5 力的分解
[学习目标] 1.知道什么是力的分解，知道力的分解是力的合成的逆运算．(重点)2.了解力的分解的一般方法，知道平行四边形定则和三角形定则都是矢量运算法则．(重点)3.会应用平行四边形定则或三角形定则进行矢量运算．(难点)
一、力的分解及分解法则
1．定义：已知一个力求它的分力的过程．力的分解是力的合成逆运算．
2．分解法则：遵循平行四边形定则．把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2.
3．分解依据
(1)一个力分解为两个力，如果没有限制，可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)实际问题中，要依据力的实际作用效果或需要分解．
二、矢量相加的法则及力的效果分解法
1．矢量：既有大小，又有方向，相加时遵守平行四边形定则或三角形定则的物理量．
2．标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量．
3．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向．三角形定则与平行四边形定则实质上是一样的．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把已知力F分解为两个分力F1与F2，此时物体受到F、F1、F2三个力的作用． (×)
(2)一个力不可能分解出比它自身大的力． (×)
(3)既有大小，又有方向的物理量一定是矢量． (×)
(4)由于矢量的方向用正负表示，故具有正负值的物理量一定是矢量． (×)
(5)矢量与标量的本质区别是它们的运算方法不同． (√)
2．(多选)将力F分解为F1、F2两个分力，则下列说法正确的是( )
A．F1、F2和F同时作用在物体上
B．由F求F1或F2叫作力的分解
C．由F1、F2求F叫作力的合成
D．力的合成与分解都遵循平行四边形定则
BCD [分力和合力是等效替代关系，不能同时作用在物体上，A错；由力的合成和分解的概念可知B、C正确．力的合成和分解都是矢量运算，都遵循平行四边形定则，D正确．]
3．将一个力分解为两个不为零的力，下列哪种分解法是不可能的( )
A．分力之一垂直于F
B．两个分力与F都在一直线上
C．一个分力的大小与F的大小相同
D．一个分力与F相同
D [根据平行四边形定则，一个分力与F相同，则另一个分力为零，所以这种分解方法不可能．]
力的效果分解法
两种典型实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
【例1】 如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.
[解析] 小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′，构成的平行四边形，如图所示．
小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；
小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向．
[答案] 见解析
上例中，若将竖直墙壁改为与左端相同的墙角B撑住小球且B端与A端等高，则小球对墙角的压力分别为多大？方向如何？
[提示] 由几何关系知：FA＝FB＝mg＝100 N，故小球对A、B点的压力大小都为100 N，方向分别沿OA、OB方向．
按作用效果分解力的一般思路
1．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是( )
A B C D
C [A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项图均画得正确．C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C项图画错．D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项图画得正确．]
力的分解及分解法则
1.一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的．实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力．
2．一个合力分解为一组分力的情况分析
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．
甲 乙
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．
甲 乙
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
①当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示；
②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示；
③当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示；
④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示．
【例2】 把一个80 N的力F分解成两个分力F1、F2，其中力F1与F的夹角为30°，求：
(1)当F2最小时，另一个分力F1的大小；
(2)F2＝50 N时，F1的大小．
[解析] (1)当F2最小时，如图甲所示，F1和F2垂直，此时F1＝Fcos 30°＝80× N＝40 N.
甲 乙
(2)根据图乙所示，Fsin 30°＝80 N×＝40 N＜F2
则F1有两个值．
F1′＝Fcos 30°－＝(40－30) N
F1″＝(40＋30) N.
[答案] (1)40 N (2)(40－30) N或(40＋30) N
?1?画矢量图是解决力的分解问题的有效途径.
?2?涉及“最大”“最小”等极值问题时，可多画几种不同情形的图，通过比较鉴别正确情景.
