3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学习目标] 1.知道匀速直线运动的位移与v-t图象中矩形面积的对应关系. 2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点)3.知道x-t图象，能应用x-t图象分析物体的运动．(难点)4.了解利用极限思想推导位移公式的方法.
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2．v-t图象特点
(1)平行于时间轴的直线．
(2)位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图象中的表示
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
甲 乙 丙
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．
2．位移与时间的关系
?x＝v0t＋at2.
三、用图象表示位移
1．x-t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象．
2．常见的x-t图象
(1)静止：一条平行于时间轴的直线．
(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x-t图象． (×)
(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动． (×)
(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关． (√)
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
A [物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，
则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，
x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，
故A正确．]
3．某物体做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，经过10 s的时间，末速度v＝6 m/s，其v-t图象如图所示，则10 s内位移为( )
A．8 m B．80 m
C．4 m D．40 m
D [在v-t图象中梯形面积代表匀变速直线运动的位移，x＝ m＝40 m，故D正确．]
匀变速直线运动的位移
1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况
取值
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值
说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
【例1】 国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17.6 m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：
(1)国旗匀加速运动的加速度大小；
(2)国旗匀速运动时的速度大小．
思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．
②国旗匀速上升的时间为48 s－4 s－4 s＝40 s.
③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．
[解析] 由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4 s，匀减速上升时间t3＝4 s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40 s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t
对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2
对于国旗减速上升阶段：
x3＝vt3－a2t
根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2
x1＋x2＋x3＝17.6 m
由以上各式可得：a1＝0.1 m/s2
v＝0.4 m/s.
[答案] (1)0.1 m/s2 (2)0.4 m/s
对公式x＝v0t－at 2的理解
(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．
(2)a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．
1．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
C [汽车从刹车到停止用时t刹＝＝ s＝4 s，故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m，x2＝v0t刹－at＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，x1∶x2＝3∶4，故C正确．]
位移—时间(x-t)图象
1．x-t图象的物理意义：x-t图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移．
2．x-t图象的应用
位移
大小
初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向
末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向
速度
大小
斜率的绝对值
方向
斜率的正负值，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动
运动开始位置
图线起点纵坐标
运动开始时刻
图线起点横坐标
两图线交点的含义
表示两物体在同一位置(相遇)
3.两点提醒
(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹．
(2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
【例2】 某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程．
思路点拨：①t＝1 s时物体速度最大，t＝3 s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大．
②利用v -t图象求位移一般采用“面积”法计算，即计算v -t图线与时间轴所围成的面积．
[解析] (1)物体距出发点最远的距离
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m.
(2)前4 s内的位移
x＝x1－x2＝v1t1－v2t2
＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m.
(3)前4 s内通过的路程
s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2
＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.
[答案] (1)6 m (2)5 m (3)7 m
上例中，若将图象的纵轴改为位移x，其他条件不变，求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)物体的最大速度．
[提示] (1)4 m.
(2)最大速度在0～1 s内v＝ m/s＝4 m/s.
?1?v-t图象与t轴所围的“面积”表示位移的大小.
?2?面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值.
?3?物体的总位移等于各部分位移?正负面积?的代数和.
?4?物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和.)
2.一质点的v -t图象如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移．
[解析] 位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0.
[答案] 5 m 0
匀变速直线运动的两个重要推论
1.平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x＝v0t＋at2得， ①
平均速度＝＝v0＋at ②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a ③
由②③得＝v ④
又v＝v＋a ⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝.
2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2 ①
在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2 ②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1 ③
联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．
【例3】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度．
[解析] 解法一：基本公式法
如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
解法二：平均速度法
连续两段相等时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s
且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度为a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
解法三：逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
速度的四种求解方法
(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．
(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．
(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．
(4)图象法，通过画v-t图象求解．
3．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中( )
A．初速度大小为零
B．加速度大小为4 m/s2
C．第4 s内的平均速度为8 m/s
D．5 s内的位移为50 m
B [根据题意，v2.5＝12 m/s，v4.5＝20 m/s，故a＝＝＝ m/s2＝4 m/s2，选项B正确；初速度大小v0＝v2.5－at2.5＝12 m/s－4 m/s2×2.5 s＝2 m/s，选项A错误；第4 s内的平均速度等于3.5 s时刻的瞬时速度，即为v3.5＝v2.5＋at1＝12 m/s＋4×1 m/s＝16 m/s，选项C错误；5 s内的位移为x＝v0t5＋at＝60 m，选项D错误．]
课堂小结
知识脉络
1.在v -t图象中图线与t轴所围的面积表示物体的位移．
2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2.
3．匀速直线运动的x -t图线是一条倾斜的直线，匀变速直线运动的x -t图线是抛物线的一部分.
1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
C [对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s,2＝a，则加速度a＝4 m/s2.]
