课件22张PPT。第一章 空间几何体章末复习课空间几何体的结构特征 空间几何体的表面积与体积 ① ②与球有关的切、接问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(一) 空间几何体
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥组成的组合体
D [直角三角形的斜边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．]
2．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
A [由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]
3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
A B C D
A [由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．]
4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为( )
A．24 cm2 B．36 cm2 C．72 cm2 D．84 cm2
C [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]
5．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
A． B． C． D．1
A [三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.]
6．棱锥被平行于底面的平面所截， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶(＋1) D．1∶(－1)
D [借助轴截面， 利用相似的性质， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则对应小棱锥与原棱锥高之比为1∶，被截面分成两段之比为1∶(－1)．]
7．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [设两球的半径分别为R，r(R>r), 则由题意得解得故R－r＝1.]
8．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积( )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
D [VA′-EFQ＝VQ-A′EF＝××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．]
9．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中， 则水面高度为( )
A．6 cm B．6 cm
C．2 cm D．3 cm
B [由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，可设边长为a, 由图可得，＝， 所以r＝ h. 故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝π··h，又V圆柱＝V圆锥， 所以h＝6 cm.]
10．已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA＝2, SB＝SC＝4, 则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．3 B．6 C．36 D．9
A [因为三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S-ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线，所以外接球的半径为＝3.]
11．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 将该菱形沿对角线AC折起， 使BD＝a, 则三棱锥D-ABC的体积为( )
A． B． C． D．
D [在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 将该菱形沿对角线AC折起， 使BD＝a, 则三棱锥D-ABC为正四面体， D在底面的射影为正三角形的中心O, h＝OD＝＝＝a, 所以三棱锥D-ABC的体积为V＝Sh＝·a2·a＝.]
12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
C [如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________ cm2.
16π [圆柱的底面半径为r＝×4＝2，故S侧＝2π×2×4＝16π.]
14．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分所示，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则可能的位置编号为________．
1，4，5 [第六个正方形在正方体中恰好和编号为2的正方形相对，翻折可知其可能的编号为1，4，5.]
15．如图，在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是边长为3的正方形， EF∥AB，EF＝， 且点E到平面ABCD的距离为2, 则该多面体的体积为________．
[连接EB, EC, 将多面体分为两部分. 不妨设EF⊥FB, EF⊥FC, 则多面体的体积为V＝V1＋V2＝S1h1＋S2h2＝×＝.]
16．如图， 在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．
1∶24 [因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4. 又F是AA1的中点，
所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍， 所以V1∶V2＝＝＝1∶24.]
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 .
[解] 如图，
设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.
因为＝，所以＝，所以l＝ cm.
即圆锥的母线长为 cm.
18．(本小题满分12分)如图， △A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图， C′A′＝2, B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.
(1)将其恢复成原图形，并画出来；
(2)求原平面图形△ABC的面积．
[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′的原图形，如图所示．
(2)因为B′D′∥y′轴，所以BD⊥AC.
又B′D′＝1.5且A′C′＝2，
所以BD＝3，AC＝2.所以S△ABC＝BD·AC＝3.
19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
[解] V＝×6＝36(cm3)．
设圆柱底面圆的半径为r，则
r＝＝＝1，
V＝πr2h＝6π(cm3)．
所以V＝V－V＝36－6π(cm3)．
20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H, 在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时， 圆柱的侧面积最大？
[解] (1)设圆柱的底面半径为r, 则它的侧面积为S＝2πrx, ＝，解得r＝R－x，
所以S圆柱侧＝2πRx－x2.
(2)由(1)知S圆柱侧＝2πRx－x2，
在此表达式中， S圆柱侧为x的二次函数，
因此，当x＝时， 圆柱的侧面积最大．
21．(本小题满分12分)正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解] 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，
则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2，
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，
所以32＋＝h′2，
所以h′＝2，所以a＝h′＝6，
所以S底＝a2＝×62＝9，
所以S侧＝2S底＝18，
则S表＝S侧＋S底＝27.
22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD的长；
(2)容器的容积．
[解] (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则OD＝72－x.
由题意得
∴R＝12，r＝6，x＝36，
∴AD＝36 cm.
(2)圆台所在圆锥的高
H＝＝12，
圆台的高h＝＝6，
小圆锥的高h′＝6，
∴V容＝V大锥－V小锥＝πR2H－πr2h′＝504π.
空间几何体的结构特征
【例1】 (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1)A (2)D [(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]
与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4
C [将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得x2＝h. 故＝.]
空间几何体的表面积与体积
【例2】 如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2， 1 cm2， 3 cm2，求三棱锥O-ABC的体积．
[解] 设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm，
则由已知可得xy＝1.5，xz＝1，yz＝3.
解得x＝1，y＝3，z＝2.
将三棱锥O-ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．
易知OC为三棱锥C-OAB的高．
于是VO-ABC＝VC-OAB＝S△OAB·OC＝×1.5×2＝1(cm3)．
空间几何体的表面积与体积的求法：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
2．如图①所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的体积．
① ②
[解] 连接A′B，A′C，如图②所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′-ABC的体积是V.
而四棱锥A′-BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
与球有关的切、接问题
【例3】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
A．π B．π C．π D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．16 C．24 D．48
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P-ABCD的高，则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2， PE＝6, 所以侧棱长PA＝＝＝＝2. 设球的半径为R, 则PF＝2R. 由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]
与球相关问题的解题策略：
(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
3．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．
4πRr [法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝，故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]
