1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解中心投影和平行投影．
2．能画出简单空间图形的三视图．(重点)
3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点)
1.通过对中心投影和平行投影学习，培养直观想象的数学素养；
2．通过学习三视图，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.
1．投影的概念及分类
定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面
分
类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影
2.三视图
思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？
[提示] 正确．由画三视图的规则要求可知正确．
1．哪个实例不是中心投影( )
A．工程图纸 B．小孔成像
C．相片 D．人的视觉
A [根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]
2．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是( )
A B C D
A [矩形的投影可以是线段，矩形，平行四边形，但不会是梯形．]
3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．
棱台 [从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]
4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)
① ② ③ ④
①③④ [①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]
中心投影和平行投影
【例1】 (1)下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
D [矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．]
(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是( )
A B C D
A [由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]
判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．
1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC( )
A．全等 B．相似 C．不相似 D．以上都不对
B [本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．
由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.]
画空间几何体的三视图
【例2】 (1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
B [依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.]
(2)画出如图所示几何体的三视图：
① ②
[解] ①此几何体的三视图如图③所示；
②此几何体的三视图如图④所示．
③ ④
1．画组合体三视图的“四个步骤”
(1)析：分析组合体的组成形式；
(2)分：把组合体分解成简单几何体；
(3)画：画分解后的简单几何体的三视图；
(4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．
2．画三视图时要注意的“两个问题”
(1)务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．
(2)把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．
2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．
[解] 它的三视图如图所示．
由三视图还原几何体
[探究问题]
1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？
[提示] 由正视图可确定几何体的长、高；由俯视图可确定几何体的宽．
2．如图所示的三视图，其几何体是什么？其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？
[提示] 由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱柱的侧棱长，应为四棱椎的侧面高线．
【例3】 (1)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )
A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球体
C [正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．]
(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
A B C D
D [对于选项A，B，正视图均不符合要求；对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．]
由三视图确定几何体一般分两步：
第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．
① ②
[解] 由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．
图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：
1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．画组合体的三视图的步骤
特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
1．中心投影的投影线( )
A．相互平行 B．交于一点
C．是异面直线 D．在同一平面内
B [由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.]
2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
B [由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．]
3．一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．
2，4 [由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为2×＝4.]
4．画出如图所示的几何体的三视图．
[解] 该几何体的三视图如图所示．
课件42张PPT。第一章 空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图影子投影线投影面一点一点平行平行正对中心投影和平行投影 A B C D画空间几何体的三视图 由三视图还原几何体A B C D① ②点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线的平行投影可能是( )
A．点 B．线段
C．射线 D．曲线
A [直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]
2．下列说法错误的是( )
A．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度
B．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度
C．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度
D．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样
D [正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故D不对．]
3．有下列说法：
①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；
②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；
④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确说法有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
C [正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.]
5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )
A B C D
B [从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]
二、填空题
6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称)．
① ② ③ ④
正视图 侧视图 俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．]
7．若线段AB平行于投影面，O是线段AB上一点，且＝，点A′，O′，B′分别是A，O，B在投影面上的投影点，则＝________．
[由题意知AB∥A′B′，OO′∥AA′，OO′∥BB′，则有＝＝.]
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．
2 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D-BCC1B1，最长棱为DB1＝＝＝2.
]
三、解答题
9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．
(1)判断该几何体是否为棱柱；
(2)画出它的三视图．
[解] (1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．
(2)该几何体的三视图如图：
10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．
[解] 该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．
[能力提升练]
1．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )
A B C D
A [显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．]
2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是10，则皮球的直径是________．
15 [皮球的直径d＝10sin 60°＝10×＝15.]
