课件43张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定任意一条垂线垂面垂足两条相交直线相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足AO直角直线与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 点击右图进入…Thank you for watching !2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)
1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
图形语言
3.直线和平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围
[0°，90°]
思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
C [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45° [如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
直线与平面垂直的判定
【例1】 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
证线面垂直的方法：
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β.
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
[证明] 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM?α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
直线与平面所成的角
[探究问题]
1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？
[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．
2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
[提示] 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[证明] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
[解] 连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a，
∵E是AB的中点，EO1∥AC，
∴O1是BO的中点，
∴EO1＝AO＝×＝，
B1O1＝＝＝，
∴tan∠EB1O1＝＝＝.
求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
1．线线垂直和线面垂直的相互转化：
2．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
A [若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
A [因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明] 如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C?平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
课时分层作业(十三) 直线与平面垂直的判定
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l?α B．l⊥α
C．l∥α D．l?α或l∥α
D [结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.]
2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
B [根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]
3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
D [如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.]
4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
C [∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，∴l⊥AC.]
5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的( )
A．内心 B．重心
C．外心 D．垂心
C [如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]
二、填空题
6．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°， M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．
AM⊥BC [∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面AA1B1B，又AM?平面AA1B1B，∴AM⊥BC.]
7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
4 [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 综上知： △ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]
8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．
2 [因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
求证：AE⊥BE.
[证明] ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[解] 过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点， AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
[能力提升练]
1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
C [取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.]
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．
[连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.
∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.
∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角，
设BC＝2，则BF＝1，BE＝，
∴sin∠BEF＝＝.]
