课件41张PPT。第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系两个一个没有两一零＜＝＞＞＝＜直线与圆的位置关系 求圆的切线方程 直线与圆的相交问题 点击右图进入…Thank you for watching !4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
B [圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B．
C． D．2
D [直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]
3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
4 [由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.]
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
直线与圆位置关系判断的三种方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
A [将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．]
求圆的切线方程
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
思路探究：→
[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？
[解] 因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，
所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，
又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，
故所求切线的方程为y＝1.
2．若本例的条件不变，求其切线长．
[解] 因为圆心C的坐标为(3，1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
圆的切线的求法：
(1)点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
直线与圆的相交问题
[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
思路探究：法一：
法二：
[解] 法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝.
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
l＝2＝，所以截得的弦长为.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
[解] 由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为， 所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
求弦长常用的三种方法：
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]
2．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．2 B．±
C．1 D．±1
B [由题意得＝1，所以a＝±，故选B.]
3．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
课时分层作业(二十五) 直线与圆的位置关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1 B．2 C． D．2
C [由圆的方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1，0)，故圆心到直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距离d＝＝.]
2．圆心为(3，0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
B [由题意知所求圆的半径r＝＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.]
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C [圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.]
4．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
D [圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选D.]
5．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，又r＝3，故有3个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1.]
二、填空题
6．若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
x＋2y－5＝0 [设切线斜率为k，则由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－，又∵P(1，2)，∴切线方程x＋2y－5＝0.]
7．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
2 [设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴半弦长＝＝＝，∴最短弦的长为2.]
8．过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．
2x－4y＋3＝0 [当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB.由于C(1，0)，P，∴kCP＝－2，∴kAB＝，∴直线l方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.]
三、解答题
9．已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．
[解] 设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
则由
?
故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离
d＝＝3，
所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
10．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解] 设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|.
∵圆心到直线y＝x的距离为＝|m|，
由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
[能力提升练]
1．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是 ( )
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
A [∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝.∴圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝<2，
∴直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交，又∵点(0，0)不在直线ax＋by＋c＝0上，故选A.]
2．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
B [圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]
3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________．
x－y＋5＝0 [由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.]
4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
4± [圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为. 因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±.]
5．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
[解] (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
