ma，可得小球在轨道最高点时的加速度大小为：a＝g，故B正确；小球在最低点根据牛顿第二定律可得：FN－mg＝m，联立以上可得：FN＝5mg，故C错误，D正确．]
二、非选择题(本题共6小题，共60分，按题目要求作答)
11．(4分)如图所示为用频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球．AA′为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹；BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC′为C球自由下落的运动轨迹，通过分析上述三条轨迹可得出结论：_____________________________
_____________________________________________________.
[解析] 将B球与A球相比较，可以看出在同一时刻，在水平方向上B球和A球在相同位置，说明B球水平方向上与A球的运动是相同的，即在水平方向上B球做匀速直线运动．将B球与C球的运动相比较，B球在竖直方向上的位置与C球是相同的，即在竖直方向上B球与C球的运动是相同的，即在竖直方向上B球做自由落体运动．
[答案] 做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动(或平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成)
12．(6分)图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置图．
甲 乙 丙
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线________．
(2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________m/s.根据画出的轨迹测出小球多个位置的坐标(x，y)，画出y-x2图象如图丙所示，图线是一条过原点的直线，说明小球运动的轨迹形状是________．
[解析] (1)因为平抛运动的初速度为水平方向，所以实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线水平；
(2)根据y＝gt2得，t＝＝ s＝0.2 s，则小球平抛运动的初速度v0＝＝ m/s＝1.6 m/s.
因为平抛运动过程中竖直方向上有y＝gt2和水平方向上有x＝v0t，解得y＝g＝·x2，可知小球的轨迹为一条抛物线．
[答案] (1)水平 (2)1.6 抛物线
13．(12分)如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道上端B点飞出，最后落在水平面上．已知小球落地点C距B点的距离为3R，求小球对轨道上端B点的压力为多大．
[解析] 设小球经过B点时速度为v0，从B到C所用的时间为t，则小球平抛的水平位移为
x＝＝R
2R＝gt2，t＝
v0＝＝＝
对小球过B点时由牛顿第二定律得F＋mg＝m
解得F＝mg
由牛顿第三定律得F′＝F＝mg.
[答案] mg
14．(12分)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过时间1 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R＝5 m，小球可看作质点且其质量为m＝5 kg，重力加速度为g.求：
(1)小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离；
(2)小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小和方向．
[解析] 根据平抛运动的规律：
(1)小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝10 m/s 水平分速度vx＝vytan 45°＝10 m/s
则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝10 m.
(2)在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝m，vB＝vx＝10 m/s，解得FNB＝50 N，管道对小球的作用力方向向下．
[答案] (1)10 m (2) 50 N，方向竖直向下
15．(12分)汽车行驶在半径为50 m的圆形水平跑道上，速度为10 m/s.已知汽车的质量为1 000 kg，汽车与地面的最大静摩擦力为车重的0.8倍．求：(g取10 m/s2)
(1)汽车的角速度是多少？
(2)汽车受到的向心力是多大？
(3)汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？
(4)要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？
[解析] (1)由v＝rω可得，角速度为ω＝ ＝ rad/s＝0.2 rad/s.
(2)向心力的大小为：F向＝m＝1 000× N＝2 000 N.
(3)汽车绕一周的时间即是指周期，由v＝＝得：T＝≈s＝31.4 s.
(4)汽车做圆周运动的向心力由车与地面之间的静摩擦力提供．随车速的增加，需要的向心力增大，静摩擦力随着一直增大到最大值为止．由牛顿第二定律得：
F向＝fm ①，又F向＝m ②fm＝0.8G ③
联立①②③式解得，汽车过弯道的允许的最大速度为：v＝ m/s＝20 m/s
[答案] (1)0.2 rad/s (2)2 000 N (3)31.4 s
(4)20 m/s
16．(14分)某同学讲小球从P点水平抛向固定在水平地面上的圆柱形桶，小球沿着桶的直径方向恰好从桶的左侧上边沿进入桶内并打在桶的底角，如图所示，已知P点到桶左边沿的水平距离s＝0.80 m，桶的高度h0＝0.45 m，直径d＝0.20 m，桶底和桶壁的厚度不计，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)P点离地面的高度h1和小球抛出时的速度大小v0；
(2)小球经过桶的左侧上边沿时的速度大小及速度方向与水平方向的夹角正切值(结果可以带根号)．
[解析] (1)设小球从P点运动到圆桶左上沿的时间为t1、运动到桶的底角的总时间为t2，
由平抛运动的规律有：从P点运动到圆桶上沿过程中在竖直方向有：h1－h0＝gt
在水平方向有：s＝v0t1 从P点运动到桶的底角过程中在竖直方向有：h1＝gt
在水平方向有：s＋d＝v0t2 联立以上并代入数据可得：h1＝1.25 m v0＝2.0 m/s.
(2)设小球运动到桶的左侧上沿时速度大小为v1，与水平方向的夹角为θ
由平抛运动的规律有：竖直方向的速度：v⊥＝gt1 此时小球的速度：v1＝，
代入数据解得：v1＝2 m/s 速度的方向为：tan θ＝
代入数据解得：tan θ＝2.
[答案] (1)1.25 m 2.0 m/s (2)2 m/s 2
