(教师用书独具)
[体系构建]
[核心速填]
1．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第二定律表明，对于同一颗在椭圆轨道上运动的行星，离太阳越近，速度越大．
(2)开普勒第三定律的表达式为＝k，表明太阳系八大行星中，离太阳越近的行星，周期越小．
2．万有引力定律
(1)表达式：F＝G.
(2)适用条件
①质点；
②真空中．
3．万有引力理论的成就
(1)计算天体表面的重力加速度：不考虑地球自转，mg＝G，故地球表面的重力加速度g＝，该结论可以推广到其他星球．
(2)计算天体的质量：由G＝m2r得M＝，即已知天体做圆周运动的周期和半径，就可以求出中心天体的质量M.
(3)发现未知天体：如海王星的发现．
4．宇宙航行
(1)第一宇宙速度：数值为7.9km/s，是发射人造卫星的最小速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大速度．
(2)地球卫星的v、ω、T、a与r的关系．
①由G＝m得v＝，r越大，v越小．
②由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小．
③由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大．
④由G＝ma得a＝，r越大，a越小．
天体运动中易混概念的比较
1．两个半径——天体半径和卫星轨道半径
(1)天体半径：在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小．
(2)卫星的轨道半径：是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径．
(3)关系：一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径．当卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径．
2．三种速度——运行速度、发射速度和宇宙速度
三种速度的比较，见下表：
比较项
概念
大小
影响因素
运行
速度
卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度
v＝
轨道半径r越大，v越小
发射
速度
在地面上发射卫星的速度
大于或等于
7.9 km/s
卫星的发射高度越高，发射速度越大
宇宙
速度
实现某种效果所需的最小卫星发射速度
7.9 km/s
11.2 km/s
16.7 km/s
不同卫星发射要求决定
3.两种周期——自转周期和公转周期
(1)自转周期：是天体绕自身某轴线转动一周所用的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期：是天体绕中心天体做圆周运动一周的时间，由＝mr得T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离，与运行天体自身质量无关．
(3)联系：一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天．它们之间没有直接联系，在应用中要注意区别．
4．两种轨道——圆形轨道和椭圆轨道
(1)圆形轨道：卫星沿圆形轨道运行时，万有引力全部用来产生向心加速度．卫星的加速度、向心加速度相同，可由G＝ma得到．
(2)椭圆轨道：卫星沿椭圆轨道运行时，万有引力一方面改变卫星运行速度的方向，另一方面改变卫星运行的速度大小．由G＝ma得到的是卫星运行的合加速度，而非卫星的向心加速度．
5．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力．由＝m，得v＝.由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小．
(2)变轨运行
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
【例1】 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
C [设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，故选C正确．]
1．(多选)新华社电2017年5月14日16时许，中国卫星海上测控部所属远望21号火箭运输船将长征七号运载火箭安全运抵海南文昌清澜港．长征七号的成功研究更加有利于开展空间科学技术试验研究，包括研究日地空间、行星际空间、恒星空间环境的物理、化学特性及其演化过程；研究天体的结构特性及其形成和演化过程．现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是( )
A．行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等
B．行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等
C．行星A、B表面的重力加速度与行星半径的比值相等
D．行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等
AC [根据G＝mR，M＝πR3ρ，解得T＝，则行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等，选项A正确；根据v＝＝因两颗行星的半径及同步卫星的高度不同，则同步卫星的线速度不同，选项B错误；根据G＝mg解得＝＝＝πρG，选项C正确；根据第一宇宙速度v＝＝＝R，则两行星的第一宇宙速度不同，选项D错误；故选A、C.]
双星模型
1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星．
2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(2)两星的运动周期、角速度相同．
(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
由此得出：
(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：＝.
(2)线速度之比与双星质量之比相反：＝.
(3)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝.
【例2】 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m1和m2，两者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度．
[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2. 由万有引力提供向心力，有：
G＝m1ω2R1 ①
G＝m2ω2R2 ②
(1)由①②两式相除，得：＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
(3)由几何关系知R1＋R2＝L ③
联立①②③式解得ω＝.
