课件49张PPT。第三章 直线与方程
3.2 直线的方程
3.2.3 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0直线的一般式方程 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 与含参数的一般式方程有关的问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.2.3 直线的一般式方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线的一般式方程．(重点)
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.
直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
[提示] (1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.]
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
D [方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 故选D．]
3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.]
4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是________．
3x＋2y－6＝0 [由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.]
直线的一般式方程
【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，
即x＋y－1＝0.
求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．
1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A． B．－5 C． D．－3
(1)B (2)D [(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．
又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．
(2)令y＝0则x＝－3.]
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] 法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解] 法一：由题设l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
与含参数的一般式方程有关的问题
[探究问题]
1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标．
[提示] kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1)．
2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？
[提示] 若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足k>0且b≥0.
【例3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
[解] (1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，
而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A. 以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.
1．本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
[解] 由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a ≤3.
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a>1.
综上可知a≥1.
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点．
1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
1．直线＋＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
C [直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.]
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
C [由ax＋by＝c，得y＝－x＋，∵ab<0，bc<0，
∴直线的斜率k＝－>0，直线在y轴上的截距<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．]
3．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
D [y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为
b＝c＝0，a≠0.]
4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
[点斜式方程：y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程：y＝x－4，一般式方程x－y－4＝0.]
5．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
[解] (1)∵l1∥l2，∴
解得a＝2.
(2)l1⊥l2得a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－.
课时分层作业(二十) 直线的一般式方程
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．2 C．1 D．
D [由题意得直线与坐标轴交点为(1，0)，(0，－1)，故三角形面积为.]
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
D [通过直线的斜率和截距进行判断．]
3．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为( )
A． B．－6 C．－ D．6
B [令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，
∴＝3，∴m＝－6.]
4．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是( )
A B C D
C [由ac<0，bc<0，∴abc2>0，∴ab>0，∴斜率k＝－<0，又纵截距－>0，故选C.]
5．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m，3)的直线与直线x＋3y－1＝0平行，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．10 D．－10
A [∵kAB＝，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－，∴由题意得＝－，解得m＝4.]
二、填空题
6．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________．
1或－3 [因为两直线垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3.]
7．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m＋n＝________．
－7 [将方程mx＋ny＋1＝0化为斜截式得y＝－x－.由题意得－＝－，且－＝，解得m＝－4，n＝－3. 故m＋n＝－7]
8．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
x－3y＋24＝0 [由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.]
三、解答题
9．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
[解] (1)∵直线过点P′(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6.
解得m＝3或m＝1.
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，
∴m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
[解] (1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0，
将点C(2，0)代入上式得m＝－4，所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2，0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
[能力提升练]
1．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
15x－3y－7＝0 [因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B.此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0.即－5x＋y＋＝0，故所求直线的方程为15x－3y－7＝0.]
2．已知坐标平面内两点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
3 [由题可知直线AB的方程为＋＝1，
若P点坐标为(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，故xy的最大值为3.]
