课件46张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2 平面与平面垂直的判定两个半平面棱面⊥⊥∠AOB直二面角垂线二面角的计算问题 平面与平面垂直的判定 线线、线面垂直的综合 点击右图进入…Thank you for watching !2.3.2 平面与平面垂直的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)
1. 通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
1．二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：
(4)记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；
③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB．
思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示] 无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β．
(4)判定定理：
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l?β?α⊥β
思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
[提示] 不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
1．如图所示的二面角可记为( )
A．α-β-l B．M-l-N C．l-M-N D．l-β-α
B [根据二面角的记法规则可知B正确．]
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
C [经过l的任一平面都和α垂直．]
3．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于________．
90° [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]
二面角的计算问题
【例1】 如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
[解] 如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．
设点H是△BCD的重心，
则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为.
1．求二面角的大小关键是作出平面角：
求二面角大小的步骤是：
(1)找出这个平面角；
(2)证明这个角是二面角的平面角；
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
2．确定二面角的平面角的方法：
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．
[证明] 因为AC⊥平面 BCD，BD?平面 BCD，
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面 ACD.
因为AD?平面 ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明] (1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法：
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
线线、线面垂直的综合
[探究问题]
1．如图所示，如何作出二面角P-AB-Q的平面角？
[提示] 过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连OP，则∠POH即为二面角P-AB-Q的平面角．
2．线面、面面垂直关系是如何转化的？
[提示] 欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．
【例3】 如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD．
思路探究：(1)欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；
(2)要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．
[证明] 连接AC，设AC∩DB＝O，
连接A1O，OE，
(1)因为AA1⊥底面ABCD，
所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACEA1，
因为A1E?平面ACEA1，所以A1E⊥BD.
(2)在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，
因为BD⊥平面ACEA1，OE?平面ACEA1，
所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.
本例中，条件不变，试求二面角E-BD-C的正切值．
[解] 连接AC交BD于O，连接OE(图略)．
由例题中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.
∴∠EOC为二面角E-BD-C的平面角．
设正方体棱长为a，则CE＝，OC＝a.
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝.
所以二面角E-BD-C的正切值为.
线面、面面垂直的综合问题的解题策略：
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45° [根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面
角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A-BC-A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.]
4．如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明] 因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法：
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；
(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
2．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC?平面ABCD.
∴BC⊥面VAB，
又VA?平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，
∵VA?面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
思路探究：(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．
[证明] (1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝＝a.
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝＝a，
所以DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由＝知B为CN中点，
∴CB＝BN＝2a.
∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，
且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
垂直关系的互化及解题策略：
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．a⊥α B．a∥α
C．a?α D．a?α或a∥α
D [a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α.选D.]
2．已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
D [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m?β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正确．]
3．如图所示，三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B [∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]
4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
[证明] 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC?平面SBC.
所以平面SCD⊥平面SBC.
课时分层作业(十四) 平面与平面垂直的判定
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
D [当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]
2．下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
D [如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为( )
A．60° B．30°
C．45° D．15°
C [由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]
4．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C [因为AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC. 因为CD?平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.]
5．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B-AD-C后，BC＝AB，这时二面角B-AD-C的大小为( )
A．60° B．90° C．45° D．120°
A [∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.]
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
①②?③ [由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.]
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
1 [因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD中∠BDC＝90°又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1.]
8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．
平面与平面垂直的判定定理 [如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.
求证：平面PDC⊥平面PAD.
[证明] 因为PA⊥平面AC，CD?平面AC，
所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD?平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD.
10．如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG?α，∠GAE ＝ 45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小．
[解] 作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，
则GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，
sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH ＝ 45°，二面角α-EF-β的大小为45°.
[能力提升练]
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
D [反例：如图，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.]
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________．
1 [由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]