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
A [冥王星与卡戎间的引力提供它们运动的向心力，向心力相等，D项错；双星系统角速度相等，B项错．
设冥王星质量为M，轨道半径为r1，卡戎质量为m，轨道半径为r2，两星间距离为r.
对于冥王星：＝Mω2r1 ①
对于卡戎星：＝mω2r2 ②
由①÷②可得：＝＝，所以，A项对．
线速度v＝ωr，同样可推知C项错．]
课件28张PPT。第六章 万有引力与航天章末复习课 天体运动中易混概念的比较 双星模型Thank you for watching !章末综合测评(二)
(时间：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．2017年12月23日12时14分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将陆地勘查卫星二号发射升空，卫星进入预定轨道(设轨道为圆形)，发射任务获得圆满成功．则( )
A．陆地勘查卫星二号的发射速度大于11.2 km/s
B．陆地勘查卫星二号运行速度一定大于7.9 km/s
C．卫星进入预定轨道后，卫星内的物体处于完全失重状态
D．卫星进入预定轨道后，卫星内的物体不受地球引力作用
C [第一宇宙速度7.9 km/s是绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，也是最小的发射速度，则陆地勘查卫星二号的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s；陆地勘查卫星二号运行速度一定小于7.9 km/s，选项A、B错误；卫星进入预定轨道后，卫星所受的万有引力提供向心力，则卫星内的物体处于完全失重状态，选项C正确；卫星进入预定轨道后，卫星内的物体仍然受地球引力作用，选项D错误；故选C.]
2．如图所示，实线圆表示地球，竖直虚线a表示地轴，虚线圆b、c、d、e表示地球卫星可能的轨道，对于此图，下列说法正确的是( )
A．b、c、d、e都可能是地球卫星的轨道
B．c可能是地球卫星的轨道
C．b可能是地球同步卫星的轨道
D．d可能是地球同步卫星的轨道
D [地球的所有卫星的轨道圆心一定在地心，故b、d、e都可能是地球卫星的轨道，c不可能是地球卫星的轨道，故A、B错误．地球同步卫星和地面相对静止，一定在赤道的正上方，所以b不可能是地球同步卫星的轨道，d可能是地球同步卫星的轨道，故C错误，D正确．]
3．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
A [本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确．]
4．在离地面高度等于地球半径的2倍高处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度大小的( )
A．2倍 B．1倍
C． D．
C [设地球的半径为R，质量为M，物体的质量为m，根据万有引力等于重力，得：
在地面：mg＝G，离地心高度3R处：mg′＝G，联立解得：g′＝g，故选项C正确．]
5．2017年6月15日上午，我国在酒泉卫星发射中心成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”．它的总质量约2.5吨，在距离地面550公里的轨道上运行，其运动轨道可近似看成圆轨道．已知地球半径约为6 400公里，根据上述信息可知该卫星( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．轨道平面可能不通过地心
C．周期小于更低轨道近地卫星的周期
D．向心加速度小于地球表面重力加速度值
D [由G＝m得v＝，所以运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；
由开普勒第一定律可知，轨道平面一定通过地心，故B错误；
由开普勒第三定律可知，周期大于更低轨道近地卫星的周期，故C错误；
由G＝ma得a＝G，所以向心加速度小于地球表面重力加速度值，故D正确；故选D.]
