课件42张PPT。第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积各个面展开图柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 柱体、锥体、台体的体积 简单组合体的表面积、体积 点击右图进入…Thank you for watching !1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)
2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
通过学习并运用柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的数学素养.
1．表面积公式
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形
表面积公式
多
面
体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
(2)旋转体的表面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2；
侧面积：S侧＝2πrl；
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2；
侧面积：S侧＝πrl；
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2；
下底面面积：S下底＝πr2；
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)；
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2.体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．
思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？
[提示] 表面积变大了，而体积不变．
1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72 B．42π
C．67π D．72π
C [S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.]
2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π. 该圆柱的表面积为__．
6π [由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．
4 [由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为4，高为1，所以体积为4.]
柱体、锥体、台体的侧面积与表面积
【例1】 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A． B． C． D．
(2)某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )
A．180 B．200 C．220 D．240
(3)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________．
(1)A (2)D (3)144π [(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.
(2)几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为×(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200. 所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240. 故选D.
(3)由题意，得该圆锥的母线长l＝＝10，
∴该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，∴该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.]
空间几何体的表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π B．100π C．168π D．169π
C [圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]
柱体、锥体、台体的体积
【例2】 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A． B． C．64π D．128π
(2)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( )
A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18
(3)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________．
思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；
(2)直接利用公式求体积即可；
(3)正方体的体积减去锥体体积即可．
(1)A (2)B (3)a3 [(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，
∴r＝4.
∴l＝4，高h＝＝4.
∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.
(2)V＝(S＋＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2.
故选B.
(3)V＝S△ABD·A1A＝×a2·a＝a3.
故剩余部分的体积V＝V正方体－V＝a3－＝a3.]
求几何体体积的常用方法：
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
[两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，所以所求几何体的体积为.]
简单组合体的表面积、体积
【例3】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm， 高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
求组合体的表面积与体积的方法：
(1)分析结构特征
弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
(2)设计计算方法
根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．
(3)计算求值．根据设计的计算方法求值.
3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )
A．24－ B．24－ C．24－π D．24－
A [该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.]
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
B [V＝3×4×5＝60 cm3，选B.]
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A． B．2 C．3 D．4
A [S表＝4S正△＝4×＝.]
3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．
[设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，
则所以
圆台的高h＝＝，
所以V圆台＝(π＋＋4π)·＝.]
4．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积．
[解] VD1-EDF＝VF-DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.
课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
C [底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]
2．已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A． B． C． D．
D [由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝，所以V＝Sh＝××3＝.]
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，
由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π， 所以r＝1, 所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.]
4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π C．20π D．10π
D [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]
5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54 B．54π
C．58 D．58π
A [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，
由相似得＝，
∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]
二、填空题
6．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．
[设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.]
7．已知一个圆台的正视图如图所示， 若其侧面积为3π， 则a的值为____．
2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a, 则母线长为， 则其侧面积等于π(1＋2)·＝3π，解得a2＝4，所以a＝2(舍去负值)．]
8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________．
[如图所示， 设圆锥的底面半径为r, 母线长为l.
由题意，得解得r＝.
所以圆锥的底面面积为πr2＝π×＝.]
三、解答题
9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[解] 设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝πl，得l＝6r.
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝·，
V＝πr2h＝π×××＝π.
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C-A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C-A1DD1的体积为：VC-A1DD1＝h＝Sh，
余下部分体积为：Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.
[能力提升练]
1．三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则＝________．
[如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE-ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.]
2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.]
