课件39张PPT。第三章 直线与方程章末复习课直线的倾斜角与斜率 直线五种形式的方程的应用 两条直线的位置关系 距离公式的应用 对称问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 直线与方程
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-y=0的倾斜角为( )
A.45° B.60° C.90° D.135°
A [因为直线的斜率为1,所以tan α=1,即倾斜角为45°.故选A.]
2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为( )
A.12 B.10
C.-8 D.-6
B [将点(2,-1)代入3x+my-1=0可求得m=5,将点(2,-1)代入4x+3y-n=0,得n=5,所以m+n=10,故选B.]
3.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为,则m,n的值分别为( )
A.4和3 B.-4和3
C.-4和-3 D.4和-3
C [由题意知:-=-,即3m=4n,且有-=,∴n=-3,m=-4.]
4.已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是( )
A.y=-x B.y=-(x-4)
C.y=(x-4) D.y=(x+4)
C [由题意知∠A=∠B=60°,故直线BC的倾斜角为60°,∴kBC=tan 60°=,则BC边所在的直线方程为y=(x-4).]
5.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是( )
A.-2 B.-7
C.3 D.1
C [由已知条件可知线段AB的中点在直线x+2y-2=0上,把中点坐标代入直线方程,解得m=3.]
6.已知直线(3k-1)x+(k+2)y-k=0,则当k变化时,所有直线都通过定点( )
A.(0,0) B. C. D.
C [直线方程变形为k(3x+y-1)+(2y-x)=0,则直线通过定点. ]
7.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
A [由已知得A(-1,0),P(2,3),由|PA|=|PB|,得B(5,0),由两点式得直线PB的方程为x+y-5=0.]
8.点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,则a+b等于( )
A.-1 B.1
C.2 D.0
A [∵点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,∴点P(a,b)在直线l上,∴a+b+1=0,即a+b=-1.]
9.已知点A(1,1),B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等,则l的方程为( )
A.2x-y-3=0
B.x=2
C.2x-y-3=0或x=2
D.以上都不对
C [当A,B都在l的同侧时,设l的方程为y-1=k(x-2),此时,AB∥l,所以k=kAB==2,l的方程为2x-y-3=0. 当A,B在l的两侧时,A,B到x=2的距离相等,因此,l的方程为x=2,故选C.]
10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
A.①③ B.①④
C.②③ D.③④
C [对于①,d1==3>4;对于②,d2=2<4;对于③,d3==4;对于④,d4==>4,所以符合条件的有②③.]
11.等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是( )
A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)
C.(4,6) D.(0,2)
A [设B(x,y),根据题意可得
即
解得或,所以B(2,0)或B(4,6).]
12.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点( )
A.(2,0) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-2,0)
C [∵l1:kx=x+y-2,由,得l1恒过定点(0,2),记为点P,∴与l1关于直线y=x+1对称的直线l2也必恒过一定点,记为点Q,且点P和Q也关于直线y=x+1对称.令Q(m,n),则?,即Q(1,1),∴直线l2恒过定点(1,1),故选C.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角,则实数a的取值范围是________.
(-2,1) [k==<0,得-2<a<1. ]
14.若点A(4,-1)在直线l1:ax-y+1=0上,则l1与l2:2x-y-3=0的位置关系是________.
l1⊥l2 [将A(4,-1)点的坐标代入ax-y+1=0,
得a=-,则kl1·kl2=-×2=-1,∴l1⊥l2.]
15.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为________.
3 [的最小值为原点到直线3x+4y=15的距离:d==3.]
16.若直线l被直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为2,则直线l的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________.
15°或75° [易求得平行线l1,l2之间的距离为=. 画示意图(图略)可知,要使直线l被l1,l2截得的线段长为2,必须使直线l与直线l1,l2成30°的夹角.
∵直线l1,l2的倾斜角为45°,∴直线l的倾斜角为45°-30°=15°或45°+30°=75°.]