6．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＜rB＜rC.忽略其他星体对它们的作用，关于这三颗星体，下列说法正确的是( )
A．线速度大小关系是vA＜vB＜vC
B．加速度大小关系是aA＞aB＞aC
C．质量大小关系是mA＝mB＝mC
D．角速度大小关系是ωA＜ωB＜ωC
A [A项：三星体运动周期相同，根据公式T＝，可知vA＜vB＜vC，故A正确；
B项：三星体运动周期相同，根据公式a＝r，可知aA＜aB＜aC，故B错误；
C项：由于三星绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，星体所受合外力提供向心力，每颗星受到的合外力相同，根据F＝ma，所以mA＞mB＞mC，故C错误；
D项：三星体运动周期相同，根据公式T＝，可知ωA＝ωB＝ωC，故D错误．]
7．假如地球自转速度增大，下列说法中正确的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
ABC [放在赤道地面上物体的万有引力F＝G与自转速度无关，故不变，A正确；地球绕地轴转动，在两极点，物体转动半径为0，转动所需向心力为0，此时物体的重力与万有引力相等，故转速增加两极点的重力保持不变，故B正确，D错误；赤道上的物体重力和向心力的合力等于物体受到的万有引力，而万有引力不变，转速增加时所需向心力增大，故物体的重力将减小，故C正确．]
8．如图所示，土星和火星都在围绕太阳公转，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．土星远离太阳的过程中，它的速度将减小
B．土星和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动
C．土星比火星的公转周期大
D．土星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
AC [根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，所以土星远离太阳的过程中，它的速度将减小，故A正确；根据开普勒行星运动第一定律可知，土星和火星绕太阳的运动轨迹是椭圆轨道，选项B错误；根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，由于土星的半长轴比较大，所以土星的周期较大，选项C正确；根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，故D错误；故选AC.]
9．人造卫星离地面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动．周期为T，设地面的重力加速度为g，则有( )
A．v＝ B．v＝
C．T＝2π D．T＝4π
AD [根据万有引力提供向心力得：G＝m，在地球表面根据万有引力等于重力：G＝mg，联立解得：v＝，故A正确，B错误．根据万有引力提供向心力得：G＝m，在地球表面根据万有引力等于重力：G＝mg，联立解得：T＝4π，故D正确，C错误．所以A、D正确，B、C错误．]
10．两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是( )
A．两卫星在图示位置的速度v2＝v1
B．两卫星在A处的加速度大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇
D．两卫星永远不可能相遇
BD [v2为椭圆轨道的远地点，速度最小，v1表示做匀速圆周运动的速度，v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生加速度a＝GM/r2，加速度相同，故B正确；椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，则不会相遇，故D正确，C错误．故选B、D.]
二、非选择题(本题共4小题，共60分，按题目要求作答)
11．(14分)据报道：某国发射了一颗质量为100 kg，周期为1 h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案．(地球半径约为6.4×103 km，g地取9.8 m/s2)
[解析] 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2π
r＝R月时，T有最小值，又＝g月
故Tmin＝2π＝2π＝2π
代入数据解得Tmin＝1.73 h
环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是则假新闻．
[答案] 见解析
12．(14分)设嫦娥三号卫星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知卫星绕月球运动的周期T0，地球表面处的重力加速度g，地球半径R0，月心与地心间的距离r，万有引力常量为G，试求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球绕地球运动的周期T.
[解析] (1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力有
＝m′Rm，解得m＝
又根据ρ＝，解得ρ＝.
(2)设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表有＝m表g，即GM＝Rg
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力
即＝mr，解得T＝.
[答案] (1) (2)
13．(16分)发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度．
[解析] (1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，根据牛顿第二定律得：G＝ma
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力G＝mg，
由以上两式得a＝.
(2)设远地点B距地面高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：G＝m(R＋h2)，
解得：h2＝－R.
[答案] (1) (2)－R
14．(16分)如图所示是月亮女神、嫦娥1号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用R1、R2、T1、T2、分别表示月亮女神和嫦娥1号的轨道半径及周期，用R表示月亮的半径．
(1)请用万有引力知识证明：它们遵循＝＝k，其中k是只与月球质量有关而与卫星无关的常量；
(2)经多少时间两卫星第一次相距最远；
(3)请用所给嫦娥1号的已知量，估测月球的平均密度．
[解析] (1)设月球的质量为M，对任一卫星均有G＝mR
得＝＝＝k常量．
(2)两卫星第一次相距最远时有－＝π
t＝.
(3)对嫦娥1号有G＝mR2
M＝πR3ρ
ρ＝.
[答案] (1)见解析 (2) (3)
