课件29张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末复习课空间点、线、面位置关系的判断与证明 空间角的计算问题 折叠问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
C [若直线l∩α＝A，显然有l?α，A∈l，但A∈α.]
2．下面给出了四个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
D [①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直 线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
4．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的 个数为( )
A．0 B．3 C．2 D．1
D [异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的 大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
B [当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B [选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.]
7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点， 则EF的长是( )
A．1 B. C. D.
B [取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝SB＝1，DF＝AC＝1，所以EF＝＝.]
8．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为( )
A. B. C. D.
C [取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF＝，BE＝，BF＝，因为EF2＋BE2＝BF2，所以△BEF为直角三角形，cos θ＝＝.]
9．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则的值为( )
A．3 B．2 C．1 D.
B [连接AD交BE于点O，连接OF, 因为AC∥平面EFB，平面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF. 所以＝. 又因为BD∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以＝＝2. 故＝2.]
10．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B. C. D.
B [如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABC-A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝. 又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.]
11．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G. 给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与② B．①与③ C．②与③ D．③与④
B [由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE?平面EFG，GF?平面EFG，得SG⊥平面EFG，排除C，D，若SE⊥平面EFG，则SG∥SE. 这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.]
12．如图，已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( )
A．7π B．9π C．11π D．13π
D [由圆M的面积为4π得MA＝2，OM2＝42－22＝12?OM＝2，在Rt△ONM中，∠OMN＝30°，∴ON＝OM＝，圆N半径R＝＝，∴S圆N＝13π.故选D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
1 [因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面．]
14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.
平行 [因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC. 又因为AC?平面DEF，EF?平面DEF，所以AC∥平面DEF.]
15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C ∈平面β，且C?l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ， 则β∩γ＝________.
CR [根据题意画出图形，如图，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ. 因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.]
16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
36π [如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S-ABC的体积
V＝×·OA＝，
即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] (1)∵C1C⊥平面ABC，
∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C?平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，
∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD. 试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
[解] 在PC上能找到点E，且满足＝，可使BE∥平面PAD.
证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
所以＝＝，所以＝.
又＝，所以在△PFC中，＝，
所以BE∥PF.
而BE?平面PAD，PF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求二面角M-AC-B的大小．
[解] (1)证明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC.
(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，
连接MH，
因为M是BP的中点，所以MO∥PA，
又因为PA⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，
所以∠MHO为二面角M-AC-B的平面角，设AC＝2，则BC＝2，MO＝1，OH＝，
在Rt△MHO中，tan∠MHO＝＝，
所以二面角M-AC-B的大小为30°.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
[解] (1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
所以PC⊥DC，
因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC，
因为PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以PC⊥AB，
又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC，
因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF(图略)．
因为点E为AB的中点，所以EF∥PA，
因为PA?平面CEF，EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解] (1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，所以cos∠DAP＝＝.
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD⊥PD.
又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝＝2，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.
① ②
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
[解] (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.
又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，∵BE?平面BCDE，
∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C?平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，
∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.
空间点、线、面位置关系的判断与证明
【例1】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.
∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，如图所示．
∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.
又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.
空间平行、垂直关系的转化：
(1)平行、垂直关系的相互转化
(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
空间角的计算问题
【例2】 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解] (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
空间角的求法：
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.
?1?求异面直线所成的角常用平移转化法?转化为相交直线的夹角?.
?2?求直线与平面所成的角常用射影转化法?即作垂线、找射影?.
?3?二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法.
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．
α＜β＜γ [∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，
易证BC⊥平面PAH，
∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，即γ. ∵AB≠AC，
∴AD＞AH，又AC＞AD，
∴AC＞AD＞AH，∴＜＜，
∴tan α＜tan β＜tan γ，
∴α＜β＜γ.]
折叠问题
【例3】 如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q-ABP的体积．
[解] (1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.
又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD，
AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝DC，QE∥DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin 45°＝1.
解决折叠问题的关键和解题步骤：
解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：
⑴平面―→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形.想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化.
⑵空间―→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变.
⑶平面―→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系.
3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
D [∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]
