课件27张PPT。第四章 圆与方程章末复习课求圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 空间中点的坐标及距离公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(四) 圆与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D．
D [由空间直角坐标系中两点间的距离公式得：|AB|＝＝.]
2．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2.]
3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
B [由题意知点M在圆O外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆O相交．]
4．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
B [圆O1(1，0)，r1＝1，圆O2(0，2)，r2＝2，|O1O2|＝＝＜1＋2，且＞2－1，故两圆相交．]
5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )
A． B． C．2 D．－
A [因为点B是A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，所以B点的坐标是(0，2，3)，所以|OB|＝.]
6．关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1，2，3)，有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，－3)．
其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A [点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．]
7．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B [圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．]
8．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝( )
A． B．2 C．1 D．3
B [依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝1×cos 45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.]
9．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
D [如图所示，
曲线y＝1＋变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2，4)，当直线l与半圆相切时，有＝2，解得k＝，当直线l过点(－2，1)时，k＝.因此，k的取值范围是10．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则的最大值为( )
A．3 B．3＋2 C．2＋ D．
B [设＝k，则y＝kx，代入x2＋y2－6x－6y＋12＝0得(1＋k2)x2－6x－6kx＋12＝0，即(1＋k2)x2－(6＋6k)x＋12＝0. ∴Δ＝[－(6＋6k)]2－4×12×(1＋k2)≥0，∴3－2≤k≤3＋2，∴的最大值为3＋2.]
11．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
C [由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上， 故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.]
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
C [如图，
由题意可知平行四边形OAMB为菱形， 又∵OA＝OM，∴△AOM为正三角形．又OA＝2，∴OC＝1，且OC⊥AB.∴＝1，∴k＝0.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b，0)，则点B1的坐标为________．
(a，b，c) [由题图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．]
14．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝5 [由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.]
15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
2 [如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.]
16．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________．
[点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线．∴k＝－＝－＝.]
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
[解] (1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，
即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切．
18．(本小题满分12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
[解] 如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2)．
由C为线段O′A的中点，得C点坐标为(1，0，1)，
设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝＝，
故当z＝1时，|EC|取得最小值为，
此时E(0，2，1)为线段BB′的中点．
19．(本小题满分12分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.
[解] 线段AB的中点为(1，3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0，1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
20．(本小题满分12分)点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
[解] 设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简得x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0，1)为圆心，以为半径的圆．
21．(本小题满分12分)街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积(精确到0.1 m2)．
[解] 如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程为
(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y＞0)．
∵|AC|＝＝5，
令E为圆心，∴∠AEC＝90°.
故所求的面积为
S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形ACE－S△ACE)
＝＋π×52－×52
＝33＋≈52.6 (m2)，
所以绿地面积约为52.6 m2.
22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地的距离是10 km，顾客选A或B地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
[解] 如图，以A，B所确定的直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．
设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a 元/km，B地的运费为a 元/km，当P地居民到A，B两地购物的总费用相等时，价格＋xA地运费＝价格＋xB地运费．
∴3a＝a.∵a＞0，
∴3＝，
两边平方，得9(x＋5)2＋9y2＝(x－5)2＋y2，
即＋y2＝.
∴以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线．
圆C内的居民从A地购货便宜；
圆C外的居民从B地购货便宜；
圆C上的居民从AB两地购货的总费用相等，因此，可随意从AB两地之一购货.
求圆的方程
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
[解] 设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立
解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，
或＋(y＋1)2＝1.
1．求圆的方程的方法
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．
2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．
(3)解出a, b, r(或D, E, F)．
(4)代入圆的方程．
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
【例2】 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解] (1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3, －6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
直线与圆位置关系的判断：
直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．
2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2, 2)和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1, 0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．
[解] (1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a, －a－2)．
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.
因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.
(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.
由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，
所以＝，解得k＝±1，
所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
圆与圆的位置关系
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解] (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
判断两圆位置关系的两种比较方法：
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
x＋y－3＝0 [AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]
空间中点的坐标及距离公式的应用
【例4】 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解] 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
