4．万有引力理论的成就
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2.掌握计算天体的质量和密度的方法．(重点) 3.掌握解决天体运动问题的基本思路．(重点、难点)
一、计算天体的质量
1．地球质量的计算
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G.
(2)结论：M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝.
(2)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量．
3．其他行星质量的计算
(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G＝(M为行星质量，m为卫星质量)．
(2)结论：M＝，只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量．
二、发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力． (×)
(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力． (√)
(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量． (×)
(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性． (√)
(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析． (√)
(6)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”． (×)
2．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
D [由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．]
3．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
A [由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝πR3，联立解得月球的密度ρ＝，故选A.]
计算天体的质量和密度
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”．
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2
M＝
G＝mr
M＝
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝.
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
【例1】 (多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，万有引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
AB [根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误．]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量．
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
1．已知地球和月球半径的比值为4，地球和月球表面重力加速度的比值为6，则地球和月球密度的比值为( )
A． B． C．4 D．6
B [设月球的半径为R0，地球的半径为R，月球表面的重力加速度为g0，地球表面的重力加速度为g，在地球表面，重力等于万有引力，故mg＝G，解得M＝，故密度ρ＝＝＝.同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝，B正确．]
天体运动的分析和计算
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
2．四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
【例2】 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝.
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝mr，
所以，天体绕太阳运动的周期
T＝2π，
则两天体绕太阳的公转周期之比
＝.
[答案] (1) (2)
上例中，若r1＞r2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v1、v2的关系怎样？
提示：ω1＜ω2，v1＜v2.
2．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有( )
A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的质量 D．太阳的质量
C [根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝、土星的加速度a＝R、太阳的质量M＝，无法求土星的质量，所以选C.]
宇宙双星问题
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．
(3)轨道半径与质量的关系
由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝.
【例3】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误．]
3．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是( )
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为
C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1
D．必有一颗恒星的质量为
BCD [对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正确；由上式可得m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝，B正确．]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，可得地球质量M＝，该公式同样适用于其他天体．
2．根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就可得太阳的质量为M＝.
1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( )
A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的
B．在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差
C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的
D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的
B [由行星的发现历史可知，天王星并不是根据引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．冥王星是克莱德·汤博发现的．由此可知，A、C、D错误，B正确．]
2．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
B [卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力．设土星质量为M，则有＝mR，解得M＝，带入计算可得：M＝kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误．]
3．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
C [毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确．]
4．(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知( )
A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1
B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1
C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7
D．甲、乙的周期之比为1∶7
BC [作为双星系统，甲乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，甲乙质量比为7∶1，所以甲乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲乙向心力大小相等，故B正确；甲乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误．]
课件54张PPT。第六章 万有引力与航天4．万有引力理论的成就亚当斯 勒维耶 伽勒 冥王星 ×
√
×√√×计算天体的质量和密度天体运动的分析和计算 宇宙双星问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分)
1．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
A [因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．
由G＝m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．]
2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1 C．5 D．10
B [行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确．]
3．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星，开发利用火星奠定了坚定的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(K为常数)( )
A．ρ＝KT B．ρ ＝K/T
C．ρ＝KT2 D．ρ＝K/T2
D [火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m2R及密度公式：ρ＝＝，得：ρ＝＝，故D正确．]
4．(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)( )
A．已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B．已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r
C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D．已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
CD [已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以选项A错误．已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G＝mrω2可以求出地球的质量，选项C正确．由G＝mr可求得地球质量为M＝，所以选项D正确．]
5．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
D [天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：＝，得M＝，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022 kg，选项D正确．]
6．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
AD [据题可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得：＝＝，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确．]
7．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
B [由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝，根据G＝mg和G＝m得M＝，故选B.]
8．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
C [月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比，正确答案为C.]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr 得r＝，C选项正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知＝mr得M＝＝＝，A选项正确；由a＝＝，D选项正确．行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B选项错误．]
2．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
B [在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．
即G地＝G
同样在行星表面有G行＝G
以上二式相比可得
＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2
故选B.]
3．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是( )
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
D [根据题意，已知两卫星运行周期相等，由G＝mR和M＝ρV＝ρπR3，即ρ＝，即两天体的密度相等，选项D正确；卫星环绕速度v＝，由于两天体半径关系不知道，则线速度大小关系无法确定，故选项A错误；天体质量M＝，可知两天体质量大小关系也无法确定，故选项B错误；由g＝R可知，两天体表面重力加速度大小关系无法确定，故选项C错误．]
4．在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为g1、g2，地球自转周期为T，万有引力常量为G，若把地球看成一个质量均匀分布的圆球体，则地球的密度为( )
A. B. C. D.
B [地球两极mg1＝G①，在地球赤道上G－mg2＝mR②，联立①②得R＝，由①得M＝，地球密度ρ＝＝＝，B正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
5．(14分)已知太阳光从太阳射到地球需时间t，光速为c，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算：
(1)太阳的质量；
(2)地球的质量．
[解析] (1)设太阳的质量为M，地球的质量为m，因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有
G＝mω2r＝mr
解得M＝＝.
(2)地球半径为R，则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力，故有：F′引＝m′g，即：＝m′g，m＝.
[答案] (1) (2)
6．(14分)进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．
[解析] (1)根据万有引力定律和向心力公式
G＝M月R月()2 ①
mg＝G ②
联立①②得
R月＝.
(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：
v0＝ ③
mg月＝G ④
联立③④得 M月＝.
[答案] (1) (2)