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l经过点P(-2,5)且斜率为-.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
[解] (1)直线l的方程为:y-5=-(x+2),整理得3x+4y-14=0.
(2)设直线m的方程为3x+4y+n=0,
d==3,
解得n=1或-29.
∴直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
18.(本小题满分12分)直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.
[解] 若l在两坐标轴上截距为0,
设l:y=kx,即kx-y=0,则=3.
解得k=-6±.
此时l的方程为y=x;
若l在两坐标轴上截距不为0,
设l:+=1,即x+y-a=0,则=3.
解得a=1或13.
此时l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.
综上,直线l的方程为
y=x或x+y-1=0或x+y-13=0.
19.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)DC边所在直线的方程.
[解] (1)由题意:ABCD为矩形,则AB⊥AD,
又AB边所在的直线方程为:x-3y-6=0,
∴AD所在直线的斜率kAD=-3,
而点T(-1,1)在直线AD上.
∴AD边所在直线的方程为:3x+y+2=0.
(2)由ABCD为矩形可得,AB∥DC,
∴设直线CD的方程为x-3y+m=0.
由矩形性质可知点M到AB,CD的距离相等,
∴=,
解得m=2或m=-6(舍).
∴DC边所在的直线方程为x-3y+2=0.
20.(本小题满分12分)已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求点D坐标使四边形ABCD为等腰梯形.
[解] 设所求D点坐标为(x,y),
(1)若AD∥BC,|AB|=|CD|,
则
解得或(不合题意,舍去)
(2)若AB∥CD,|BC|=|AD|,
则
解得或(不合题意,舍去)
综上,得点D的坐标为(2,3)或.
21.(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l1:3x-y+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标;
(2)求反射光线所在的直线l3的方程;
(3)求与直线l3的距离为的直线方程.
[解] (1)由得
∴M(-2,1).
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(-2,-1).
(2)易知l3经过点P与点N,
∴l3的方程为=,即x-3y-1=0.
(3)设与l3平行的直线为y=x+b.
根据两平行线之间的距离公式,得=,
解得b=3或b=-,
∴与直线l3的距离为的直线方程为y=x-或y=x+3,即x-3y-11=0或x-3y+9=0.
22.(本小题满分12分)△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.
(1)求直线AB的方程;
(2)求直线BC的方程;
(3)求△BDE的面积.
[解] (1)由已知得直线AB的斜率为2,
∴AB边所在的直线方程为y-1=2(x-0),
即2x-y+1=0.
(2)由得
即直线AB与直线BE的交点为B.
设C(m,n),则由已知条件得
解得∴C(2,1).
∴BC边所在直线的方程为=,
即2x+3y-7=0.
(3)∵E是线段AC的中点,∴E(1,1).
∴|BE|==,
由得∴D,
∴D到BE的距离为d==,
∴S△BDE=·d·|BE|=.
直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1与l2垂直,求l1,l2的斜率.
(2)已知某直线l的倾斜角α=45°,又P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值.
[解] (1)由图形可知,α2=α1+90°,则k1,k2可求.
直线l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=.
∵直线l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,
∴直线l2的斜率k2=tan 120°=-.
(2)由α=45°,故直线l的斜率k=tan 45°=1,
又P1,P2,P3都在此直线上,故kP1P2=kP2P3=kl,
即==1,解得x2=7,y1=0.
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角,关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角,同时应明确倾斜角的范围.
(2)当直线的倾斜角α∈[0°,90°)时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈(90°,180°)时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
1.(1)若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于________.
(2)如果直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为________.
(1)-9 (2)30° [(1)∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC.
∴=,即b=-9.
(2)因为直线l1的倾斜角为150°,所以∠BCA=30°,所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°.]
直线五种形式的方程的应用
【例2】 已知△ABC中,A(1,3),AB,AC边上中线方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在的直线方程.
思路探究:本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标,然后利用两点式可求出各边的方程.
