课件39张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质平行a∥b平面与平面平行性质定理的应用 平行关系的综合应用 ① ② ③点击右图进入…Thank you for watching !2.2.4 平面与平面平行的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理并加以证明．(重点)
2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(重点)
3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点)
通过学习平面与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
直线与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
[提示] 不一定．它们可能异面．
1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]
2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l?β C．l∥β或l?β D．l, β相交
C [假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l?β.]
3．已知平面α∥β，直线a?α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
② [由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]
平面与平面平行性质定理的应用
[探究问题]
1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？
[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？
[提示] 联系如下：
【例1】 如图，已知平面α∥平面β，Pα且Pβ，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
[解] 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.
所以BD＝.
1．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如下图所示)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
2. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝________．
15 [由题可知＝?AC
＝·AB＝×6＝15.]
3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：＝.
[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG.同理AE∥HF，
所以＝＝.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：
平行关系的综合应用
【例2】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：GH∥平面PAD.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．
(2)公理4.
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
2. 证明直线与平面平行的方法：
(1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
[证明] 由于四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH.
∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
1．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
D [如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]
① ② ③
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
D [由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]
3．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H. 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为_____．(填序号)
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
②⑤ [当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]
4．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.
求证：BC＝2EF.
[证明] 因为平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG＝EG，
平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，
又G为AD的中点，故E为AB的中点，
同理可得，F为AC的中点，
所以BC＝2EF.
课时分层作业(十二) 平面与平面平行的性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
A [根据面面平行的性质，知四条交线两两相互平行，故选A.]
2．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
C [根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.]
3．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
D [可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．]
4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．不论A，B如何移动，都共面
C．当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面
D．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
B [如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．]
5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′. 若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A．2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25
C [因为平面α∥平面ABC，A′B′?α，AB?平面ABC，
所以A′B′∥AB．所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.
又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.
同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.]
二、填空题
6．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．
平行或相交 [平行或相交，如图：
]
7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
平行四边形 [因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1. 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD.同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]
8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．
a?β或a∥β [若a?β，则显然满足题目条件．若a?β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a?β，c?β，所以a∥β.]
三、解答题
9．如图所示：ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．
[解] 当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图，取BB1的中点F，连EF、FD、DE，
∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，
∴EF∥AB1，∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
[证明] ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．
[能力提升练]
1．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为( )
A．2 B．4 C． D．5
C [如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，
所以此截面的面积S＝×(＋2)×＝.]
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________．
[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，所以
PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]
