课件38张PPT。第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系相离外切相交内切内含相交内切或外切外离或内含圆与圆的位置关系的判断 两圆相切问题 两圆相交的问题 点击右图进入…Thank you for watching !4.2.2 圆与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点)
2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系. (重点、难点)
通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜
d＜r1＋r2
d＝r1－r2
0＜d＜
|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
[提示] 两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
B [圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝2．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
外切 [C1(1，2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．]
3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y＝0 [(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0， ①
又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0， ②
①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程．]
圆与圆的位置关系的判断
【例1】 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
|－1|＞5，
即34＜k＜50时，两圆外离．
判断圆与圆的位置关系的一般步骤：
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
C [法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
法二：(代数法)联立方程
解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．]
两圆相切问题
【例2】 (1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.
思路探究：??
(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 (2)2或－5 [(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1, m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.]
处理两圆相切问题的两个步骤：
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解] 已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得解得
或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
两圆相交的问题
【例3】 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.
思路探究：?
?
[解] 设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标是方程组的解，
两式相减得x＋y－1＝0.
因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，
所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.
1．本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？
[解] 由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－＝，所以公共弦长为2×＝.
2．本例中若将圆C3的方程“(x－1)2＋(y－1)2＝”改为“(x－1)2＋(y－1)2＝4”，其他条件不变，又如何求解呢？
[解] 由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1，1)，其到直线l的距离d＝＝，由条件知，r2－d2＝4－＝，
所以弦长为2×＝.
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
B [因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C [AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.]
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________．
1 [将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.]
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．
[解] 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
课时分层作业(二十六) 圆与圆的位置关系
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
C [两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得＝3＋2，解得m＝2或－5.]
2．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切 B．相交
C．内切或内含 D．外切或外离
D [两圆的圆心距为d＝＝，两圆的半径之和为r＋4，因为＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选D.]
3．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [∵圆C1的圆心C1(－2，2)，半径为r1＝1，圆C2的圆心C2(2，5)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2. ∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．]
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
D [由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.]
5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )
A．60° B．45° C．120° D．90°
D [圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2.
圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝.
设公共弦所对的圆心角是2θ，则
cos θ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.
选D.]
二、填空题
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
a2＋b2＞3＋2 [由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.]
7．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
x2＋y2－x－2y＝0 [设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.]
8．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
4 [如图所示，在Rt△OO1A中，
|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.]
三、解答题
9．求圆心为(2，1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0， ①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0， ②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．
[解] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，
即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
[能力提升练]
1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为( )
A．4 B．4－1 C．2－2 D．2
D [∵|CC′|＝5＜8－1＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为8－|CC′|－1＝2.]
2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
A [以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．]
3．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
外切 [因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，
所以a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则d＝|C1C2|＝＝＝2，
所以d＝r1＋r2.所以两圆外切．]
4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4关于直线l对称，则直线l的方程为________．
x－y＋2＝0或x＋y＝0 [两圆的圆心分别为O(0，0)，C(－2，2)，由题意，知l为线段OC的垂直平分线或直线OC，故其方程为x－y＋2＝0或x＋y＝0.]
5．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解] 假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB，设直线l的方程为y＝x＋b，
则
消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
设此方程两根为x1，x2，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ>0.
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1.