2．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象，如图所示，t＝2 s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是( )
A．两个物体同时、同地、同向出发
B．第3 s内，甲、乙运动方向相反
C．2～4 s内，甲做减速运动，乙做加速运动
D．第2 s末，甲、乙未相遇
B [两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3 s内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4 s内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C错误；第2 s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．]
3．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行114 m．问：
(1)第5 s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？
[解析] (1)最初2 s内的位移x1＝v0t＋at 2，
代入数据解得：a＝－3 m/s2，
5 s末的速度v2＝v0＋at＝45 m/s.
(2)着陆减速总时间t＝＝20 s，
飞机着陆后12 s内的位移
x2＝v0t＋at 2＝504 m.
[答案] (1)45 m/s (2)504 m
课件60张PPT。第二章 匀变速直线运动的研究3 匀变速直线运动的位移与时间的关系时间轴vt面积 面积之和 面积之和 梯形的面积 图线与对应的时间轴 倾斜时间t位移x平行于时间轴√×××匀变速直线运动的位移位移—时间(x-t)图象匀变速直线运动的两个重要推论点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．位移与时间的平方成正比
B．位移总是随着时间的增加而增加
C．加速度、速度、位移三者方向一致
D．加速度、速度、位移的方向并不一定都相同
D [根据x＝v0t＋at 2，位移与时间的平方不是正比关系，A错误；位移可能随时间的增加而增加，也可能随时间的增加而减小，如先减速后反向加速的匀变速直线运动，位移先增加后减小，B错误；加速度、速度、位移的方向可能相同，也可能不同，C错误，D正确．]
2．(多选)a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同，加速度相同，则在运动过程中( )
A．a、b的速度之差保持不变
B．a、b的速度之差与时间成正比
C．a、b的位移之差与时间成正比
D．a、b的位移之差与时间的平方成正比
AC [设a、b两个物体的初速度分别为v1、v2，加速度为a，由于a、t相同，则由v＝v0＋at得两物体的速度之差为Δv＝v′1－v′2＝v1－v2，所以速度之差保持不变，故A正确，B错误；由公式s＝v0t＋at2可得两物体的位移之差为s＝(v1－v2)t，故C正确，D错误．]
3．某质点做直线运动的位移x和时间平方t2的关系图象如图所示，则该质点( )
A．加速度大小恒为1 m/s2
B．在0～2 s内的位移大小为1 m
C．2 s末的速度大小是4 m/s
D．第3 s内的平均速度大小为3 m/s
C [根据x＝at2可知题图线的斜率等于a，则a＝ m/s2，即a＝2 m/s2，故A错误；在0～2 s内该质点的位移大小为x＝at2＝×2×4 m＝4 m，故B错误；2 s末的速度大小v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，故C正确；质点在第3 s内的位移大小为Δx＝at－at2＝×2×(9－4) m＝5 m，则平均速度大小为＝＝5 m/s，故D错误．]
4．物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度为a1，当速度达到v时，改为以a2做匀减速运动直至速度为零，在加速和减速过程中，物体的位移和所用时间分别为x1，t1和x2，t2.下列式子不成立的是( )
A.＝ B．＝＝
C.＝ D．v＝
C [由运动学规律得x1＝a1t，x2＝a2t，v＝a1t1＝a2t2，C错误；整理以上各式可得＝，A正确；＝＝＝，变形后可得v＝，B、D正确．综上所述，应选择C.]
5．一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v＝2＋t(各物理量均选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是( )
A．质点可能做匀减速直线运动
B．5 s内质点的位移为35 m
C．质点运动的加速度为1 m/s2
D．质点3 s末的速度为5 m/s
B [根据平均速度v＝知，x＝vt＝2t＋t2，根据x＝v0t＋at2＝2t＋t2知，质点的初速度v0＝2 m/s，加速度a＝2 m/s2，质点做匀加速直线运动，故A、C错误；5 s内质点的位移x＝v0t＋at2＝2t＋t2＝(2×5＋25) m＝35 m，B正确；质点在3 s末的速度v＝v0＋at＝(2＋2×3) m/s＝8 m/s，D错误．]
6．(多选)甲、乙两车同时由同一地点沿同一方向做直线运动，它们的位移—时间图象如图所示，甲车图象为过坐标原点的倾斜直线，乙车图象为顶点在坐标原点的抛物线，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙之间的距离先增大、后减小，最后再增大
B．0～t1时间段内，乙的平均速度大于甲的平均速度
C．t1时刻，乙的速度等于甲的速度的2倍
D．0～t1时间段内，t1时刻甲、乙间的距离最大
ACD [由x-t图象可以看出，甲、乙之间的距离先增大、后减小，t1时刻相遇，之后乙车超过甲车，两者的距离再逐渐增大，选项A正确；0～t1时间段内，两车的位移相同，故平均速度相同，选项B错误；由于乙车做初速度为零的匀加速直线运动，所以t1时刻的速度为0～t1时间段内的平均速度的2倍，分析知选项C正确；两车在t1时刻速度相等，所以此时两车的距离最大，选项D正确．]
二、非选择题(14分)
7．汽车由静止开始在平直的公路上行驶，在0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示．
(1)画出汽车在0～60 s内的v-t图象．
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
[解析] (1)设t＝10 s,40 s,60 s时汽车的速度分别为v1、v2、v3.由a-t图象知在0～10 s内汽车以大小为2 m/s2的加速度匀加速行驶，由运动学公式得v1＝2×10 m/s＝20 m/s
由a-t图象知在10～40 s内汽车匀速行驶，因此v2＝20 m/s
由a-t图象知在40～60 s内汽车以大小为1 m/s2的加速度匀减速行驶，
由运动学公式得v3＝(20－1×20) m/s＝0
则汽车在0～60 s内的v-t图象如图所示．
(2)由v-t图象可知，在这60 s内汽车行驶的路程s＝×20 m＝900 m.
