课件39张PPT。第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率正方向向上正切值0 (0，＋∞) (－∞，0)直线的倾斜角 直线的斜率 直线倾斜角与斜率的综合 点击右图进入…Thank you for watching !
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．
2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．
3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．
2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：
①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：
①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
[提示] 都不对．
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan α．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
斜率
(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.
1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．0° D．无法计算
B [根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A．0° B．45° C．60° D．90°
A [∵k＝＝0，∴θ ＝0°.]
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8 C． D．7
C [由斜率公式可得＝1，解之得m＝.]
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A． B． C．1 D．
A [由题意可知，k＝tan 30°＝.]
直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
D [根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
故选D.]
直线的斜率
【例2】 (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为( )
A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)
C．(2，0) D．(0，－8)
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[0，2]
(1)B (2)D [(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．
(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
(1)－5 (2)1 [(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由题意得＝1，∴m＝1.]
直线倾斜角与斜率的综合
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
[提示] 当k＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角；
当k＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角；
当k＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.
【例3】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
思路探究：
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
将本例变为： 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
[解] 如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
α的大小
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k的范围
0
k＞0
不存在
k＜0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]
2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．
[依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.]
3．经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
(0°，90°] [当m＝1时，倾斜角α＝90°，当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解] l2的斜率为＝1，∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
课时分层作业(十六) 倾斜角与斜率
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°与90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
D [由直线的倾斜角与斜率的概念，知说法A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确．故选D.]
2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
C [直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.]
3．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
C [由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，∴直线l的倾斜角为60°或120°.]
4．若三点A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为( )
A．10 B．－10
C．5 D．－5
A [依题意，kAB＝kAC，即＝，解得x＝10.选A.]
5．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3D [由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k1二、填空题
6．已知A(－1，2)，B(3，2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是________．
(1，6) [设点P(x，y)，则有＝2且＝－2，解得x＝1，y＝6，即点P坐标是(1，6)．]
7．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．
30° [如图所示．
∵直线l的倾斜角为150°，∴绕(－1，0)点逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝.]
8．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
0 [如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.]
三、解答题
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
[解] 由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
10．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
[证明] ∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.∴kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线．
[能力提升练]
1．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )
A． B． C．－ D．－
C [设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.]
2．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
(3，0)或(0，3) [由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3，0)或(0，3)．]
