习题课3 动力学的图象问题和连接体问题
[学习目标] 1.学会结合图象解决动力学问题.2.学会用整体法和隔离法分析简单的连接体问题.3.认识临界问题，会分析连接体中的有关临界问题．
动力学的图象问题
1.常见的图象形式
在动力学与运动学问题中，常见、常用的图象是位移图象(x -t图象)、速度图象(v-t图象)和力的图象(F-t图象)等，这些图象反映的是物体的运动规律、受力规律，而绝非代表物体的运动轨迹．
2．图象问题的分析方法
遇到带有物理图象的问题时，要认真分析图象，先从它的物理意义、点、线段、斜率、截距、交点、拐点、面积等方面了解图象给出的信息，再利用共点力平衡、牛顿运动定律及运动学公式解题．
【例1】 如图甲所示，质量为m＝2 kg的物体在水平面上向右做直线运动．过a点时给物体作用一个水平向左的恒力F并开始计时，选水平向右为速度的正方向，通过速度传感器测出物体的瞬时速度，所得v-t图象如图乙所示．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
甲 乙
(1)力F的大小和物体与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)10 s末物体离a点的距离．
思路点拨：①恒力F的方向不变，而摩擦力的方向随速度方向的改变而改变．
②v-t图象的斜率表示物体的加速度．
③v-t图象与t轴所围面积表示物体的位移．
[解析] (1)设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v-t图象得a1＝2 m/s2
根据牛顿第二定律，有F＋μmg＝ma1
设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v-t图象得a2＝1 m/s2
根据牛顿第二定律，有F－μmg＝ma2
联立解得F＝3 N，μ＝0.05.
(2)设10 s末物体离a点的距离为d，d应为v-t图象与横轴所围的面积，则
d＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在a点左边．
[答案] (1)3 N 0.05 (2)在a点左边2 m处
解决此类题的思路：?从v-t图象上获得加速度的信息，再结合实际受力情况，利用牛顿第二定律列方程.
1．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系如图甲所示，物块速度v与时间t的关系如图乙所示．取重力加速度g＝10 m/s2.由这两个图象可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为( )
甲 乙
A．0.5 kg,0.4 B．1.5 kg，
C．0.5 kg,0.2 D．1 kg,0.2
A [由F-t图和v-t图可得，物块在2～4 s内所受外力F＝3 N，物块做匀加速运动，a＝＝ m/s2＝2 m/s2，F－Ff＝ma，即3－10μm＝2m ①
物块在4～6 s所受外力F′＝2 N，物块做匀速直线运动，
则F′＝Ff，F′＝μmg，即10μm＝2 ②
由①②解得m＝0.5 kg，μ＝0.4，故A选项正确．]
动力学的连接体问题
1.连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．例如，几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、弹簧、细杆等连在一起．
2．处理连接体问题的方法
(1)整体法：把整个系统作为一个研究对象来分析的方法．不必考虑系统内力的影响，只考虑系统受到的外力．
(2)隔离法：把系统中的各个部分(或某一部分)隔离，作为一个单独的研究对象来分析的方法．此时系统的内力就有可能成为该研究对象的外力，在分析时要特别注意．
(3)整体法与隔离法的选用：求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交叉运用．
3．连接体中的两类临界问题
(1)两物体分离的临界条件：两物体由相接触到将分离的临界条件是弹力FN＝0且二者的加速度、速度均相同．
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值或为零．
4．运用隔离法解题的基本步骤
(1)明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象．选择原则：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少．
(2)将研究对象从系统中隔离出来，或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来．
(3)对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图．
(4)寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解．
【例2】 一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2＝8 kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止，如图所示，现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)
思路点拨：①0.2 s时P、Q两物块恰好分离．
②两物块分离瞬间加速度仍相同，而相互作用力恰好为零．
[解析] 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力恰好为0，从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．
设刚开始时弹簧压缩量为x0.
则(m1＋m2)gsin θ＝kx0 ①
因为在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，所以在0.2 s时，P对Q的作用力恰好为0，由牛顿第二定律知kx1－m1gsin θ＝m1a ②
F－m2gsin θ＝m2a ③
前0.2 s时间内P、Q向上运动的距离为x0－x1＝at2④
①②④式联立解得a＝3 m/s2
当P、Q刚开始运动时拉力最小，此时有
Fmin＝(m1＋m2)a＝36 N
当P与Q分离时拉力最大，此时有Fmax＝m2(a＋gsin θ)＝72 N.