2．把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B．F
C.F D．F
C [如图所示，由于力的正交分解法
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．坐标轴的选取：原则上，坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，坐标轴的选取一般有以下两个原则．
(1)使尽量多的力处在坐标轴上．
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零．
3．正交分解法的适用情况
适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
4．正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1，F2，F3，F4的大小依次为19 N，40 N,30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
思路点拨：①由F1与F2，F2与F3间夹角的大小确定x轴和y轴方向，便于几个力在坐标轴上的分力计算．
②求出沿坐标轴上的合力F合x和F合y，再求总的F合．
[解析] 若运用平行四边形定则求几个力的合力大小和方向，计算过程十分复杂，但采用力的正交分解法求解较简洁．以几个力的作用点为原点，沿F1方向和F4反方向分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，如图甲所示，
甲 乙
沿x轴、y轴的合力分别为
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
Fx、Fy与总的合力F，如图乙所示，则F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
[答案] 38.2 N 方向与F1夹角为45°斜向右上
坐标轴的选取原则与正交分解法的适用情况
(1)坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
①使尽量多的力处在坐标轴上．
②尽量使某一轴上各分力的合力为零．
(2)正交分解法的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
3．如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B. C. D．
C [设物块的质量为m.据平衡条件及摩擦力公式有
拉力F水平时，F＝μmg①
拉力F与水平面成60°角时，Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)②
联立①②式解得μ＝.故选C.]
课堂小结
知识脉络
1.求一个已知力的分力叫作力的分解；力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则．
2．矢量运算遵循平行四边形定则；标量运算遵循算术运算法则．
3．把两个矢量首尾相接与合矢量组成闭合的三角形，即三角形定则．
4．求解多个力的合力常用正交分解法.
1．将一个力F分解为两个力F1和F2，那么下列说法错误的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1和F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F1、F2和F三个力的作用
D．F1和F2共同作用的效果与F相同
C [F是物体实际受到的力，选项A正确；力F1、F2是F的两个分力，不是物体实际受到的力，选项B正确；分力与合力是等效替代关系，选项C错误；分力与合力的作用效果是相同的，选项D正确．]
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．一个180 N的力能分解为240 N和200 N的两个分力
B．一个180 N的力能分解为90 N和80 N的两个分力
C．一个240 N的力能分解为320 N和60 N的两个分力
D．一个240 N的力能分解为40 N和240 N的两个分力
AD [根据合力与分力的关系|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，可得选项A、D正确．]
3．如图所示，挑水时水桶上绳子连接状态分别如图中a、b、c三种情况．下列说法中正确的是( )
A．a状态绳子受力大容易断
B．b状态绳子受力大容易断
C．c状态绳子受力大容易断
D．a、b、c三种状态绳子受力都一样
A [桶的重力产生两个效果，即沿绳子的两个分力，由平行四边形定则可知，绳子的夹角越大，绳子的分力越大，a绳夹角最大，故A正确．]
4．如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数．
[解析] 对四个共点力进行正交分解，如图所示，则x方向的合力：Fx＝Fcos 37°－Ff＝60×0.8 N－16 N＝32 N，y方向的合力：
Fy＝Fsin 37°＋F N－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0，
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右．
动摩擦因数μ＝＝＝0.25.
[答案] 32 N，方向水平向右 0.25
课件56张PPT。第三章 相互作用5 力的分解邻边分力逆运算对角线实际作用效果无数一样平行四边形定则三角形定则算术法则首尾相接始端末端×
×
××
√力的效果分解法力的分解及分解法则力的正交分解法点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是( )
A．减小上山车辆受到的摩擦力
B．减小上山车辆的重力
C．减小上山车辆对路面的压力
D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力
D [如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2，则F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，同一座山，高度一定，把公路修成盘山公路时，使长度增加，则路面的倾角减小，即减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力，可使行车安全，故D正确，A、B、C错误．]
2.如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心．则对圆弧面的压力最小的是( )
A．a球 B．b球
C．c球 D．d球
A [小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面的分力mgsin θ，显然a球对圆弧面的压力最小，A正确．]
3．(多选)如图所示，在斜面上静止着一个物块，斜面对物块的支持力和摩擦力分别为FN和Ff.如果增大斜面的倾角θ，而物块仍能在斜面上保持静止，则这一过程中( )
A．FN增大 B．FN减小
C．Ff增大 D．Ff减小
BC [根据平衡条件和重力的作用效果，斜面对物块的支持力FN＝mgcos θ，摩擦力Ff＝mgsin θ，由于倾角θ增大，故FN减小，Ff增大．]
4．(多选)如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是( )
甲 乙 丙
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最小
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
BC [图中三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsin θ，FN乙＝mg＋Fsin θ，FN丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由摩擦力Ff＝μFN知，Ff乙>Ff丙>Ff甲，B、C正确．]
5．如图所示，与水平面的夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体．细绳的一端与物体相连，另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连．物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为4.9 N．关于物体受力的判断(取g＝9.8 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．斜面对物体的摩擦力大小为零
B．斜面对物体的摩擦力大小为4.9 N，方向沿斜面向上
C．斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向竖直向上
D．斜面对物体的支持力大小为4.9 N，方向垂直斜面向上
A [因物体的重力沿斜面方向的分力大小为mgsin 30°＝1×9.8×0.5 N＝4.9 N，与弹簧测力计的示数相等，故斜面对物体的摩擦力大小为0，选项A正确，B错误；斜面对物体的支持力大小为mgcos 30°＝1×9.8×N＝4.9 N，方向垂直于斜面向上，故选项C、D错误．]
6．如图所示，把光滑斜面上的物体所受的重力mg分解为F1、F2两个力．图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同
D [F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压紧斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1、2，分别用光滑挡板A、B挡住．挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面．试求：
(1)分别将小球所受的重力按作用效果进行分解；
(2)球1对挡板和斜面的压力大小；
(3)球2对挡板和斜面的压力大小．
[解析] 球1所受重力按效果分解如图甲所示，
甲 乙
F1＝Gtan θ，F2＝，球2所受重力按效果分解如图乙所示，F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.
