6.向心力
[学习目标] 1.理解向心力的概念，会分析向心力的来源．(重点) 2.知道向心力大小与哪些因素有关，并能利用向心力表达式进行计算．(重点) 3.理解在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力．(难点)
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫作向心力．
2．公式：Fn＝和Fn＝mω2r.
3．方向
向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
二、变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述速度大小变化的快慢．
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力． (×)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力． (×)
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力． (√)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力． (√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力． (×)
(6)向心力产生向心加速度． (√)
2．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
B [做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误．]
3.如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦)，这时球受到的力是( )
A．重力和向心力
B．重力和支持力
C．重力、支持力和向心力
D．重力
B [玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提供，向心力不是物体受的力，故B正确．]
对匀速圆周运动向心力的理解
1．匀速圆周运动中向心力的特点
(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直．
(2)大小：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv，在匀速圆周运动中，向心力大小不变．
2．向心力的作用效果：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力．
4．几种常见的实例如下
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】 如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
A．物块A不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
B [物块A受到的摩擦力充当其向心力；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B的沿半径向外的静摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大；A对B的摩擦力方向沿半径向外．]
向心力与合外力的关系
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力，对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
1．(多选)如图所示．用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan θ
BCD [对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确．再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确．]
向心力公式的应用
分析匀速圆周运动向心力的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向．
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，沿切线方向F合2＝0.
(4)解方程求出结果．
【例2】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
甲 乙
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
思路点拨：①质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零．
②质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径．
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N.
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝ rad/s.
[答案] (1)750 N (2) rad/s
上例中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大．
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的．
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．
2．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
BCD [当M有远离轴心运动的趋势时，
有mg＋Fmax＝Mω2rmax，
解得rmax＝＝0.32 m，
当M有靠近轴心运动的趋势时，
有mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmin＝＝0.08 m.
故选项B、C、D正确．]
变速圆周运动及一般曲线运动的处理方法
匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度
特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
加速度
特点
只有向心加速度，方向指向圆心，方向不断改变，大小不变
既有向心加速度，又有切向加速度．其中向心加速度指向圆心，大小、方向都不断改变
受力
特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r都适用
【例3】 如图所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v.已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力．
思路点拨：①滑动摩擦力Ff＝μFN，需要求FN的大小．
②在B处，支持力FN′与重力的合力提供向心力．
③FN′＝FN.
[解析] 物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动．物体在B点的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力G＝mg的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得FN－mg＝，得FN＝mg＋，则滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μm.
[答案] μm
?1?物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力.
?2?物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理.
3．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
CD [如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．]
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力．它是产生向心加速度的原因．
2．向心力的大小为Fn＝m＝mω2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直．
3．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力．
4．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理.
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( )
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD [物体做匀速圆周运动时，合力充当向心力，方向一定指向圆心，大小不变，且只改变速度的方向不改变速度的大小．]
2．(多选)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
AC [在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F＝mω2l，得选项A、C正确．]
3.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对．]
4．如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g取10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝m
所以FT＝mg＋m＝N＝14 N
由牛顿第三定律得，小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
[答案] 14 N
课件51张PPT。第五章 曲线运动6.向心力圆心 圆心 时刻改变 变力 作用效果 向心力 速度大小 方向 圆弧 半径 ×
×
√
√
×
√ 对匀速圆周运动向心力的理解向心力公式的应用变速圆周运动及一般曲线运动的处理方法点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(时间：40分钟 分值：100分)
[基础达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(多选)关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是( )
A．物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同
B．物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变
C．物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直
AD [当物体的速率增大时，合外力是动力，合外力与速度方向间夹角小于90°，而在直线运动中速率增大时合力方向与速度方向间夹角必为0°，即两者同向，A正确；变速率的曲线运动也可以是匀变速运动，如平抛运动，故B错误；物体做变速率的圆周运动时，合外力一方面提供了改变速度方向的向心力，另一方面还提供了改变速度大小的切向力，故此时合外力的方向一定不指向圆心，C错误；在匀速率曲线运动中，由于物体的速度大小不变，则物体在速度方向上所受外力矢量和必为零，即物体所受合外力方向只能是垂直于速度方向，从而只改变速度方向而做曲线运动，但不改变速度的大小，D正确．]
2．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
C [由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心．由此可知C正确．]
3．如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力．下列说法正确的是( )
A．只减小旋转角速度，拉力增大
B．只加快旋转速度，拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大
D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动
C [由题意，根据向心力公式F向＝mω2r、牛顿第二定律，则有T拉＝mω2r，只减小旋转角速度，拉力减小，只加快旋转速度，拉力增大，只更换一个质量较大的小球，拉力增大，故A、B错误，C正确；突然放开绳子，小球受到的合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故D错误．]
4．质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么( )
A．下滑过程中木块的加速度为零
B．下滑过程中木块所受合力大小不变
C．下滑过程中木块所受合力为零
D．下滑过程中木块所受的合力越来越大
B [因木块做匀速圆周运动，故木块受到的合外力即向心力大小不变，向心加速度大小不变，故选项B正确．]
5．有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
B [当车子和人在垂直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供，B正确．]
6．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
D [物块转动时，其向心力由静摩擦力提供，当它匀速转动时其方向指向圆心，当它加速运动时其方向斜向前方，当它减速转动时，其方向斜向后方．]
二、非选择题(14分)
7.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0.
[解析] 对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知
mgtan θ＝mω2·Rsin θ
得ω0＝＝.
[答案]
[能力提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．一辆满载新鲜水果的货车以恒定速率通过水平面内的某转盘，角速度为ω，其中一个处于中间位置的水果质量为m，它到转盘中心的距离为R，则其他水果对该水果的作用力为( )
A．mg B．mω2R
C. D.
C [处于中间位置的水果在水平面内随车转弯，做水平面内的匀速圆周运动，合外力提供水平方向的向心力，则F向＝mω2R，根据平衡条件及平行四边形定则可知，其他水果对该水果的作用力大小为F＝，选项C正确，其他选项均错误．]
2.(多选)如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是( )
A．线速度vA>vB
B．运动周期TA>TB
C．它们受到的摩擦力FfA>FfB
D．筒壁对它们的弹力FNA>FNB
AD [由于两物体角速度相等，而rA>rB，所以vA＝rAω>vB＝rBω，A项对；由于ω相等，则T相等，B项错；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以FfA＝FfB，C项错；弹力等于向心力，所以FNA＝mrAω2>FNB＝mrBω2，D项对．]
3．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R B．
C. D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆的作用力：F＝＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确．]
4．长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图所示，则有关于两个圆锥摆的物理量相同的是( )
A．周期 B．线速度
C．向心力 D．绳的拉力
A [摆动过程中绳子的拉力和重力的合力充当向心力，设绳与竖直方向间的夹角为θ，如图所示根据几何知识可得F＝mgtan θ，r＝htan θ，根据公式F＝mω2r可得ω＝，又知道T＝，所以两者的周期相同，A正确；根据公式v＝ωr可得线速度不同，B错误；由于两者与竖直方向的夹角不同，所以向心力不同，C错误；绳子拉力：T＝，故绳子拉力不同，D错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小．
[解析] (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg.
[答案] (1) (2)μmg
6．(14分)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
[解析] (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ①
在水平方向上有
s＝v0t ②
由①②式解得v0＝s
代入数据得v0＝1 m/s. ③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m ④
fm＝μN＝μmg ⑤
由③④⑤式解得 μ＝
代入数据得μ＝0.2.
[答案] (1)1 m/s (2)0.2
