第二章解析几何初步 本章整合:35张PPT
文档属性
| 名称 | 第二章解析几何初步 本章整合:35张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-14 16:01:13 | ||
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文档简介
课件35张PPT。本章整合专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1 待定系数法
若所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的全部或部分系数是待定的,我们可以根据题中的条件来确定这些系数.这种解决问题的方法就是待定系数法.直线和圆的方程常用待定系数法来求解.
选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式方程或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
提示:先利用已知两直线的方程设出所求直线方程,再用点到直线的距离公式求解.
解:很显然所求直线不为直线3x-y=0,故可设过两条直线交点的直线系方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,
即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
∵原点到所求直线的距离为1,
解得λ2=9,∴λ=±3.
∴所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意列出方程组
所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题2 直线系方程的应用
常见的直线系方程.
(1)平行直线系:y=kx+b(k为常数,b为变数),表示一组斜率为k的平行直线.
(2)共点直线系:y-y0=k(x-x0)(定点(x0,y0),k为变数),表示一组过定点(x0,y0)的直线(不包括直线x=x0).
(3)过直线l1,l2交点的直线系:设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示一组过l1,l2交点的直线(不包括l2).专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用求满足下列条件的直线的方程:
(1)过点(2,-1)且与直线3x-4y-2=0平行;
(2)与直线3x+4y+2=0垂直且与两坐标轴围成的三角形面积为6.
解:(1)设所求直线为3x-4y+m=0, ∵直线过点(2,-1),
∴3×2+4+m=0.
∴m=-10.故所求直线为3x-4y-10=0.
(2)设所求直线为4x-3y+m=0,与两坐标轴交点为
∴m=±12,即所求直线为4x-3y+12=0或4x-3y-12=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题3 圆的几何性质的应用
圆是一种特殊图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形,圆心是对称中心,任意一条直径所在直线都是对称轴.圆具有许多重要的几何性质,如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点的连线垂直于弦;切线长定理;切割线定理;直径所对的圆心角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量.另外,对于未给出图形的题目,要边读题边画图,这样能更好地体会圆的几何性质,有助于找到解题思路.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得的弦长为8的圆的方程是( )
A.x2+y2=5 B.x2+y2=16
C.x2+y2=4 D.x2+y2=25
提示:利用圆的几何性质,半径、半弦长和弦心距构成直角三角形,由勾股定理求解.
解析:设圆的半径为r,圆心O到直线3x+4y+15=0的距离
,由题意得d2+42=r2,所以r2=32+42=25.所以圆的方程是x2+y2=25.
答案:D专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2已知圆C:x2+y2-4x+6y-12=0,求过点A(-1,0)的弦长的最大值L和最小值l.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题4 分类讨论思想
解题过程中,遇到被研究的对象包含多种可能的情形时,就需选定一个标准,根据这个标准把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
提示:要分斜率存在和不存在两种情况讨论.
解:①当两直线的斜率均不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,满足题意;
②当两直线的斜率均存在时,设它们的斜率均为k,显然k≠0,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.
所以两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的两条直线方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题5 数形结合思想
数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.专题1专题2专题3专题4专题5专题6 提示:首先化曲线方程为我们所熟悉的形式,然后利用数形结合的思想解题.专题1专题2专题3专题4专题5专题6答案:D 专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题6 对称问题
在解析几何中,经常遇到对称问题,对称问题主要有两大类,一类是中心对称,一类是轴对称.
1.中心对称
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.专题1专题2专题3专题4专题5专题62.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为 .?
提示:若l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,则l1⊥l2?k1k2=-1,从而求直线l的斜率,得出其方程.
求圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆,关键是求出圆心(2,3)关于l的对称点.专题1专题2专题3专题4专题5专题6答案:-1 x2+(y-1)2=1 专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(1,2)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
提示:直线关于直线对称可转化为直线上的点关于直线对称.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l',
由于l∥l',可设l'的方程为y=3x+b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
即|b+7|=10,解得b=-17或b=3(舍去),
所以直线l'的方程为y=3x-17,
即所求直线的方程为3x-y-17=0.1 2 3 4 5 6 71(2016全国甲高考)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
解析:由x2+y2-2x-8y+13=0,
得(x-1)2+(y-4)2=4,
所以圆心坐标为(1,4).
因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,
答案:A1 2 3 4 5 6 72(2016北京高考)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
答案:C1 2 3 4 5 6 73(2016山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离1 2 3 4 5 6 7答案:B 1 2 3 4 5 6 74(2016全国乙高考)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 .?
解析:圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,
故圆C的面积为π(2+a2)=4π.
答案:4π1 2 3 4 5 6 75(2016全国丙高考)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .?1 2 3 4 5 6 7答案:4 1 2 3 4 5 6 76(2016上海高考)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是 .?1 2 3 4 5 6 77(2016浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .?
