课件42张PPT。第四章 圆与方程4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程的概念 求圆的一般方程 与圆有关的轨迹方程问题 点击右图进入…Thank you for watching !4.1.2 圆的一般方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)
2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)
1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．
2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．
思考：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？
[提示] 不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
D [－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．]
2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )
A．k≤ B．k＝
C．k≥ D．k<
D [方程表示圆?1＋1－4k>0?k<.]
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.]
4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
[因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.]
圆的一般方程的概念
【例1】 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．
∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆．
求圆的一般方程
【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，
B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
待定系数法求圆的方程的解题策略：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴·＝－1，
即E－3D－36＝0. ①
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0， ②
8D＋6E＋F＋100＝0. ③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
与圆有关的轨迹方程问题
[探究问题]
1．已知点A(－1，0), B(1，0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？
[提示] 线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x＝0.
2．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示] 设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
【例3】 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
思路探究：(1)→
→
(2)→→
→
[解] (1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求轨迹方程的一般步骤：
(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)；
(2)列出点M 满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴ ①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9. ②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
A [方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________．
点P在圆C外部 [将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外部．]
3．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．
x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可．]
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
4 [由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4.]
5．已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
[解] 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
课时分层作业(二十四) 圆的一般方程
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．－3
B [圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，即a＝1.]
2．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B．
C．(－1，2) D．
D [圆的方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，∴圆心坐标为.]
3．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
B [由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.]
4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )
A．a＝0，b≠0，c≠0 B．b＝c＝0，a≠0
C．a＝c＝0，b≠0 D．a＝b＝0，c≠0
B [符合条件的圆方程为＋y2＝，即x2＋y2＋ax＝0，∴b＝0，a≠0，c＝0.]
5．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
B [由题意知，圆心(1，0)到P点的距离为，所以点P在以(1，0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B.]
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
(2，－3) [由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得
所以点B的坐标为(2，－3)．]
7．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y＝－x上；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是________．(要求写出所有正确命题的序号)
①③ [将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确．]
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝9 [设圆心为M(x，y)，由│AB│＝6知，圆M的半径r＝3，则│MC│＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
[解] 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20. ②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
[解] (1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4，5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心C坐标为(2，7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
[能力提升练]
1．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A． B． C． D．
A [圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，ab的取值范围是，故选A.]
2．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
B [设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.]
3．圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)、B(3，－1)的圆的一般方程是________．
x2＋y2－4x－4y－2＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是， 由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.]
4．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是________．
3－ [直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，S△ABC＝×|AB|×＝×2×＝3－.]
5．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
[解] (1)已知方程可化为
(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1.
即t的取值范围是.
(2)r＝＝.
当t＝∈时，rmax＝，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是＋＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内，化简得8t2－6t＜0，
即0＜t＜.故t的取值范围是.
