2.3 幂函数 小结测试（解析版）

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2.3 幂函数 单元测试
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1.下列函数中，定义域为(0,+∞)的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】对于A中，函数，所以函数的定义域为；
对于B中，函数，所以函数的定义域为；
对于C中，函数，所以函数的定义域为；
对于D中，函数，所以函数的定义域为，故选D.
2.已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )
A. -1，3 B. ，3 C. -1，，3 D. ，，3
【解析】因为在上单调递增，所以，排除选项；
当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除，
故选B.
3.函数的图象为( )
A． B． C． D．
【解析】由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．
再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，
从而得到应选A，
故选：A．

4.已知幂函数的图象经过点，则幂函数具有的性质是（ ）
A. 在其定义域上为增函数 B. 在其定义域上为减函数
C. 奇函数 D. 定义域为
【解析】设幂函数，幂函数图象过点，
，
，
由的性质知，是非奇非偶函数，值域为，
在定义域内无最大值，在定义域内单调递增，故选A.
5.若函数是幂函数，且满足，则( )
A. B. C. D. -3
【解析】 由题意，设为常数）
因为满足，所以，所以，所以，
所以，故选A.
6.若a>b，则（ ）
A．ln(a?b)>0 B．3a<3b
C．a3?b3>0 D．│a│>│b│
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
7.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】函数在上是减函数，在上是减函数，，设t=x+1,故得到在上单调增，内层也是增函数，故函数在上是增函数；在上是减函数.
故答案为：C.
8.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数则（ ）
A. 0 B. 2018 C. 4036 D. 4037
【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，
因此，
因此 选D.
9.幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
【解析】由题意得：

解得,
∴m=4．
故选：C．


10.已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可得：，解得：
所以
因为，，.
又，
所以
由在上递增，可得：.
所以.
故选：D

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .
【解析】∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.
12.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，则m=____________．
【解析】因为f(x)为幂函数且关于轴对称，且在上是减函数，所以,所以m=0,1,2经检验可知m=1时，符合题目要求，所以m=1.

13.若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为 ．
【解析】由题意得额，因为函数是幂函数，所以，所以函数，令，即，所以过定点．
14.若对任意的，均有，则的取值范围是_______________.
【解析】构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数，故等价于对任意的恒成立，即x-a,代入得到的取值范围是.
故答案为：.
15.若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.
【解析】为幂函数，所以，解得或-1.
当时， ，此时在上为增函数，
当时， ，此时在上为减函数，不符合题意.
故答案为：2.
16．若函数f(x)是幂函数，且满足，则 ，函数过定点 ．
【解析】设，则，得，；
，则当时，，所以过定点.
17. 已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是 ．
【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即．

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18. 已知函数为幂函数，且为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数在的值域．
【解析】（1）∵函数为幂函数
∴ 解得
又∵奇函数 ∴
（2）由（1）可知
令=t，则
得值域为
19．已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意得：，解得或
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
∴．
（2）由（1）可知，当时，单调递增，∴，∵，∴，∴．故实数的取值范围是．
20．如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．

（1）求的解析式；
（2）比较与的大小；
（3）已知，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得解得∴
因为，所以，即．
（3）由题意，
所以解得，
所以的取值范围是．
21. 已知幂函数(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．
【解析】　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴m－3<0，解得m<3．∵m∈N＋，∴m＝1,2．
又函数的图象关于y轴对称，∴m－3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m＝1．
而在，上均为减函数，
∴等价于
，或，或．
解得．
故的取值范围为．
22.设幂函数的图像过点．
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值．
【解析】（1）；过点，则
（2）由（1）知，则
当时，在单调递减，；
当时，
当时，在单调递增，
综上，的值为．
























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