2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理．(重点)
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用．(易混点)
3．能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行．(难点)
1.通过学习直线与平面平行的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；
2．通过学习平面与平面平行的判定，培养直观想象、逻辑推理的数学素养.
直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理
定理
直线与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定定理
文字
语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
符号
语言
l∥a，a?α，l?α?l∥α
a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β
图形
语言
思考：(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？
(2)平面平行有传递性吗？
[提示] (1)根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．
(2)有．若α、β、γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ?α∥γ.
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
D．a?α，b?α，a∥b
D [A错误，若b?α，a∥b，则a∥α或a?α；B错误，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a?α或a与α相交；D正确，a?α，b?α，a∥b恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件．]
2．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
A [根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]
3．已知平面α∥平面β，直线a?α，则直线a与平面β的位置关系为________．
a∥β [因为α∥β，所以α与β无公共点，
因为a?α，所以a与β无公共点，所以a∥β.]
直线与平面平行的判定
【例1】 如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
[证明] 连接AN延长交BC于P，连接SP，
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP.
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
1．判断或证明线面平行的常用方法有：
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法：
(1)利用三角形、梯形中位线的性质；
(2)利用平行四边形的性质；
(3)利用平行线分线段成比例定理．
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
[证明] 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
[证明] 设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为＝＝，
所以GO∥D1H，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.
平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2．如图所示，在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC的中点．
求证：平面DEF∥平面SAB.
[证明] 因为D、E分别是棱AC、BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB.
因为DE?平面SAB，AB?平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE?平面DEF，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB.
线面、面面平行的综合问题
[探究问题]
观察下面两个图形：
1．怎样证明平面β中的直线与平面α平行？
[提示] 利用线面平行的判定定理，只需在平面β中找到一条与平面α中的直线平行的直线即可．
2．怎样证明两个平面平行？
[提示] 利用面面平行的判定定理，只需平面β中的两条相交直线分别与平面α平行即可．
【例3】 已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．
思路探究：解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．
[解] 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC.
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在，请找出E点位置；若不存在，请说明理由”，该如何解决？
[解] 如图，连接AC、BD交于点O，取PD中点为E，连接OE、AE、CE，则在△PBD中，OE∥PB，又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.此时E为PD中点，故当E为PD中点时，能使PB∥平面ACE.
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略：
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)线线平行线面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理的使用前提条件，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.
1．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
D [由面面平行的定义知，选D.]
2．在三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．在平面内 D．不确定
B [因为AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1 .]
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
CD∥α [因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.]
4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
[证明] 连接AC1交A1C于点F，
则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
课件41张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定平面外此平面内平行两条相交直线直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 线面、面面平行的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题正确的有( )
①如果两个平面不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平行可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]
2．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
D [在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD?α，故选D.]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B [如图，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.]
4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
C [若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．]
5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
A [当直线a?β，B∈a时满足条件，此时过点B不存在与a平行的直线，故选A.]
二、填空题
6．如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
平行 [在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′B′∥AB，AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，∴A′B′∥平面ABC.又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
∴A′B′∥a.]
7．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是________．
相交或平行 [b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]
8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
平行 [若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.]
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.
[证明] 如图所示，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.
求证：平面EFO∥平面PCD.
[证明] 因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，
所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.
又OF?平面PCD，CD?平面PCD，
所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE?平面PCD，PC?平面PCD，
所以OE∥平面PCD.
又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD.
[能力提升练]
1．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
A [∵A1E∥BE1，A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1?平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.]
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
C [由题意作截面如图所示，易知该截面唯一，且E，F分别为AB，D1C1的中点. 又在正方体中，可得A1E＝CE＝CF＝FA1＝，所以四边形A1ECF为菱形．又A1C＝2，EF＝2，故截面面积为2.]
3．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
①②③④ [以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．]
