3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)
3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)
通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
1．点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 要求直线的方程应化为一般式．
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
D [d＝＝.]
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3 B．2 C．1 D．
C [d＝＝1.]
3．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4 [由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4.]
点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
1．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．
[解] 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
(1) (2)2x－y＋1＝0 [(1)由题意，得＝，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.]
求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
[解] ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，
或5x－12y－33＝0.
距离公式的综合应用
[探究问题]
1. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？
[提示] 如图所示，显然有0 2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？
[提示] 当d取最大值时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
[解] 由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
[解] 由可得交点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.
由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题．
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题．
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题．
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式．
2．对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)．
(2)两条平行直线间的距离公式．
除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝.
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11
B [两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11.]
3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是( )
A．(a－b) B．b－a C．(b－a) D．
C [∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0. ∴a－b<0. ∴点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．]
4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
x－2y＋2＝0 [由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.]
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
[解] 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
课件44张PPT。第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离垂足公垂线段点到直线的距离 两条平行线间的距离 距离公式的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二) 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A． B． C．2 D．
C [|OP|最小即OP⊥l，∴|OP|min＝＝2.]
3．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
B [联立得∴两直线交点为(0，1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．]
3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2，4)
C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)
C [直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.]
4．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A． B．－
C．－或－ D．－或
C [由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－.故选C.]
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A． B． C．4 D．2
B [∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.]
二、填空题
6．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．
a>7或a<－3 [根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.]
7．与两平行线l1：3x＋4y－10＝0和l2：3x＋4y－12＝0距离相等的直线l的方程为________．
3x＋4y－11＝0 [设P(x，y)是所求直线上任一点，则＝，化简得3x＋4y－11＝0，即为所求直线的方程．]
8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
3 [直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，
∴|PQ|min＝3.]
三、解答题
9．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
[解] 由直线方程的两点式得直线BC的方程为
＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
[解] 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，
∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
[能力提升练]
1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3 B．2 C．3 D．4
A [由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.]
2．点P(2，3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1
C [直线恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.]
3．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________．
x－y＋10＝0或x－y－10＝0 [因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.]
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．
(5，－3) [由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，
直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，
解方程组得
∴所求点的坐标为(5，－3)．]
5．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
[解] 由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：
当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：
＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离
d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
