课件46张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系任何一个① ②平行异面相交平行相交异面同一条平行a∥c相等或互补任意锐角直角90°a⊥b空间两条直线位置关系的判定 A B C D公理4及等角定理的应用 异面直线所成的角 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会判断空间两直线的位置关系．(易错点)
2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(难点、易错点)
3．能用公理4解决一些简单的相关问题. (重点)
1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学素养；
2．通过求异面直线所成角及公理4的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.
1．空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
① ②
(3)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
[提示] 不一定. 可能平行、相交或异面．
2．公理4及定理
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c?a∥c．
(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角)．
(2)范围：0°＜θ≤90°．特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
1．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
D [α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.]
2．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
D [由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]
3．如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．
90° 45° [∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]
空间两条直线位置关系的判定
【例1】 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.]
(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
A B C D
C [本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍：
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
2．判定两条直线是异面直线的方法：
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，l?α，则AB与l是异面直线(如图)．
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
B [假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．]
公理4及等角定理的应用
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点．
求证：EE′∥FF′.
[证明] 因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
1．证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)公理4
用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c.
2．证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1DD1，所以BFD1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
异面直线所成的角
[探究问题]
1.已知直线a，b是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？
[提示] 如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)θ，即两条异面直线a，b所成的角．
2．异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
[提示] 异面直线a与b所成角的大小只与a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．
【例3】 如图，三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值.
[解] 过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD ＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝ AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
所以AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，
所以α＋β＝ 90°.
将本例变为： 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角
[解] 如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
故EG∥BC且EG＝BC＝1，
FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF为所求，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
D [若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
C [根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
4．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．
[解] 取AC的中点G，连接EG，FG，
则FG∥CD，EG∥AB，
所以∠FEG即为EF与AB所成的角，
且FG＝CD，EG＝AB，又AB＝CD，
所以FG＝EG.
又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.
故EF和AB所成的角为45°.
课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．
]
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
D [可能相交也可能异面，选D.]
3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
A [如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
C [连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]
5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
A [如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
因此，这样的异面直线有无数条．]
二、填空题
6．如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
3 [PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]
7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
②④ [①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．]
8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
60° [连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]
三、解答题
9．如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且＝＝成立．
求证：△A1B1C1∽△ABC.
[证明] 在△OAB中，
因为＝，所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
10．在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解] 如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
[能力提升练]
1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
D [构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.]
2．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
①③ [把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
