课件52张PPT。第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱的结构特征 棱锥、棱台的结构特征 ]多面体的表面展开图点击右图进入…Thank you for watching !课件47张PPT。第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构
第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴的边圆柱和棱柱统称为柱体直角三角形的一条直角边旋转轴垂直于轴直角三角形的斜边不垂直于轴的边棱锥和圆锥统称锥体平行于圆锥底面底面与截面轴截面底面与截面底面与截面棱台和圆台统称为台体半圆的直径圆心半径直径由简单几何体组合而成的几何体旋转体的结构特征 简单组合体的结构特征 几何体中的计算问题① ②点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 空间几何体的结构
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)
3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)
通过对空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的数学素养.
1．空间几何体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，其中定直线叫做旋转体的轴
2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1)棱柱的结构特征
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面.
侧面：底面以外的其余各面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、…
思考：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
[提示] 根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．
(2)棱锥的结构特征
定义
有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念
底面：多边形面.
侧面：有公共顶点的三角形面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、…
思考：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[提示] 不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
(3)棱台的结构特征
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面.
下底面：原棱锥的底面.
侧面：除上下底面以外的面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…
思考：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[提示] 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
1．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [每个三角形都可以作为底面．]
2．下面说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B [由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．]
3．下面属于多面体的是________(填序号)．
①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．
①② [①②属于多面体，③④属于旋转体．]
棱柱的结构特征
【例1】 (1)下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
① ② ③
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D.]
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
[解] ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.
有关棱柱结构特征问题的解题策略：
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
1．下列关于棱柱的说法错误的是( )
A．所有棱柱的两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
C [对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]
棱锥、棱台的结构特征
【例2】 (1)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
①②③ [①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
]
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[解] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是 ( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
C [图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]
多面体的表面展开图
[探究问题]
1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？
[提示] 棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：
2．棱台的侧面展开图又是什么样的？
[提示] 棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．
【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
思路探究：(1)正方体的平面展开图?以其中一个面不动把其他面展开．
(2)常见几何体的定义与结构特征?空间想象或动手制作平面展开图进行实践．
A [(1)由选项验证可知选A.]
(2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
1.将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是 ( )
A．1 B．6 C．快 D．乐
B [将图形折成正方体知选B.]
2．将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体？
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？
[解] (1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．棱柱、棱台、棱锥关系图
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [根据棱柱的定义进行判定知，这4个几何体都是棱柱．]
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
A B C D
D [A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5 3 [面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，
B′-A′BC，C′-A′B′C.
① ②
第二课时 旋转体与简单组合体的结构特征
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式．(重点、易混点)
通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
锥体：棱锥和圆锥统称锥体
3.圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台
图示及相关概念
轴：圆锥的轴；
底面：圆锥的底面和截面；
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；
台体：棱台和圆台统称为台体
思考：用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台？
[提示] 不一定．只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台．
4．球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心叫做球的球心；
半径：半圆的半径叫做球的半径；
直径：半圆的直径叫做球的直径
思考：球能否由圆面旋转而成？
[提示] 能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
5．组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．
(2)简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
1．圆锥的母线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
D [由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条．]
2．下列图形中是圆柱的是________．
① ② ③ ④
② [根据圆柱的概念可知只有②是圆柱．]
3．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________(填序号)．
① ② ③ ④
① [根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．]
4．下图由哪些简单几何体构成？
① ②
[解] ①是由两个四棱锥拼接而成的，②是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．
旋转体的结构特征
【例1】 (1)下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
C [由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．]
(2)给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
D [由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]
1．简单旋转体判断问题的解题策略：
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用：
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
1．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(填序号)
①② [①正确，圆柱的底面是圆面；
②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③不正确，圆台的母线延长相交于一点；
④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．]
简单组合体的结构特征
【例2】 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
思路探究：先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形，再旋转识别几何体．
[解] 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
旋转体形状的判断方法：
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．
2．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
[解] 如下图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
几何体中的计算问题
[探究问题]
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
【例3】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
思路探究：过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决．
[解] 设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
所以＝，所以＝＝.
解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.
1．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm”，则它的轴截面的面积是________．
63 cm2 [画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．]
2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为________．
1 [作轴截面如图，
则＝＝，所以r＝1.]
1．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
2．与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
D [易知是两个圆锥．选D.]
2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )
A．5 B．10
C．20 D．不确定
B [圆柱的母线长和高相等．]
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．棱柱
B [截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
① ②
[解] 分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
B [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]
2．下列说法正确的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
D [选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]
① ②
3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
A [如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]
5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
C [按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．]
① ②
二、填空题
6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]
7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
3 [如图，三棱台可分成三棱锥C1-ABC，三棱锥C1-ABB1，三棱锥A-A1B1C1，三个．]
三、解答题
9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
[解] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
[解] (1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．
① ②
③
[能力提升练]
1．由五个面围成的多面体，其中上、 下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．三棱锥 D．四棱锥
B [该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]
2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]
课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①
C．③和④ D．①和④
D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )
① ②
A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥
C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱
B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°等腰三角形 D．其他等腰三角形
A [设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr＝π·，则r＝，故轴截面是边长为的等边三角形．]
4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]
5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )
A．32 B． C. D．
B [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.]
二、填空题
6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]
7．下列命题中错误的是________．
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]
8．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________ cm2.
9π [设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，所以r＝3.所以
截面圆面积为9π cm2.]
三、解答题
9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，
下底面半径OB＝5(cm)，
又因为腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆
台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[能力提升练]
1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
B [圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]
2．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.则绳子的最短长度的平方f(x)＝________．
x2＋16(0≤x≤4) [将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，
则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]