[答案] 72 N 36 N
整体法与隔离法的选取技巧
当物体各部分加速度相同且不涉及求内力的情况，用整体法比较简单；若涉及物体间相互作用力时必须用隔离法．整体法与隔离法在较为复杂的问题中常常需要有机地结合起来运用，这将会更快捷有效．
2．(多选)如图所示，粗糙的水平地面上有三块材料完全相同的木块A、B、C，质量均为m，B、C之间用轻质细绳连接．现用一水平恒力F作用在C上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动．则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是( )
A．无论粘在哪个木块上面，系统的加速度都将减小
B．若粘在A木块上面，绳的拉力减小，A、B间摩擦力不变
C．若粘在B木块上面，绳的拉力增大，A、B间摩擦力增大
D．若粘在C木块上面，绳的拉力和A、B间摩擦力都减小
AD [因无相对滑动，所以，无论橡皮泥粘到哪个木块上，根据牛顿第二定律都有F－3μmg－μΔmg＝(3m＋Δm)a，系统加速度a减小，选项A正确；若粘在A木块上面，以C为研究对象，受到F、摩擦力μmg、绳子拉力FT这三个力的作用，由牛顿第二定律得F－μmg－FT＝ma，a减小，F、μmg不变，所以，绳子拉力FT增大，选项B错误；若粘在B木块上面，a减小，以A为研究对象，m不变，所受摩擦力减小，选项C错误；若粘在C木块上面，a减小，A、B间的摩擦力减小，以A、B整体为研究对象，有FT－2μmg＝2ma，FT减小，选项D正确．]
1．如图所示，质量为2 kg的物块A与水平地面的动摩擦因数为μ＝0.1，质量为1 kg的物块B与地面的摩擦忽略不计，在已知水平力F＝11 N的作用下，A、B一起做加速运动，则下列说法中正确的是( )
A．A、B的加速度均为3.67 m/s2
B．A、B的加速度均为3.3 m/s2
C．A对B的作用力为3.3 N
D．A对B的作用力为3.0 N
D [在已知水平力F＝11 N的作用下，A、B一起做加速运动，由A、B整体F－μmAg＝(mA＋mB)a，解得a＝3 m/s2，故A、B选项均错误；隔离B物体FAB＝mBa＝3 N，故D选项正确，C选项错误．]
2．(多选)如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．则下列说法正确的是( )
A．小铁球所受合力为零
B．小铁球受到的合外力方向水平向左
C．F＝(M＋m)gtan α
D．系统的加速度为a＝gtan α
CD [解答本题的疑难在于求系统的加速度，突破点是先选小铁球为研究对象求出其加速度．隔离小铁球受力分析得F合＝mgtan α＝ma且合外力水平向右，故小铁球加速度为gtan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为gtan α，A、B错误，D正确．整体受力分析得F＝(M＋m)a＝(M＋m)gtan α，故选项C正确．]
3．(多选)在一东西向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢．当机车在东边拉着这列车厢以大小为a的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的挂钩P和Q间的拉力大小为F；当机车在西边拉着车厢以大小为a的加速度向西行驶时，P和Q间的拉力大小仍为F.不计车厢与铁轨间的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( )
A．8 B．10
C．15 D．18
BC [设该列车厢与P相连的部分为P部分，与Q相连的部分为Q部分．设该列车厢有n节，Q部分为n1节，每节车厢质量为m，当加速度为a时，对Q有F＝n1ma；当加速度为a时，对P有F＝(n－n1)ma，联立得2n＝5n1.当n1＝2，n1＝4，n1＝6时，n＝5，n＝10，n＝15，由题中选项得该列车厢节数可能为10或15，选项B、C正确．]
4．在空气阻力大小恒定的条件下，小球从空中下落，与水平地面相碰(碰撞时间极短)后弹到空中某一高度．以向下为正方向，其速度随时间变化的关系如图所示，g取10 m/s2，则以下结论正确的是( )
A．小球弹起的最大高度为1.0 m
B．小球弹起的最大高度为0.45 m
C．小球弹起到最大高度的时刻t2＝0.80 s
D．空气阻力与重力的比值为1∶5
D [小球下落过程中有a1＝＝ m/s2＝g，mg－Ff＝ma1，解得Ff＝mg－ma1＝mg，故＝，故D正确；在小球弹起过程中有mg＋Ff＝ma2，解得a2＝12 m/s2，故小球上升的时间Δt＝ s＝ s＝0.25 s，故t2＝t1＋Δt＝0.75 s，故C错误；根据图象可知小球弹起的最大高度h＝3×0.25× m＝0.375 m，A、B错误．]
课件37张PPT。第四章 牛顿运动定律习题课3 动力学的图象问题和连接体问题动力学的图象问题动力学的连接体问题点击右图进入…Thank you for watching !重难强化训练(三) 动力学的图象问题和连接体问题
(教师用书独具)
(时间：15分钟 分值：50分)
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．一物块静止在粗糙的水平桌面上，从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用．假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小．能正确描述F与a之间关系的图象是( )
A B C D
C [设物块所受滑动摩擦力为f，在水平拉力F作用下，物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，F－f＝ma，F＝ma＋f，所以能正确描述F与a之间关系的图象是C.]
