2.2.3.1直线与圆的位置关系:29张PPT

课件29张PPT。2.3　直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时　直线与圆的位置关系1.能根据给定直线及圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.会求过一点的圆的切线方程.
3.能利用直线方程和圆的方程解决一些有关圆的简单问题.其中,Δ为联立直线方程与圆的方程消元后得到的一元二次方程根的判别式.【做一做1】 直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是(　　)
A.相交但直线不过圆心
B.相切
C.相交且直线过圆心
D.相离
解析:圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.圆心到直线的距离
答案:D题型一题型二题型三题型四【例1】 已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求出它们交点的坐标.
解:方法一:由直线与圆的方程得方程组
消去y,得x2-3x+2=0.
∵Δ=(-3)2-4×1×2=1>0,
∴直线与圆相交,有两个交点.
由方程组解得交点坐标为(2,0),(1,3).题型一题型二题型三题型四反思若仅判断直线和圆的位置关系,则可直接利用几何法,即比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小;若需要求解直线和圆的交点坐标,则应该利用代数法,即解由直线方程和圆的方程组成的方程组.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案:B题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四即12x-5y-9=0.
②若直线l的斜率不存在,
则直线l的方程为x=2也符合题意.
∴所求直线l的方程为x=2.
综上①②可知,所求直线l的方程为
12x-5y-9=0或x=2.题型一题型二题型三题型四反思1.求过圆上一点的圆的切线方程的一般步骤:
(1)求切点与圆心连线的斜率k(k存在且k≠0);
(2)由垂直关系得切线斜率为
(3)代入点斜式方程得切线方程.
2.求过圆外一点的圆的切线方程的方法:
(1)几何法
当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切.题型一题型二题型三题型四(2)代数法
当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切.
特别地,当过点(a,b)的切线的斜率不存在时,可由图形直接得切线方程为x=a.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5),求过点A且与圆C相切的切线方程.
解:圆C:x2+y2-4x-6y+12=0化为标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1,圆心为C(2,3),半径r=1,因为(3-2)2+(5-3)2>1,所以点A在圆外,切线应该有两条.
当切线的斜率不存在时,有直线方程x=3,C(2,3)到直线的距离为3-2=1,满足条件;
当切线的斜率存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,题型一题型二题型三题型四【例3】 过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.
分析:设出直线l的方程,由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成直角三角形求解.注意讨论斜率存在与否.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思设出所求直线的方程,利用半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形来确定所需未知系数,最后写出所需结论.对题目进行正确的分析,可以帮助我们寻找解题的正确思路和捷径,可以提高我们分析和解决问题的能力,为我们今后进一步学习数学奠定良好的基础.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程.
解:方法一:当斜率不存在时,直线x=4不能满足题设要求.
当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线为y+2=k(x-4),即y=k(x-4)-2,代入圆的方程得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
∵1+k2≠0,Δ>0,可设两个交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
∴所求直线的方程是2x+y-6=0.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四方法三:由几何性质知,圆心与点A的连线与弦所在直线垂直,由此可知弦所在直线的斜率.
由圆心O(2,-3),A(4,-2),得kOA= ,
所以k=-2.
所以所求直线的方程是2x+y-6=0.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程.
解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.
当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,由于直线与圆相切,
又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.
综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.1 2 3 4 51.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.相交且直线过圆心
D.相离
解析:圆心 (0,0)到直线y=x+1的距离为 ,圆的半径r=1,
∵0∴直线与圆相交但不过圆心.
答案:B1 2 3 4 52.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A.x+y- =0
B.x+y+1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+ =0
解析:因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y=x+1,
所以k·1=-1.所以k=-1.
设直线l的方程为y=-x+b(b>0),
即x+y-b=0,
答案:A1 2 3 4 5答案:C 1 2 3 4 54直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.? 1 2 3 4 51 2 3 4 55已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),求过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积.