[答案] (1)见解析图 (2)Gtan θ
(3)Gsin θ Gcos θ
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，F1、F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，则下列说法正确的是( )
A．F1一定大于F2
B．F1可能小于F2
C．F2的方向与水平面成30°角
D．F1的方向与F2的方向成60°角
AC [由于合力始终向下，可知F2与F′2的水平分力相同，故F2与F′2关于水平方向对称，所以F2与水平方向成30°角，设F1与竖直方向成α.对各力进行分解可得：F1sin α＝F2cos 30°，F1cos α>F2sin 30°，解得F1>F2.选项A、C正确．]
2．(多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )
A．F1＝mgcos θ B．F1＝mgcot θ
C．F2＝mgsin θ D．F2＝
BD [对结点O受力分析并建坐标系如图所示，将F2分解到x、y轴上．因O点静止，
故：x方向：F1＝F2cos θ，
y方向：F2sin θ＝F3，F3＝mg
解得：F1＝mgcot θ，F2＝，B、D正确．]
3．(多选)如图所示，重20 N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8 N的力斜向下推物体．F与水平面成30°角，物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.5，则物体( )
A．对地面的压力为28 N
B．所受的摩擦力为4 N
C．所受的合力为5 N
D．所受的合力为0
BD [将力F分解如图，对地的压力为FN＝F2＋G＝Fsin 30°＋G＝24 N，又因F1＝Fcos 30°<μFN，故受到的静摩擦力为Ff＝Fcos 30°＝4 N，故物体合力为零，所以B、D项正确．]
4．如图所示，一个重力为10 N的物体，用细线悬挂在O点，现在用力F拉物体，使悬线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为( )
A．5 N B 2.5 N
C．8.65 N D．4.3 N
A [如图所示，将重力沿细线及拉力方向分解，分析图形可知，只有当拉力与细线垂直时，重力沿拉力方向的分力最小，根据平衡条件，F＝Gsin 30°＝5 N，故选项A正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，ABC为一直角劈形物体，将其卡于孔中，劈的斜边AB与直角边AC的夹角θ＝60°.当用F＝100 N的力沿水平方向推劈形物体时，求劈形物体的上侧面和下侧面产生的推力大小．
[解析] 加在劈面上的力F产生两个效果，即使劈形物体的两个侧面产生垂直向外的推力．由此可断定两个分力F1、F2的方向分别是垂直水平面BC向下和垂直斜面AB斜向上．受力分析如图所示．由几何知识可得
F2＝＝100×2 N＝200 N
F1＝F·tan 60°＝100× N≈173 N
故劈对上侧面和下侧面产生的推力大小分别为200 N和173 N.
[答案] 200 N 173 N
6．(14分)如图甲所示，细绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
甲 乙
(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
[解析] (1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力TAC＝TCD＝M1g；图乙中由TEGsin 30°＝M2g得TEG＝2M2g，所以得＝.
(2)图甲中，根据平衡规律，由拉密定理可得＝＝，NC＝TAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方．
甲 乙
(3)图乙中，根据平衡方程有TEGsin 30°＝M2g、TEGcos 30°＝NG，所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右．
[答案] (1) (2)M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
