课件41张PPT。第三章 直线与方程
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程b纵坐标b直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 两直线平行与垂直的应用 点击右图进入…Thank you for watching !3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)
2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)
3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)
通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养.
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
[提示] 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
2．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b．
符号：可正，可负，也可为零．
1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( )
A．2 B．－1 C．3 D．－3
C [由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.]
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
D [由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.]
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
D [由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.]
直线的点斜式方程
【例1】 (1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________．
(3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．
(1)y－5＝x－2 (2)x＝－5 [(1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.]
(3)解：因为直线y＝x的斜率为，
所以倾斜角为30°.
所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.
所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)．
求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
1．已知点A(3，3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．
[解] 因为直线l：y＝x－，
所以该直线的斜率k＝.
(1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线方程为
y－3＝(x－3)．
(2)过点A(3，3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3)．
直线的斜截式方程
【例2】 求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3.
[解] (1)直线的斜率为k＝－4，
在y轴上的截距b＝7，
由直线的斜截式方程知，
所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率为k＝0，
在y轴上的截距为b＝2，
由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.
2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
[解] 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
两直线平行与垂直的应用
[探究问题]
1．已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？
[提示] k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1.
2．若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？
[提示] 平行或重合．
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线y2：y＝4x－3垂直？
思路探究：
―→→
[解] (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
两条直线平行和垂直的判定
(1)平行的判定．
(2)垂直的判定．
3．经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的斜截式方程为________．
y＝2x－1 [由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.]
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为________．
y＝x＋3 [设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
所以kBC·kAD＝－1，所以·kAD＝－1，解得kAD＝.
所以BC边上的高所在直线的方程是y－0＝(x＋5)．即y＝x＋3.]
1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C [直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.]
2．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＋2＝(x－3) B．y－2＝(x＋3)
C．y－2＝(x＋3) D．y＋2＝(x＋3)
C [直线的斜率k＝tan 60°＝，故其方程为y－2＝(x＋3)．选C.]
3．直线y＝(x－)的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A．， B．，－3
C．，3 D．－，－3
B [由直线方程知直线斜率为，
令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.
故选B.]
4．已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
y－1＝－(x－2) [直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]
5．直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
[解] 直线y＝x＋的斜率k＝，则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.
所以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－.
所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．
课时分层作业(十八) 直线的点斜式方程
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为( )
A．a＋b B．2a－b
C．b－2a D．|2a－b|
C [由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.]
2．直线y＝ax－的图象可能是( )
A B C D
B [由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．]
3．直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点( )
A．(－1，2) B．(2，1)
C．(1，－2) D．(1，2)
C [直线y－2m＝m(x－1)的斜率为m，由于两条直线垂直，故m＝－1.故直线方程为y＋2＝－(x－1)，过点(1，－2)．]
4．经过点(0，－1)且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线方程为( )
A．2x＋3y＋3＝0 B．2x＋3y－3＝0
C．2x＋3y＋2＝0 D．3x－2y－2＝0
A [∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－，与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－，∴经过点(0，－1)且斜率为－的直线，其斜截式方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A.]
5．直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
B [直线斜率为1，又过点(0，－1)，故其方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.]
二、填空题
6．设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a＝________．
－2或1 [由l1∥l2得－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1.]
7．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
y＝－3x＋2 [∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，
所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.]
8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
[－2，2] [b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2，2]．]
三、解答题
9．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(，－1)；
(2)在y轴上的截距是－5.
[解] ∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
(1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，
∴所求直线方程是y＋1＝(x－)．
(2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
10．根据条件写出下列直线方程的斜截式．
(1)经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2；
(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．
[解] (1)法一：易知直线的斜率存在，
设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3，4)在直线上，
∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
法二：由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，
则直线的斜率k＝＝4，
由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，
∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，
直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，
所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
[能力提升练]
1．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有( )
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
B [由于直线过第一、三、四象限，故k＞0，b＜0.]
2．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且与x，y轴交点的横、纵坐标之和为的直线l的方程为________．
y＝－x＋ [由题意知，直线l的斜率为－，设其方程为y＝－x＋b，分别令x＝0，y＝0，得直线在y，x轴上的截距分别为b，b，则b＋b＝，解得b＝，故直线l的方程为y＝－x＋.]