2．如图所示，质量为m2的物体2放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连接质量为m1的物体，跟物体1相连接的绳与竖直方向成θ角不变，下列说法中正确的是( )
A．车厢的加速度大小为gtan θ
B．绳对物体1的拉力为m1gcos θ
C．底板对物体2的支持力为(m2－m1)g
D．物体2所受底板的摩擦力为0
A [以物体1为研究对象进行受力分析，如图甲所示，物体1受到重力m1g和拉力FT作用，根据牛顿第二定律得m1gtan θ＝m1a，解得a＝gtan θ，则车厢的加速度也为gtan θ，将FT分解，在竖直方向根据二力平衡得FT＝，故A正确，B错误；对物体2进行受力分析如图乙所示，可知FN＝m2g－FT＝m2g－，Ff＝m2a＝m2gtan θ，故C、D错误．]
3．质量为2 kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的v-t图象如图所示．则物体与水平面间的动摩擦因数μ和水平推力F的大小分别为(g取10 m/s2)( )
A．0.2 6 N B．0.1 6 N
C．0.2 8 N D．0.1 8 N
A [本题的易错之处是忽略撤去F前后摩擦力不变．由v-t图象可知，物体在6～10 s内做匀减速直线运动，加速度大小a2＝||＝|| m/s2＝2 m/s2.设物体的质量为m，所受的摩擦力为Ff，根据牛顿第二定律有Ff＝ma2，又因为Ff＝μmg，解得μ＝0.2.由v-t图象可知，物体在0～6 s内做匀加速直线运动，加速度大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma1，解得F＝6 N，故只有A正确．]
4．滑块A的质量为2 kg，斜面体B的质量为10 kg，斜面倾角θ＝30°，已知A、B间和B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.27，将滑块A放在斜面B上端的同时，给B施加一水平力F，为使A沿竖直方向落地，拉力F的大小至少为(g取10 m/s2)( )
A．(100＋27) N B．100 N
C．100 N D．200 N
A [解答本题的疑难在于A沿竖直方向运动时B做什么运动，突破点是要使A竖直下落，则A做自由落体运动且一直在斜面的正上方，则由几何关系可知A下落的高度和B前进的距离之间的关系，再由牛顿第二定律可求解．假设A下落的高度为h，则此时斜面体应至少向右滑动的距离为x＝，对A有h＝gt2；对斜面体有x＝at2；F－μmBg＝mBa，联立解得F＝(100＋27) N，故选A.]
5．如图甲所示，在倾斜角为θ的足够长的斜面上，一带有风帆的滑块由静止开始沿斜面下滑，滑块(连同风帆)的质量为m，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，风帆受到沿斜面向上的空气阻力与滑块下滑的速度大小成正比，即f＝kv.滑块从静止开始沿斜面下滑的v-t图象如图乙所示，图中的倾斜直线是t＝0时刻速度图线的切线．若m＝2 kg，θ＝37°，g取10 m/s2，则μ和k的值分别为( )
甲 乙
A．0.375 6 N·s/m B．0.375 3 N·s/m
C．0.125 6 N·s/m D．0.125 3 N·s/m
B [本题的易错之处是忽略滑块达到最大速度后阻力不变．由v-t图象可知：滑块做加速度减小的加速运动，最终以最大速度vm＝2 m/s做匀速直线运动．t＝0时刻滑块的加速度最大，a＝ m/s2＝3 m/s2.根据牛顿第二定律，有mgsin 37°－μmgcos 37°－kv＝ma，当t＝0时，v＝0、a＝3 m/s2，有12－16μ＝6，当滑块达到最大速度vm＝2 m/s时，a＝0，有12 N－16μN－2 m/s·k＝0，联立上式得μ＝0.375，k＝3 N·s/m.故只有B正确．]
6．如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面上，有一质量为m的物体，受到沿斜面方向的力F作用，力F按图乙所示规律变化(图中纵坐标是F与mg的比值，力沿斜面向上为正)．则物体运动的速度v随时间t变化的规律是图中的(物体的初速度为零，重力加速度取10 m/s2)( )
甲 乙
A B
C D
C [在0～1 s内，物体的加速度为a1＝，解得a1＝5 m/s2，A项错误；在1～2 s内，物体的加速度为a2＝－＝－5 m/s2，B项错误；在2～3 s内，a3＝＝－15 m/s2，D项错误，只有C项正确．]
二、非选择题(14分)
7．(14分)如图甲所示，质量为1.0 kg的物体置于固定斜面上，斜面的倾角θ＝37°，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，物体运动的F-t图象如图乙(规定沿斜面向上的方向为正方向，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，试求：
甲 乙
(1)0～1 s内物体运动位移的大小；
(2)1 s后物体继续沿斜面上滑的距离．
[解析] (1)根据牛顿第二定律得：
在0～1 s内F－mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma1，解得a1＝18 m/s2,0～1 s内的位移x1＝a1t＝9 m.
(2)1 s时物体的速度v＝a1t1＝18 m/s
1 s后物体继续沿斜面减速上滑的过程中mgsin 37°＋μmgcos 37°－F′＝ma2，解得a2＝3 m/s2
设物体继续上滑的距离为x2，由2a2x2＝v2得x2＝54 m.
[答案] (1)9 m (2)54 m