解析:由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;
答案:(-2,-4) 5
若所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的全部或部分系数是待定的,我们可以根据题中的条件来确定这些系数.这种解决问题的方法就是待定系数法.直线和圆的方程常用待定系数法来求解.
选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式方程或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
提示:先利用已知两直线的方程设出所求直线方程,再用点到直线的距离公式求解.
解:很显然所求直线不为直线3x-y=0,故可设过两条直线交点的直线系方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,
即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
∵原点到所求直线的距离为1,
解得λ2=9,∴λ=±3.
∴所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意列出方程组
所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题2 直线系方程的应用
常见的直线系方程.
(1)平行直线系:y=kx+b(k为常数,b为变数),表示一组斜率为k的平行直线.
(2)共点直线系:y-y0=k(x-x0)(定点(x0,y0),k为变数),表示一组过定点(x0,y0)的直线(不包括直线x=x0).
(3)过直线l1,l2交点的直线系:设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示一组过l1,l2交点的直线(不包括l2).专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用求满足下列条件的直线的方程:
(1)过点(2,-1)且与直线3x-4y-2=0平行;
(2)与直线3x+4y+2=0垂直且与两坐标轴围成的三角形面积为6.
解:(1)设所求直线为3x-4y+m=0, ∵直线过点(2,-1),
∴3×2+4+m=0.
∴m=-10.故所求直线为3x-4y-10=0.
(2)设所求直线为4x-3y+m=0,与两坐标轴交点为
∴m=±12,即所求直线为4x-3y+12=0或4x-3y-12=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题3 圆的几何性质的应用
圆是一种特殊图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形,圆心是对称中心,任意一条直径所在直线都是对称轴.圆具有许多重要的几何性质,如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点的连线垂直于弦;切线长定理;切割线定理;直径所对的圆心角是直角等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量.另外,对于未给出图形的题目,要边读题边画图,这样能更好地体会圆的几何性质,有助于找到解题思路.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得的弦长为8的圆的方程是( )
A.x2+y2=5 B.x2+y2=16
C.x2+y2=4 D.x2+y2=25
提示:利用圆的几何性质,半径、半弦长和弦心距构成直角三角形,由勾股定理求解.
解析:设圆的半径为r,圆心O到直线3x+4y+15=0的距离
,由题意得d2+42=r2,所以r2=32+42=25.所以圆的方程是x2+y2=25.
答案:D专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2已知圆C:x2+y2-4x+6y-12=0,求过点A(-1,0)的弦长的最大值L和最小值l.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题4 分类讨论思想
解题过程中,遇到被研究的对象包含多种可能的情形时,就需选定一个标准,根据这个标准把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
提示:要分斜率存在和不存在两种情况讨论.
解:①当两直线的斜率均不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,满足题意;
②当两直线的斜率均存在时,设它们的斜率均为k,显然k≠0,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.
所以两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的两条直线方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题5 数形结合思想
数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.专题1专题2专题3专题4专题5专题6 提示:首先化曲线方程为我们所熟悉的形式,然后利用数形结合的思想解题.专题1专题2专题3专题4专题5专题6答案:D 专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题6 对称问题
在解析几何中,经常遇到对称问题,对称问题主要有两大类,一类是中心对称,一类是轴对称.
1.中心对称
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.专题1专题2专题3专题4专题5专题62.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用1若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为 .?
提示:若l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,则l1⊥l2?k1k2=-1,从而求直线l的斜率,得出其方程.
求圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆,关键是求出圆心(2,3)关于l的对称点.专题1专题2专题3专题4专题5专题6答案:-1 x2+(y-1)2=1 专题1专题2专题3专题4专题5专题6应用2已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(1,2)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
提示:直线关于直线对称可转化为直线上的点关于直线对称.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l',
由于l∥l',可设l'的方程为y=3x+b(b≠3).
由点到直线的距离公式得
即|b+7|=10,解得b=-17或b=3(舍去),
所以直线l'的方程为y=3x-17,
即所求直线的方程为3x-y-17=0.1 2 3 4 5 6 71(2016全国甲高考)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
解析:由x2+y2-2x-8y+13=0,
得(x-1)2+(y-4)2=4,
所以圆心坐标为(1,4).
因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,
答案:A1 2 3 4 5 6 72(2016北京高考)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
答案:C1 2 3 4 5 6 73(2016山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离1 2 3 4 5 6 7答案:B 1 2 3 4 5 6 74(2016全国乙高考)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 .?
解析:圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,
故圆C的面积为π(2+a2)=4π.
答案:4π1 2 3 4 5 6 75(2016全国丙高考)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .?1 2 3 4 5 6 7答案:4 1 2 3 4 5 6 76(2016上海高考)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是 .?1 2 3 4 5 6 77(2016浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .?
解析:由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;
答案:(-2,-4) 5