[解] 设AB,AC边的中线分别为CD,BE,其中D,E为中点,
∵点B在中线y-1=0上,
∴设点B的坐标为(xB,1).
∵点D为AB的中点,又点A的坐标为(1,3),
∴点D的坐标为.
∵点D在中线CD:x-2y+1=0上,
∴-2×2+1=0,∴xB=5.
∴点B的坐标为(5,1).
∵点C在直线x-2y+1=0上,
∴设点C的坐标为(2t-1,t).
∴AC的中点E的坐标为.
∵点E在中线BE:y=1上,
∴=1,∴t=-1.
∴点C的坐标为(-3,-1),
∴△ABC各边所在直线的方程为AB:x+2y-7=0,BC:x-4y-1=0,AC:x-y+2=0.
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.
2.过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
[解] (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,满足题意;
(2)当直线的斜率存在时,设其斜率为k,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.
令y=0,分别得x=-1,x=-.
由题意=1,即k=1.
则直线的方程为y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0
综上可知,所求的直线方程为x=-1,x=0,或x-y+1=0,x-y+2=0.
两条直线的位置关系
【例3】 已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
[解] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)·1=0.
即a2-a-b=0, ①
又点(-3,-1)在l1上,
∴-3a+b+4=0. ②
由①②解得a=2,b=2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1-a,
∴l1的斜率也存在,=1-a,即b=.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1:(a-1)x+y+=0,
l2:(a-1)x+y+=0.
∵原点到l1与l2的距离相等,
∴4=,解得a=2或a=.
因此或
直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法:两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.
(2)注意点:解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况.
3.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
[解] (1)若l1∥l2,
则
∴a=-1.
∴a=-1时,l1∥l2.
(2)当l2的斜率不存在时,a=1.
则l2:x=0,l1:x+2y+6=0.
显然l1与l2不垂直.
当l2斜率存在时,a≠1.
则k2=,k1=-.
∵l1⊥l2,
∴k1·k2=·=-1.
∴a=.
距离公式的应用
【例4】 已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
所以=3,
即2λ2-5λ+2=0,所以λ=或λ=2.
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交点P(2,1),过P作任一直线l(图略),设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=|PA|=.
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离,点到直线的距离,两平行直线间的距离.
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.
(3)这类问题是高考考查的热点,在高考中常以选择题、填空题出现,主要考查距离公式以及思维能力.
4.若P、Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
C [因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.]
对称问题
[探究问题]
1.怎样求点关于点的对称点?
[提示] 设出所求点坐标,利用中点坐标公式求解.
2.怎样求点关于直线的对称点坐标?
[提示] 设出所求点坐标(x, y),利用中点坐标公式建立关于x, y的第一个方程,再利用垂直关系建立x, y的另一个方程,然后通过联立方程解二元一次方程组求解.
【例5】 光线通过点A(2, 3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
[解] 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0,y0),则
解之得,A′(-4,-3).
由于反射光线经过点A′(-4,-3)和B(1,1),
所以反射光线所在直线的方程为
y-1=(x-1)·,即4x-5y+1=0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y-3=(x-2)·,即5x-4y+2=0.
综上,入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x-4y+2=0;4x-5y+1=0.
1.点关于直线对称的点的求法
点N(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点
M(x,y)可由方程组求得.
2.直线关于直线的对称的求法
求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于直线l的对称点,再用两点式求出l2的方程.
5.已知△ABC的顶点A(3,-1),∠B,∠C的角平分线方程分别是x=0,y=x,求BC边所在的直线方程.
[解] 如图,设点A关于直线BO,CD的对称点分别为A1,A2. 因为A(3,-1),且∠B的平分线方程为x=0,故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(-3,-1).
又因为∠C的平分线CD的方程为y=x,所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(-1,3).
而A1(-3,-1),A2(-1,3)两点都在直线BC上,由此可得直线BC的方程为2x-y+5=0.