[答案] (1)见解析 (2)900 m
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)有关部门对校车、大中型客货车、危险品运输车等重点车型驾驶人的严重交通违法行为，提高了记分分值．如图是某司机在春节假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的0～25 s内的速度随时间变化的图象，由图象可知( )
A．小轿车在0～15 s内的位移为200 m
B．小轿车在10～15 s内加速度为零
C．小轿车在10 s末运动方向发生改变
D．小轿车在4～9 s内的加速度大小大于16～24 s内的加速度大小
ABD [小轿车在0～15 s内的位移为200 m，A正确；10～15 s内小轿车匀速运动，B正确；0～25 s内小轿车始终未改变方向，C错误；小轿车4～9 s内的加速度大小是2 m/s2，16～24 s内的加速度大小是1 m/s2，D正确．]
2．一物体的x-t图象如图所示，那么此物体的v-t图象可能是( )
A B
C D
A [非匀速直线运动的x-t图象是曲线，但并不是说物体的运动轨迹是曲线；x-t、v-t图象均只能描述直线运动；分析求解本题的关键是明白两种图象斜率的物理意义．
因x-t图象的切线斜率表示速度，由题图可知0～时间内图象的斜率为正且越来越小，在时刻图象斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；～t1时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，比照v-t图象可知，只有A正确．]
3．A、B两质点从同一地点运动的x-t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．A、B两质点在4 s末速度相等
B．前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点相遇
C．前4 s内A质点的位移小于B质点的位移，后4 s内A质点的位移大于B质点的位移
D．A质点一直做匀速运动，B质点先加速后减速，8 s末回到出发点
B [x-t图象中，图线的斜率表示速度，4 s末二者的斜率不同，所以速度不同，故A错误；前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点位置坐标相同，表示相遇，故B正确；前4 s内A质点的位移等于B质点的位移，后4 s内A质点的位移与B质点的位移大小相等，方向相反，故C错误；由图象斜率可知，A质点一直做匀速运动，B质点先减速后加速，8 s末回到出发点，故D错误．]
4．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．已知运动中滑块加速度恒定．若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为( )
A.t B．(2＋)t
C．3t D．2t
B [利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动．
设后所需时间为t′，则＝at′2，
全过程L＝a(t＋t′)2
解得t′＝(＋1)t
所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)甲、乙两辆汽车在一条平直公路上沿直线同向行驶，某一时刻甲、乙两车相遇，从该时刻开始计时，甲车的位移随时间变化的关系式为x＝2t2＋2t，乙车的速度随时间变化的关系式为v＝2t＋10，(表达式中各物理量均采用国际单位)试求：
(1)两车速度大小相等的时刻；
(2)两车速度大小相等的时刻两车相距的距离．
[解析] (1)对甲车，根据x＝v0t＋at2＝2t2＋2t得，甲车的初速度v01＝2 m/s，加速度a1＝4 m/s2；
对乙车，根据v＝v0＋at＝2t＋10得，乙车的初速度v02＝10 m/s，加速度a2＝2 m/s2；
根据速度时间公式得，v01＋a1t＝v02＋a2t
解得t＝＝ s＝4 s.
(2)两车速度相等时，甲车的位移：x1＝(2×42＋2×4) m＝40 m
乙车的位移：x2＝10×4＋×2×42 m＝56 m
两车间距：Δx＝x2－x1＝16 m.
[答案] (1)4 s (2)16 m
6．(14分)如图所示，物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，经过时间t，与出发点(底端)的距离为l，此时速度减小为0，然后向下滑动．已知物体向上滑动和向下滑动的加速度相同，求：
(1)物体的初速度v0；
(2)物体的速度大小为初速度大小的一半时经过的时间和此时到出发点的距离．
[解析] (1)选沿斜面向上的方向为正方向．
物体沿斜面向上做匀减速运动，位移x＝t
由题意知v＝0，x＝l，故v0＝.
(2)由题意知v＝v0＋at，得加速度a＝－，方向与v0相反．考虑到速度的方向，“速度大小为初速度大小的一半时”，v1＝v0或v2＝－v0
故经过的时间t1＝＝t或t2＝＝t
由位移公式得物体此时到出发点的距离
x1＝t1＝l或x2＝t2＝l
故物体的速度大小为初速度大小的一半时经过的时间为t或t，此时与出发点的距离为l.
[答案] (1) (2)t或t l
