2．太阳与行星间的引力
3．万有引力定律
[学习目标] 1.知道太阳与行星间的引力公式推导方法． 2.理解万有引力定律的含义．(重点) 3.掌握万有引力表达式的适用条件及应用．(重点、难点) 4.知道万有引力常量是重要的物理常量之一．
一、太阳与行星间的引力
1．猜想
行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关．
2．模型简化
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
3．太阳对行星的引力
F＝＝m·＝.
结合开普勒第三定律得：F∝.
4．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝.
5．太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．引力常量G：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式F＝G中G是比例系数，与太阳和行星都没关系． (√)
(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律． (√)
(3)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力． (×)
(4)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的． (√)
(5)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力． (×)
2．行星之所以绕太阳运行，是因为( )
A．行星运动时的惯性作用
B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转
C．太阳对行星有约束运动的引力作用
D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
C [行星之所以绕太阳运行，是因为受到太阳的吸引力．]
3．两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为10－8 N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为( )
A．4×10－8 N B．10－8 N
C．2×10－8 N D．8×10－8 N
B [原来的万有引力为：F＝，后来变为：F′＝＝，即：F′＝F＝10－8 N．故选B.]
太阳与行星间的引力理解
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
3．太阳与行星间的引力的特点：太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．
【例1】 (多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，选项B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，选项A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，选项C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，选项D正确．]
1．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )
A．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大
C．行星运动的轨道是一个椭圆
D．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
AD [牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力．]
万有引力定律的理解
1．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离．
2．万有引力的四个特性
特性
内容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【例2】 如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为多少？
思路点拨：①由于大球体被挖去一小球体后，不能看成质点，不能直接应用万有引力定律．
②设想将挖出的小球体放回大球体中，使之成为完整的均匀球体，则可应用万有引力定律算出完整球体与质点P之间的万有引力．
③再求出挖出的球体对质点P的万有引力，将两个引力求差即可．
[解析] 设原球体质量为M，质点P的质量为m，球心与质点P之间的距离为r0，则它们之间的万有引力F＝G；
被挖去的球的质量：m1＝·M＝·M＝
被挖去的球原来与质点P的万有引力
F1＝G＝G＝
所以，原球体剩余部分对质点P的万有引力变为
F2＝F－F1＝F.
[答案] F
2．(多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
AC [引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝G适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误．]
万有引力与重力的关系
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G.
2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果．
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大．
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2.
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G.
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心．
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝.
(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝.
【例3】 设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A. B.
C. D.
A [在赤道上：G－FN＝mR，可得FN＝G－mR
在南极：G＝F′N，联立可得：＝，故选项A正确，选项B、C、D错误．]
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G.
?2?若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝G；赤道处：mg＋F向＝G.
3．地球表面重力加速度为g地、地球的半径为为R地，地球的质量为M地，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火、火星的半径为R火，由此可得火星的质量为( )
A.M地 B.M地 C.M地 D.M地
A [星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G＝mg得：M＝，所以：＝，所以：M火＝M地，故A正确．]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动．
2．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F＝G.
3．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，是英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出的.
1．由万有引力定律可知，两个物体的质量分别为m1和m2，其间距为r时，它们之间万有引力的大小为F＝G，式中G为引力常量．在国际单位制中，G的单位是( )
A．N·m2/kg2 B．kg2/(N·m2)
C．N·m2/kg D．N·kg2/m2
A [根据万有引力定律知F＝G，则G＝，可知G的单位为：N·m2/kg2＝N·m2·kg－2，故A正确．]
2．关于万有引力F＝G和重力，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是一个比例常数，没有单位
B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的
C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力
D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半
B [G的单位是N·m2/kg2，A错误；设地球质量为M，半径为R，则地球表面的重力加速度为，到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为，所以B正确；m1、m2受到的万有引力是一对作用力与反作用力，C错误；根据万有引力公式，若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力应变为原来的4倍，D错误．]
3．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝ ，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )
A．由F∝和F′∝，F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
BD [F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.]
课件50张PPT。第六章 万有引力与航天2．太阳与行星间的引力
3．万有引力定律234距离r 5匀速圆周 匀速圆周 67它们的连线 正比 二次方 8√√9×√×10111213太阳与行星间的引力理解141516171819202122万有引力定律的理解23242526272829303132 万有引力与重力的关系3334353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1.(多选)如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是( )
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
AD [太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确．]
2.陨石落向地球(如图所示)是因为( )
A．陨石对地球的引力远小于地球对陨石的引力，所以陨石才落向地球
B．陨石对地球的引力和地球对陨石的引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以陨石改变运动方向落向地球
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球
D．陨石是受到其他星球斥力作用落向地球的
B [两个物体间的引力是一对作用力与反作用力，它们的大小相等，且在任何情况下都存在，故选项A、C、D不正确．陨石落向地球是由于陨石的质量和地球相比小得多，故运动状态容易改变且加速度大，选项B正确．]
3．将物体由赤道向两极移动( )
A．它的重力减小
B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小
D．向心力的方向、重力的方向都指向地球球心
C [重力加速度随纬度的增加而增大，所以把物体从磁道向两极移动，物体的重力增大，A错误；由赤道向两极移动过程中，自转半径减小，而角速度不变，根据F＝mω2r可知向心力减小，B错误，C正确；向心力的方向指向地球球心，而重力的方向竖直向下，D错误．]
4．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
D [两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D.]
5．一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )
A. B. C. D.
C [在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G地＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，F′万＝G＝，故选项C正确．]
6．已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.R D．(－1)R
D [根据万有引力定律，F＝G，F′＝G＝F，代入可求解得h＝(－1)R.]
二、非选择题(14分)
7．地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？(已知地球半径为R)
[解析] 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力．设地球质量为M，物体质量为m，则在地面：mg＝G，在h 高处：mg′＝G，解得：＝.
[答案] 倍
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
AC [P、Q两点所受的地球引力都是F＝G，A正确；P、Q两点都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的，根据F＝mω2r可知P的向心力大，所以C正确，B错误；物体的重力为万有引力的一个分力，赤道处重力最小，两极处重力最大，D错误．]
2．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km，若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )
A．400g B．g C．20g D．g
B [由g＝，得＝＝＝＝，所以g′＝g. ]
3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )
A．2F B．4F
C．8F D．16F
D [两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝.故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝G＝16F.]
4．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC [由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，D项错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，如图所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上)，试计算它们之间的万有引力大小．
[解析] 用“割补法”处理该问题．原来是个实心球时可知F＝G
假如挖空部分为实心球，则该球与左边球之间的万有引力为F1＝G， m1∶m＝∶r3＝1∶8
联立得F1＝F
剩余部分之间的万有引力大小为F′＝F－F1＝F.
[答案] F
6．(13分)某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示重力加速度，g取10 m/s2)
[解析] 卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G
在地球表面G＝mg ①
在上升至离地面h时，
FN－G＝ma ②
由①②式得＝
则h＝R地 ③
将m＝16 kg，FN＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km.
[答案] 1.92×104 km
